吉林长春市净月实验中学2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林长春市净月实验中学2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 若式子有意义，则下列说法正确的是（ ）
A. 且B. C. D.
2. 氧原子的直径大约是，将数据0.00000000014用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 平面直角坐标系中，在第四象限的点是（ ）
A. B. C. D.
5. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
6. 设，，，则a、b、c的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知一次函数的函数值随的增大而减小，则该函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 计算的结果是______．
10. 已知，那么_______．
11. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 ____．
12. 若直线与直线平行且经过点，则直线解析式为______．
13. 已知点在反比例函数上，则__________．（填“”，“”或“”）
14. 甲、乙两船沿直线航道匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为，则与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是．其中正确的说法的是______________．
三、解答题（共78分）
15. 计算：．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，B两点．

（1）求反比例函数的解析式和B的坐标；
（2）当时，请直接写出x的取值范围．
19. 用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．

（1）在图①中，的面积为；
（2）在图②中，的面积为5
（3）在图③中，是面积为的钝角三角形．
21. 【阅读材料】为了保护学生的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌、椅的高度，且课桌的高度（cm）与对应的椅子高度（不含靠背）（cm）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌、椅对应的四档高度，数据如下表：
根据阅读材料，完成下列各题：
（1）求与的函数关系式；
（2）在表格中，第四档的桌高数据被墨水污染了，请你求出被污染的数据；
（3）小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为61cm，椅子的高度为：32cm，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由：如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套．
22. 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如．
解决下列问题：
（1）分式是_____分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值．
23. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其他函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图、观察图象、归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．
请根据以下探究过程，回答问题．
（1）作出函数的图象．
①列表：
其中，表格中a的值为________；
②描点，连线：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
（2）观察函数的图象，回答下列问题．
①当________时，函数有最小值，最小值为________，
②当________时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；
（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是________．
24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求线段的长度；
（3）将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形．
①直接写出点坐标；
②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式．
数学
考试时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 若式子有意义，则下列说法正确的是（ ）
A. 且B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据分式有意义的条件分母不为零计算即可
解答过程：解：由题意可知：

∴
故选：C
方法提示：本题考查分式有意义的条件，正确理解分式含义是关键．
2. 氧原子的直径大约是，将数据0.00000000014用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
解答过程：解：
故选D．
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：本题主要考查了积的乘方，分式的乘除计算，异分母分式的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
解答过程：解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
4. 平面直角坐标系中，在第四象限的点是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平面直角坐标系中点的坐标特征逐项分析即可．
解答过程：解：A．在第一象限，不符合题意；
B． 在第四象限，符合题意；
C． 在第二象限，不符合题意；
D． 在第三象限，不符合题意；
故选B．
方法提示：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
5. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
答案：B
解析：
思路：先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标即可求出b的值．
解答过程：解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后的解析式为，
∵平移后的一次函数图象经过点．
∴，
解得：．
6. 设，，，则a、b、c的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题主要是根据乘方、零指数幂、负指数幂的运算进行求值，比较大小，负指数幂运算是根据：“底数变为倒数，指数变为相反数”，进行转化之后再化简；非零底数的0次幂为1；乘方运算中，偶数次幂是正数，据此进行数据的比较．
解答过程：解：，
故选：A．
方法提示：本题主要考查的是乘方、零指数幂、负指数幂的基础运算；熟练掌握其运算以及符号是解本题的关键．
7. 已知一次函数的函数值随的增大而减小，则该函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，根据一次函数增减性求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先根据增减性确定的符号，再根据常数项的符号，确定一次函数的图象的大致位置．
解答过程：解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴一次函数的图象经过第二、四象限，
当时，，
∴一次函数的图象还经过第三象限，
故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
答案：C
解析：
思路：根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．
解答过程：∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，），则B点坐标为（-x，），C（-2x，），
∴S△ABC=×（-2x-x）•（）=×（-3x）•（）=12．
故选C．
方法提示：本题考查了反比例函数与正比例函数图象的特点，垂直于y轴的直线上任意两点的坐标特点，三角形的面积，解答此题的关键是找出A、B两点与A、C两点坐标的关系．
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 计算的结果是______．
答案：a
解析：
思路：根据同分母分式的减法法则计算，再因式分解约分得到最简结果．
解答过程：解：．
10. 已知，那么_______．
答案：
解析：
思路：本题主要考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积成为解题的关键．
依据可得，再代入代数式化简即可．
解答过程：解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
11. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 ____．
答案：（－4，3）
解析：
解答过程：解：关于原点对称的点的坐标横、纵坐标均互为相反数，
则点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是（－4，3）．
12. 若直线与直线平行且经过点，则直线解析式为______．
答案：
解析：
思路：本题考查了求一次函数解析式，根据直线与直线平行得；将点代入即可求解；
解答过程：解：∵直线与直线平行，
∴；
将点代入得：，
∴直线解析式为；
故答案为：
13. 已知点在反比例函数上，则__________．（填“”，“”或“”）
答案：
解析：
思路：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B两点横坐标的特点即可得出结论．
解答过程：解：∵反比例函数中，，
∴此函数图象的两个分支分别在一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵，
∴．
故答案为：．
14. 甲、乙两船沿直线航道匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为，则与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是．其中正确的说法的是______________．
答案：①②④
解析：
思路：本题主要考查了从函数获取信息．结合图形，分从乙走的全程及时间得出乙的速度；从而可知时，乙走的路程，进而得出甲走的路程，从而可知甲的速度；根据题中对d与时间t的关系可判断甲乙两船航行0.6小时是否相遇；由前面求得的甲乙速度可判断甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段．
解答过程：解：乙船从B到C共用时3小时，走过路程为120千米，
因此乙船的速度是40千米/时，①正确；
乙船经过0.6小时走过千米，甲船0.6小时走过千米，所以甲船的速度是千米/时，
开始甲船距B点60千米，因此经过1小时到达B点，②正确；
航行0.6小时后，甲乙距B点都为24千米，但是乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，因此③错误；
开始后，甲乙两船之间的距离越来越小，甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米，
航行2.5小时后，甲离B地：千米，乙离B地：千米，此时两船相距10千米，当时，甲乙的距离小于10，因此④正确；
综上所述，正确的说法有①②④．
三、解答题（共78分）
15. 计算：．
答案：9
解析：
思路：先算乘方、0指数幂、负指数幂，再算加减．
解答过程：解：
．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）

（2）无解
解析：
（1）解：
检验，当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：
检验，当时，，则是原分式方程的增根，
所以，原分式方程无解．
17. 先化简，再求值：，其中．
答案：
，
解析：
解答过程：解：1−x+1x2−2x+1÷x−3x−1
=x−12x−12−x+1x−12÷x−3x−1
=x2−2x+1−x−1x−12÷x−3x−1
=xx−3x−12×x−1x−3
，
当时，原式=1212−1=−1 ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，B两点．

（1）求反比例函数的解析式和B的坐标；
（2）当时，请直接写出x的取值范围．
答案：（1）反比例函数的解析式为，点B的坐标为
（2）或
解析：
思路：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，熟练运用数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据图象即可求得．
（1）解：一次函数经过点，
，
解得：，
，
把点代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为，
联立方程组得，
解得：，，
点B的坐标为；
（2）由图像可知：当时，x的取值范围为或．
19. 用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？
答案：
原计划每天整理60份文件
解析：
思路：设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件，根据实际比原计划提前6天完成任务建立方程求解即可．
解答过程：解：设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件，
由题意得，
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天整理60份文件．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．

（1）在图①中，的面积为；
（2）在图②中，的面积为5
（3）在图③中，是面积为的钝角三角形．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
解析：
思路：（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点；
（3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可．
（1）解：如图所示，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
（2）由网格可知，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点，
答案不唯一，
（3）如图所示，
作，过点作，交于格点，

由网格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
方法提示：本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．
21. 【阅读材料】为了保护学生的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌、椅的高度，且课桌的高度（cm）与对应的椅子高度（不含靠背）（cm）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌、椅对应的四档高度，数据如下表：
根据阅读材料，完成下列各题：
（1）求与的函数关系式；
（2）在表格中，第四档的桌高数据被墨水污染了，请你求出被污染的数据；
（3）小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为61cm，椅子的高度为：32cm，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由：如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套．
答案：（1）
（2）被污染的数据为84.0
（3）不配套，把小丽的椅子高度升高1.5cm就可以配套了
解析：
思路：本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）将代入（1）中一次函数解析式，即可求解；
（3）把代入（1）中一次函数解析式，即可求解．
（1）解：设与的函数关系式为，
把和代入，得，
解得：
∴与的函数关系式为．
（2）解∶ 当时，，
∴被污染的数据为84.0．
（3）解∶ 不配套，理由如下
在中，当时，，
解得，
，
∴把小丽的椅子高度升高1.5cm就可以配套了．
22. 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如．
解决下列问题：
（1）分式是_____分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值．
答案：（1）真 （2）
（3）．
解析：
思路：本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
（1）利用真分式和假分式的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；
（3）利用整数和整除的意义讨论解答即可．
（1）解：由题意得：分式是真分式，
故答案为：真；
（2）解：
；
（3）解：；
∵分式的值为整数，x为整数．
∴或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴整数的值是．
23. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其他函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图、观察图象、归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．
请根据以下探究过程，回答问题．
（1）作出函数的图象．
①列表：
其中，表格中a的值为________；
②描点，连线：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
（2）观察函数的图象，回答下列问题．
①当________时，函数有最小值，最小值为________，
②当________时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；
（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是________．
答案：（1）①；②见解析
（2）①，；②
（3）解析：
思路：本题属于“新函数”类型的题目，掌握函数的定义、函数图象的画法、函数的性质以及利用数形结合思想解决不等式问题、交点问题是解决此类问题的关键．
（1）根据解析式即可求出的值；
（2）观察函数图象，即可得出相应结论；
（3）画出直线的图象，确定交点坐标，即可求解．
（1）解：①当时，
故的值为，
故答案为：2；
②函数图象如图所示：

（2）解：由图象可知：
①当时，函数有最小值，最小值为；
故答案为：，；
②当时，随的增大而增大，
故答案为：；
（3）解：在同一坐标系中画出直线的图象，如图所示：

交点坐标为和
故当时，，
故答案为：．
24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求线段的长度；
（3）将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形．
①直接写出点坐标；
②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式．
答案：（1）
（2）5 （3）①点坐标为；②或
解析：
思路：本题考查一次函数的图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形全等的判定及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据题可知，求出，即可求；
（3）①过点作轴交于，可得，则，，即可求；
②求出直线的解析式为，直线的解析式为，则点在直线关于直线对称的直线a∶上，或点在直线a∶关于直线的对称直线∶上．
（1）解：将点、代入，
，
解得，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3）解：①过点作轴交于，
，
，
，
，
，
，
，，
；
②，
∴
∴，，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
∵
∴设直线的解析式为，
把代入，得
解得∶，
直线的解析式为，
当时，则，
设直线交y轴于F，则，
∴
当与正方形面积相等时，
则点P在直线关于直线对称的直线a上，或在直线a关于直线对称的直线 上，如图，
∴
设直线a交y 轴于G ，
则，
∴，
∴直线a的解析式为，
设直线交y 轴于H ，
则，
∴，
∴
∴直线的解析式为，
∴点在直线或上．
档次/高度
第一档
第二档
第三档
第四档
椅高/cm
37.0
40.0
42.0
45.0
桌高/cm
68.0
74.0
78.0
x
0
1
2
y
3
a
1
0
1
2
3
档次/高度
第一档
第二档
第三档
第四档
椅高/cm
37.0
40.0
42.0
45.0
桌高/cm
68.0
74.0
78.0
x
0
1
2
y
3
a
1
0
1
2
3