河南省洛阳市嵩县2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份河南省洛阳市嵩县2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是分式，则可以是（ ）
A. B. 2026C. 0D.
2. 据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，，，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，点A在双曲线上，轴于B，点C是x轴上的任意点，且，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
5. 已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若，，三点在同一直线上，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
7. 如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（ ）
A. 16B. 14C. 12D. 7
8. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9. 下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（ ）
A. 当石块下降时，此时石块在水里
B. 当时，拉力与之间的函数表达式为
C. 当时，此时石块完全浸入水中
D. 当时，此时石块所受浮力不变
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 写出一个第二象限内的点的坐标：_________．
12. 若关于的分式方程有增根，则的值为________．
13. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________．
14. 若，则的值是______．
15. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在y轴上，将沿AC折叠，点O恰好落在直线AB上，则点C的坐标为_________．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 计算及解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
17. 先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值．
18. 如图，已知直线，分别与轴，轴交于点．
（1）求点的坐标．
（2）将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作．
①求面积．
②根据图象，直接写出点坐标．
19. 如图，已知在中，是的角平分线，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20. 一次函数的图象恒过定点．
（1）若图象还经过，求该一次函数的表达式．
（2）若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值．
21. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
22. 某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：
（1）函数的自变量的取值范围是________；
（2）按照“先定自变量取值范围、再列表、接着描点、最后连线”的原则，小明同学制作了表格．下表是与的几组对应值．
表格中的______，______．
（3）在下图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______．
（4）若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、．
①当时，的取值范围为______；
②的面积为______．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点．
（1）m与n的关系是_________；
（2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
数学
本试卷共三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟；
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是分式，则可以是（ ）
A. B. 2026C. 0D.
答案：D
解析：
解答过程：解：∵选项A中是常数，选项B中2026是常数，均不含字母，不符合要求．
选项C中分母为0，分式无意义，不符合要求．
选项D中是含有字母的整式，可满足，符合分式的定义．
2. 据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据科学记数法的定义，绝对值小于1的正数可表示为，其中要求，n为原数左起第一个非零数字前所有零的个数．
解答过程：∵ 0.000073左起第一个非零数字为7，其前面共有5个零，只有满足，
∴．
3. 若，，，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行有理数的大小比较即可．
解答过程：解：∵，，，
∴，
即，
故选：C．
4. 如图，点A在双曲线上，轴于B，点C是x轴上的任意点，且，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：设点的坐标为，根据轴可知平行于轴，且的长度为；以为底时，高为点的纵坐标；利用三角形面积公式结合反比例函数的几何意义即可求解.
解答过程：解：设点的坐标为
∵点在双曲线上，
∴；
∵轴，
∴轴，且，
∵点在轴上，
∴点到直线的距离等于点的纵坐标；
∴；
∵图像在第二象限，；
∴
∴
∵
∴，
如图可知：
故选：D.
5. 已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查了一次函数性质，根据一次函数的性质得到，而，则，所以一次函数的图象经过第二、三、四象限，故可得解．
解答过程：解：一次函数，
∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴，
∵，
∴，
∴函数图象经过第二、三、四象限．
故选：B．
6. 若，，三点在同一直线上，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
答案：C
解析：
思路：先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据三点共线的性质，将点C的横坐标代入解析式求出m的值．
解答过程：解：设直线的解析式为，
∵点，在直线上，
∴，
解得：，，
∴直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴将代入解析式得．
7. 如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（ ）
A. 16B. 14C. 12D. 7
答案：B
解析：
思路：此题重点考查平行四边形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，再由得到四边形是平行四边形，即可得到，最后求周长即可
解答过程：解：∵在中，对角线，交于点，，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形的周长，
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第次后点坐标即可．
解答过程：解：点的坐标为，
，
四边形是平行四边形，
且，
点的坐标为，
点的坐标为，
由旋转的规律可知，第一次旋转后点的对应点的坐标为，
第二次旋转后点的对应点的坐标为，
第三次旋转后点的对应点的坐标为，
第四次旋转后点的对应点的坐标为，
循环周期为，
，
第次旋转是第个循环的第二次旋转，
第次旋转结束时，点的坐标为．
9. 下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先根据已知条件判断反比例函数中的符号，再利用反比例函数的性质比较的大小．
解答过程：解：∵当时，，当时，，且，
∴，整理得，解得，
∵反比例函数中，
∴当时，，且在范围内，随的增大而增大，
又∵，
∴．
10. 在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（ ）
A. 当石块下降时，此时石块在水里
B. 当时，拉力与之间的函数表达式为
C. 当时，此时石块完全浸入水中
D. 当时，此时石块所受浮力不变
答案：D
解析：
思路：本题主要考查动点问题的函数图象、一次函数的应用等知识点，采用数形结合的思想解决函数图象问题是解决本题的关键．
结合所给函数图象以及一次函数的相关知识逐个选项分析判断即可解答．
解答过程：解：从图象看，石块在下降时拉力不发生变化，对应的拉力为，
当时，此时石块还在水面上方，故A选项错误，不符合题意；
当时，设函数解析式为，
，
解得：，
拉力与之间的函数表达式为，故B选项错误，不符合题意；
从图象看：当时，石块所受的拉力为，拉力开始不变，此时石块完全浸入水中，故C选项错误，不符合题意；
当时，石块所受的拉力不变，
石块的重力为，，
石块所受浮力不变，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 写出一个第二象限内的点的坐标：_________．
答案：（答案不唯一）
解析：
思路：根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．故只要写一个横坐标为负数，纵坐标为正数的点的坐标即可，如（答案不唯一）．
解答过程：解：∵第二象限；
∴符合条件的点可以为：；
故答案为：
方法提示：本题考查的是坐标系内点的坐标特点，熟记四个象限内点得到坐标特点是解本题的关键.
12. 若关于的分式方程有增根，则的值为________．
答案：3
解析：
思路：本题考查分式方程的增根，理解“分式方程的增根是去分母后所化为整式方程的根”是解决问题的关键，分式方程有增根与分式方程无解意义不同．先解方程，再根据方程的增根为，可求出k值．
解答过程：解：关于的分式方程，
去分母得，，
关于的分式方程的增根是，
，
故答案为：3．
13. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________．
答案：
解析：
思路：先将交点的横坐标代入已知一次函数，求出交点的纵坐标，得到交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数求出的值，即可得到反比例函数的表达式．
解答过程：解：把代入中得，则交点坐标为，
将代入反比例函数中，得，
则反比例函数表达式为．
14. 若，则的值是______．
答案：6
解析：
思路：将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可．
解答过程：由，得，
两边平方，得，
得，
∴．
15. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在y轴上，将沿AC折叠，点O恰好落在直线AB上，则点C的坐标为_________．
答案：
或
解析：
思路：分当C在线段OB上和当C在射线BO上两种情况，利用勾股定理求解即可．
解答过程：解：如图所示，当C在线段OB上时，D为三角形AOC沿AC翻折O落到AB上的对应点，由翻折的性质可得CD=OC，∠BDC=∠ADC=∠AOB=90°，AO=AD，
∵直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OB=4，OA=AD=3，
∴，
∴，
设OC=CD=x，则BC=4-x，
∵，
∴，
解得，
∴C（0，）
如图所示，当C在射线BO上时，设OC=CD=x，则BC=4+x，BD=5+3=8，
同理可以得到，
∴，
解得，
∴C（0，-6），
故答案为：（0，）或（0，-6）．
方法提示：本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，翻折的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 计算及解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：原式；
（2）解：
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得．
经检验，是原方程的解，
原方程的解为．
17. 先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值．
答案：，
解析：
思路：先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用代入，即可求解．
解答过程：解：原式
，
∵分母不能为0，
∴，
∴，
∴只能选，
把代入原式．
18. 如图，已知直线，分别与轴，轴交于点．
（1）求点的坐标．
（2）将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作．
①求面积．
②根据图象，直接写出点坐标．
答案：（1）、
（2）①；②
解析：
思路：（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标．
（2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为．
②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标．
（1）解：将代入中，可得，
将代入中，可得，
解得：，
∴点的坐标为、，
（2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线，
∴
∵
∴
∴面积为．
②由题意可得，轴，，
∴，
∴点坐标为．
19. 如图，已知在中，是的角平分线，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理；
（1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证；
（2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
20. 一次函数的图象恒过定点．
（1）若图象还经过，求该一次函数的表达式．
（2）若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值．
答案：（1）
（2）或
解析：
思路：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意可得一次函数的表达式为，再分和两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可．
（1）解：由题意得，，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：代入点，得，
∴，
∴一次函数的表达式为，
∴当时，；当时，，
当时，y随着的增大而增大，
则函数y在取得最大值，在取得最小值，
∴，
解得；
当时，y随着的增大而减小，
则函数y在取得最大值，在取得最小值，
∴，
解得；
∴综上，a的值为或．
21. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
答案：（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元
（2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
解析：
思路：（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可．
（2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可．
本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键．
（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
此时，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数，
根据题意，得，
由，得随a的增大而减小，
故当时，取得最小值，且最小值为（元），
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
22. 某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：
（1）函数的自变量的取值范围是________；
（2）按照“先定自变量取值范围、再列表、接着描点、最后连线”的原则，小明同学制作了表格．下表是与的几组对应值．
表格中的______，______．
（3）在下图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______．
（4）若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、．
①当时，的取值范围为______；
②的面积为______．
答案：（1）
（2），
（3）图象见解析；性质：当时，随的增大而增大（不唯一）
（4）①或；②
解析：
思路：（1）根据分式有意义，则分母不为0求解即可；
（2）将分别代入函数表达式求解即可；
（3）先描点，再连线即可作出函数图象；然后可以从增减性分析即可；
（4）①先求出交点坐标，然后作出直线，即可根据函数图象求解不等式的解集；②利用割补法求解即可．
（1）解：由得，
∴自变量的取值范围是；
（2）解：；；
（3）解：函数图象如图：
性质：当时，随的增大而增大（不唯一）；
（4）解：①由题意得，，
∴
整理得，
解得
经检验，都是原方程的解，
∴，
作出直线，如图：
∴当时，或；
②过点分别作轴的垂线，垂足为点，
则
．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点．
（1）m与n的关系是_________；
（2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案：（1）
（2）；反比例函数表达
（3）存在，
解析：
思路：（1）将点，代入，可得，从而得到m与n的关系；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，得到，然后结合点的坐标，可以得到，结合（1）可得，从而推出点，最后求得答案；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据对称，可得，此时的值最小，最小值为，接着利用待定系数法求得直线的表达式，然后求得其与轴的交点坐标即可．
（1）解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点，两点，
，
，
∴；
故答案为：；
（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：

点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴反比例函数的解析式为：；
（3）解：存在，，理由如下：
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示：
∴，
∴，此时的值最小，最小值为，
由（2）可知，，
∴，
设直线的表达式为代入点，，
，解得，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴．
方法提示：本题考查了反比例函数图象上点的特征，三角形全等的判定与性质，轴对称图形的特征，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
x
1
2
3
y
a
b
…
1
2
3
…
…
m
4
6
1
n
…
x
1
2
3
y
a
b
…
1
2
3
…
…
m
4
6
1
n
…