人教版八年级数学下册期末复习 专题06 一次函数6考点17题型3易错4方法(期末复习知识清单)

这是一份人教版八年级数学下册期末复习 专题06 一次函数6考点17题型3易错4方法(期末复习知识清单)，共10页。学案主要包含了一次函数的概念，正比函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，一次函数的应用，一次函数的方程等内容，欢迎下载使用。

一、一次函数的概念
2、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．其中x是自变量， 特别地当b=0时，y＝kx+b即y＝kx，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
二、正比函数的图象与性质
1、正比例函数的图象：
正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线.
2、正比例函数的性质：
正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x．
当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
k越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快.
三、一次函数的图象与性质
1、一次函数图象的画法：
两点法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b．
【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．
②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
2、一次函数的性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；
当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
k越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快.
3、一次函数图象与系数的关系
直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点.
当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；
当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴上，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限；
4、一次函数图象的平移
将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
四、一次函数的应用
1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题.
2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤：
审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系；
设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式；
解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题；
得出结果.
五、一次函数的方程、不等式的关系
1、一次函数与一元一次方程的关系
从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.
从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.
2、一次函数与二元一次方程（组）的关系
从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.
3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系
从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
题型一 正比例函数的定义
【例1】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A．y=x2B．y=1xC．y=2xD．y=2x−1
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数．
根据正比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．y=x2，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数；
B．y=1x，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数；
C．y=2x，符合正比例函数的定义，是正比例函数；
D．y=2x−1，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数；
故选：C．
【变式1】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=x+1B．y=2x−3C．y=x2D．y=x
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的定义，关键是根据定义进行判断；根据正比例函数的定义（形如y=kx，其中k为常数且k≠0），对各选项逐一判断.
【详解】解：∵正比例函数的定义为形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，
∴对各选项分析如下：
A选项y=x+1含有常数项1，不符合正比例函数定义；
B选项y=2x−3含有常数项−3，不符合正比例函数定义；
C选项y=x2中自变量x的次数为2，不符合正比例函数定义；
D选项y=x可表示为y=1⋅x，其中k=1≠0，符合正比例函数定义；
故答案选：D．
【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期末）已知函数y=3x+k−1是正比例函数，则k的值为______．
【答案】1
【分析】根据正比例函数的定义，列出关于k的方程，求解即可得到k的值．
【详解】解：∵函数y=3x+k−1是正比例函数，
∴k−1=0，
∴k=1．
【变式3】（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知函数y=m+1x−m2+1（m是常数）是正比例函数，则m=_______．
【答案】1
【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为y=kxk≠0，因此常数项必须为0且x的系数不为0，即可作答．
【详解】解：∵函数y=m+1x−m2+1（m是常数）是正比例函数，
∴−m2+1=0m+1≠0，
解得m=1，
故答案为：1．
题型二 一次函数的定义
【例2】3．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（ ）
A．y=x2−2xB．y=x2−x−12
C．y=1x−3D．y=x+1
【答案】B
【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【详解】解：A、y=x2−2x，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意；
B、y=x2−x−12=2x−1，是一次函数，故该选项符合题意；
C、y=1x−3，不是一次函数，故该选项不符合题意；
D、y=x+1，不是一次函数，故该选项不符合题意．
【变式1】（25-26八年级下·福建南平·期中）下列函数关系式：①y=−x；②y=2x+11；③y=x2+x+1；④y=1x其中一次函数的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：①y=−x是一次函数；②y=2x+11是一次函数；③y=x2+x+1不是一次函数；④y=1x不是一次函数．
其中一次函数的个数是2个．
【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）要使y=m−1xm−2−4是关于x的一次函数，则m的值为______．
【答案】3
【分析】此题考查一次函数的定义，由一次函数定义，得m−2=1 且m−1≠0，解得m=3或m=1，然后代入判断即可，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由一次函数定义，得m−2=1 且m−1≠0，
解得m=3或m=1，
当m=1 时，m−1=0，不符合条件；
当m=3时，m−1=2≠0，符合条件；
∴m=3，
故答案为：3．
【变式3】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数y=(m−2)x|m|−1−3是关于x的一次函数，则m=_________．
【答案】−2
【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得m−2≠0，且m−1=1，从而可得答案．
【详解】解：函数y=(m−2)x|m|−1−3是关于x的一次函数，
则m−2≠0，且m−1=1，
解得m=−2，
故答案为：−2．
题型三 求一次函数自变量或函数值
【例3】（23-24八年级上·四川甘孜·期末）已知点A1,a在一次函数y=−x+3的图象上，则a的值为（ ）
A．−4B．−2C．2D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标满足函数解析式，将点A的横坐标代入解析式即可求出a的值．
【详解】解：∵点A1,a在一次函数y=−x+3的图象上，
∴将x=1代入一次函数y=−x+3，得
a=−1+3=2，
即a的值为2．
【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）若点Pa,b在直线y=2x+1上，则代数式4a−2b+1的值为（ ）
A．3B．−1C．2D．0
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，代数式求值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的特征．先将点Pa,b代入直线解析式得到a与b的关系式，再对所求代数式变形，代入关系式计算即可得出结果．
【详解】解：∵点Pa,b在直线y=2x+1上，
∴b=2a+1，
∴2a−b=−1，
∴4a−2b+1
=22a−b+1
=2×−1+1
=−2+1
=−1．
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点Pa,b在一次函数y=2x+5的图象上，则2a−b=_____．
【答案】−5
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入函数解析式，变形即可求出所求代数式的值．
【详解】∵点Pa,b在一次函数y=2x+5的图象上，
∴将点Pa,b坐标代入y=2x+5，得b=2a+5，
移项整理得：2a−b=−5．
【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若点Pa,b在函数y=3x+2的图象上，则代数式−6a+2b+2的值为____．
【答案】6
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，关键是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，得到a与b的关系式，再通过整体代入法计算代数式的值．
【详解】解：∵点Pa,b在函数y=3x+2的图象上，
∴得b=3a+2，即b−3a=2，
∴−6a+2b+2=2(b−3a)+2=2×2+2=4+2=6；
故答案为：6．
题型四 正比例函数的图象与性质
【例4】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各点中，在正比例函数y=2x的图像上的是（ ）
A．1,4B．−2,−1C．−1,−2D．2,1
【答案】C
【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可．
【详解】解：A、 ∵当x=1时，y=2×1=2≠4，∴此点不在y=2x的图像上．
B、∵当x=−2时，y=2×(−2)=−4≠−1，∴此点不在y=2x的图像上．
C、∵当x=−1时，y=2×(−1)=−2，∴此点在y=2x的图像上．
D、∵当x=2时，y=2×2=4≠1，∴此点不在y=2x的图像上．
【变式1】若正比例函数y=kx图象经过第二、四象限，且过点A2a,−8和B−2,a，则k的值为（ ）
A．2B．−2C．2D．−2
【答案】D
【分析】先根据正比例函数图象经过二、四象限，确定k0时，图象经过第一、三象限，因此C正确；
选项D：由于k=12>0，函数中y随x的增大而增大，而非减小，因此D错误；
故选：C
题型五 判断一次函数的图象
【例5】已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限即可．
【详解】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k0，b=k0，b0，b