人教版2025年八年级数学下学期期末总复习(专题训练)专题04一次函数(考题猜想，易错常考重难点8大题型79题)(学生版+解析)

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题型一：一次函数图象平移问题（常考）
1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将直线平移得到直线，则移动方法为（ ）
A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位D．向下平移4个单位
2．（多结论）（22-23八年级下·重庆北碚·期末）对于函数，，为常数与函数，，为常数）．若，，则称函数与互为“对称函数”，下列结论：①若函数与互为“对称函数”，则与的图象关于轴对称；②若点，，分别在“对称函数” 与的图象上，当时，则；③若函数与函数互为“对称函数”，则的值为1；④若函数与互为“对称函数”，将函数向右平移个单位得到函数，当，则．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（22-23八年级下·辽宁盘锦·期中）直线平行于直线，且与轴交于点，此函数的关系式为 ．
4．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）将直线向右平移3个单位长度后，所得直线经过点，则m的值为 ．
5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ．
6．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．将直线向上平移6个单位得到直线，直线与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当的值最小时，此时点M的坐标为 ．

7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为
8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A．
(1)求的函数表达式；
(2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值．
9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探究函数的图象性质．
【素材内容】
素材1：七年级（上）绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义；
素材2：八年级（上）数学教材第四章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象．
【问题解决】
任务1：对于函数，当时化简函数的表达式：
当时， ；当时， ；
任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
任务3：函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到；
函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到；
任务4：结合以上任务，你发现函数有哪些性质？（写出一条即可）
10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线与轴、轴交于点、，点在轴负半轴上，且．
(1)求直线的函数表达式；
(2)直线与直线、分别交于点、，若，求的值；
(3)将中直线向上平移后经过点，与轴交于点，为线段上一点（含端点），连接，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段运动到，再以每秒个单位的速度沿线段运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
题型二：一次函数的规律探究问题（难点）
11．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．（23-24八年级上·河南周口·期末）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
13．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ．
14．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是 ．

15．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，，，…在x轴的正半轴上，若，，，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ．
16．（23-24八年级下·山东聊城·期末）正方形、、、⋯，按如图所示的方式放置．点、、、⋯，和点、、，⋯，分别在直线和轴上，已知点，，则点的坐标是 ．
17．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形，正方形，正方形点在直线，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，，，…则的值为 ．
18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，，，…，都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ．
19．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点且与x轴正方向夹角为30°，如图所示依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点、、…在直线l上，点、、…在y轴正半轴上，则的长度是 ．
20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为．
（1）直线的表达式为 ；
（2）的纵坐标是 ．
题型三：求直线围成的图形面积（易错）
21．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（ ）
A．2B．1C．D．
22．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象．
(1)求的面积；
(2)根据图象直接写出时x 的取值范围．
23．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标．
24．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过两点．
(1)求b的值；
(2)若是y轴上的点，连接，求的面积；
(3)若，且直线与线段有一个交点，求m的取值范围．
25．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A．
(1)求直线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
26．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．
备用图
(1)求线段的中点坐标；
(2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标．
27．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点．
(1)求的值及点的坐标．
(2)求的面积．
(3)连接，在轴上有一点，使得的面积等于面积的．直接写出此时点的坐标．
28．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且．
(1)的坐标为_________，线段的长为_________．
(2)求直线的解析式和点的坐标．
(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结．
①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；
②连结，当面积最大时，求的长度和的面积．
29．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，的面积为．

(1)求直线的表达式；
(2)如图2，过点作直线分别交直线，于点E，点F，设点E在第三象限．
①连接，设的面积为，的面积为，若，求点E的坐标；
②当的面积最小时，求点E的坐标．
30．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点．
(1)求a，b的值及点A，C的坐标；
(2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标；
(3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标．
题型四：分配方案问题(一次函数的实际应用)（难点）
31．（23-24八年级下·福建厦门·期末）某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题：
(1)求A场馆和B场馆的门票价格；
(2)参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观；
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案．
32．（23-24八年级下·广东江门·期末）坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二课堂，准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球．购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动．
活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；
活动乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球筒．
(1)写出每种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（筒）之间的函数关系式．
(2)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？
(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案．
33．（23-24八年级下·江西宜春·期末）某学校是乒乓球体育传统项目学校．为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须购买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买15副直拍球拍和10副横拍球拍共花费5400元；购买10副直拍球拍比购买5副横拍球拍多花费800元．
(1)求两种球拍每副各多少元？
(2)若学校购买球拍共30副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求该方案所需费用．
34．（23-24八年级下·云南昆明·期末）鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场日交易鲜花达500至600万枝，成为全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．某位游客来昆明旅游，购买了鲜花饼、火腿月饼，火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，用63元购买火腿月饼的数量和用42元购买鲜花饼的数量相同．
(1)求鲜花饼和火腿月饼的单价各是多少元？
(2)根据实际情况，这位游客需一次性购买鲜花饼和火腿月饼共80个，且要求火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的，应怎样购买，费用最少为多少元？
35．（23-24八年级下·山东聊城·期末）为落实“五育并举”教育，强化体育锻炼，大力发展青少年体育运动，我县涌现出来一批体育特色学校．某学校计划购买篮球和足球共个，已知每个篮球的价格是元，每个足球的价格是元．设购买篮球个，购买两种求所需费用为元．
(1)求与的函数表达式，其中；
(2)若购买篮球的数量不超过足球数量的2倍．请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
36．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多．
(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？
(2)已知该年级共有600名学生．
①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？
②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？
37．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：
设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元．
(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________；
(2)求出与的函数关系式；
(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？
38．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元．
(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？
(2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．
39．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）某公司在两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从地运往甲地台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为元．
(1)请填写下表，并写出与之间的函数关系式；
(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省？
40．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．
(1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
(2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式；
(3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用．
题型五：最大利润问题(一次函数的实际应用)（难点）
41．（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
(1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
(2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．
42．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场计划从厂家购进、两款衣服共100件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进款衣服件，商场总利润为元．
(1)求关于的函数关系式；
(2)厂家规定的进货数量不得超过进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润；
(3)为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，结果发现：若100件衣服均按原定售价卖完，无论购进商品多少件，商场利润恒为2000元，求、的值．
43．（24-25八年级上·山西太原·期末）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？
44．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）科技创新环境下，无人机产业蓬勃发展．某无人机配件销售公司有A和B两种配件，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进A配件50件和B配件25件．
(1)求a的值；
(2)若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，设本次销售获得总利润y元，购进A种配件x件，请写出y与x之间的函数关系式（利润售价进价）；
(3)在（2）的条件下，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种的2倍．如何进货才能使本次销售获得的总利润最大？最大利润是多少元？
45．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．
(1)，两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本．
①求关于的关系式．
②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
46．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“13度的甜，14度的鲜”，杨梅是本地区重要农业经济产业，杨梅正成为兰溪乃至金华的“共富果”．根据提供的材料解决问题．
47．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某博主在一段时间内制作并上传甲、乙两种作品共70篇，甲作品平均每篇获利110元，乙作品平均每篇获利150元，设该博主制作并上传甲作品篇，制作并上传这70篇作品共获利元．
(1)求与之间的关系式．
(2)若乙种作品的数量不超过甲种作品数量的，则该博主制作甲、乙两种作品各多少篇时获利最大？最大利润是多少？
(3)由于网络管理需要，有的乙种作品需要再进行处理，每篇的处理费用是元．若总获利随的增大而减小，请求出的取值范围．
48．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元．
(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？
(2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？
49．（22-23八年级下·福建厦门·期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？
50．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽．
(1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
(3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值．
题型六：行程问题(一次函数的实际应用)（难点）
51．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；
C．小天出发分钟两人相遇；
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．
52．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）明明、亮亮在学校操场上玩飞机模型，已知1号、2号两个飞机模型分别从距水平线起点和距水平线起点处同时出发，匀速上升、如图是1号、2号两个飞机模型所在位置的高度与飞机上升时间的函数图象．当这两个飞机模型的高度相差时，上升的时间为
53．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一艘游船从A港逆流开往B港，游船在静水中的行驶速度为．出发2分钟后有一位游客的物品飘落在水面上，游客在游船出发5分钟后发现遗失物品，游船随即掉头寻找，并在找回物品之后掉头继续前往B港．游船距离A港的距离与行驶时间的关系如图所示．

(1)水流的速度为__________；
(2)求点A的坐标，并解释它的实际意义；
(3)若游船在出发后到达B港，则A港与B港之间的距离为__________m．
54．（24-25八年级上·山东青岛·期末）周末，甲、乙两名同学相约在同一路段进行长跑训练．二人在起点会合后，甲出发时，乙出发，结果乙比甲提前到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如图①，设甲离开起点后的时间为，甲离开起点的路程与之间的函数关系式为，图象为线段；乙离开起点的路程与之间的函数关系用线段表示，请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)图中的值为______，的值为______；
(2)求线段对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出点的坐标，并解释点的坐标表示的实际意义；
(4)设甲离开起点后的时间为，甲乙两人之间的距离为，请在图②坐标系中画出与的函数图象．
55．（24-25八年级上·山东青岛·期末）周末，李叔叔开车从青岛出发去350千米远的济南游玩，张大伯在同一时间从济南去往青岛．李叔叔行驶2小时到达潍坊时，他停车休整了半小时，离开时恰好遇见了张大伯．两人继续行驶，李叔叔到达济南用时5小时，李叔叔、张大伯与青岛的距离、（千米）与时间（时）之间的关系如图所示．
(1)求李叔叔遇到张大伯后，与之间的函数关系式；
(2)张大伯到达青岛时，李叔叔离济南还有多远？
56．（24-25八年级上·四川成都·期末）某无人机表演团队进行无人机表演训练．甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达指定的高度停止上升，并开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面120米时，进行了时长为b秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面，甲、乙两架无人机所在位置的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
(1)填空：a的值为______，b的值为______；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们之间的高度差为10米？（请直接写出答案）
57．（24-25八年级上·山东济南·期末）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：
(1)甲的速度是______，乙的速度是______；
(2)分别求出、与x的函数关系式；
(3)对比图1，图2可知：______，______，______；
(4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出x的值）
58．（24-25八年级上·山西运城·期末）学科实践
问题情境：体育课上，老师组织同学们进行往返障碍跑比赛.甲、乙二人在相邻两条直跑道上比赛（注：跑道长50米），他们从跑道同一起点出发，到达对面终点后，转身沿原路回到起点.
数学思考：同学们根据两人比赛信息画出了如图所示的部分图象（跑步的过程均视为匀速）.图中的折线是甲离起点的距离（米）与比赛时间（秒）的函数图象；线段是乙去程中离起点的距离（米）与比赛时间（秒）的函数图象.已知线段对应的函数表达式为.
问题解决：
(1)求点的坐标及线段对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）；
(2)乙在对面终点处转身过程中因故耽误了2秒，结果仍比甲提前3秒回到起点.请在坐标系中画出表示乙转身及返程途中，离起点的距离（米）与比赛时间（秒）之间的函数图象，并标明表示乙返程图象的两个端点的坐标；
(3)请直接写出比赛过程中，当乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半时，比赛时间的值.
59．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2：
【建立模型】
（1）观察表、表发现都是一次函数模型请结合表、表的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式．
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？
60．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图①，在长方形中，，，点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为每秒秒时点的速度变为每秒，图②是点出发秒后，的面积与（秒）的函数图象．
(1)根据题目中提供的信息，请直接写出的值；
(2)设点运动的路程为，请写出点出发后，与的函数表达式；
(3)当点出发几秒后，以点为顶点的三角形是等腰三角形．
题型七：梯度计价问题(一次函数的实际应用)（重点）
61．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差 元．
62．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种玉米种子，经过多次协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克5元，并提出多买可优惠：如果一次性购买10千克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如下：
任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？请直接写出；
任务二：爸爸说这次购买数量大于10千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一个数量关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为千克，付款金额为元，请你为小李建立与的函数关系式；
任务三：小李爸爸计划第一次购买种子40千克，第二次再购买8千克，若考虑两次购买种子的数量合在一起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？
63．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小唐、小宋、小元三位员工每天骑电动车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图所示．其中A种电动车支付费用对应的函数为；B种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题：
(1)小唐每天早上骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为，小唐家到公司的距离为，那么小唐选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）；
(2)一天，小宋骑行A种电动车从家到公司上班，小元骑行B种电动车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小宋和小元骑行的时间差．
64．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)分别求、关于的函数表达式；
(2)如果小明爸爸每天早上骑行品牌或品牌的共享电动车去公司上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到公司的距离为，那么小明爸爸选择哪个品牌共享电动车更省钱?
65．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章．
(1)求每盒挂件和每盒印章的价格；
(2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发；
(3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？
66．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）今年君君家科学养虾喜获丰收，上市22天全部售完．君君对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图①所示．大虾价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图②所示．
(1)观察图①，直接写出日销售量的最大值 ；
(2)根据图①，求君君家上市12天之前大虾的日销售量y与上市时间x的函数关系式；
(3)根据图②，当时，根据大虾价格z与上市时间x的关系，试计算第8天与第12天的销售金额各是多少？
67．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
(1)该地出租车的起步价是______元；
(2)当时，求关于的函数关系式；
(3)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程．
68．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游．
(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式；
(2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算．
题型八：一次函数与几何综合（难点）
69．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点M在x轴上，当最大时，点M的坐标为 ．
70．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为 ．
71．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A关于y轴的对称点为C，作直线．
(1)求点C的坐标及直线的函数表达式；
(2)在线段上取一点D，连接，将沿直线翻折得到，且点E刚好落在y轴上．
ⅰ）求点D的坐标；
ⅱ）试探究直线与直线的位置关系．
72．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点，点的解．
(1)请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）；
(2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S；
(3)在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等．
73．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，直线分别交轴、轴于、两点．
(1)点坐标为__________，点坐标为__________；
(2)如图1，若点的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标；
(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．
74．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”．
【定义辨析】
（1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）；
（2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）；
A． B． C． D．
【定义延伸】
（3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）；
【定义应用】
（4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值．
75．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）情景探究
【问题情景】学习了“最短路径问题”后，李老师结合坐标系的知识，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，已知点为轴上的一个动点，点在什么位置时，的值最小？最小值为多少？
【方法探究】“顶尖”小组先在图1中画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后展示了两种求解方案：
方案一：连接，利用列方程求出点的坐标．
方案二：求出直线对应的函数表达式，利用一次函数的图象与性质求出点的坐标．
（1）点的坐标为_____，的最小值为_____．
（2）选择一种你喜欢的方案求出点的坐标．
【推广应用】
（3）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，求出点的坐标．
76．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，．
【基本问题】
（1）求直线的解析式；
【问题探究】
（2）点是线段上一点，连接，当的面积为时，求的值；
【问题拓展】
（3）在（2）的条件下，过点作直线轴，在直线上有一点，直线交轴正半轴于点，在射线上有一点，使，请直接写出点坐标．
77．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．
(1)求a，m的值；
(2)当线段最短时，求的长和点B的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点M，使的值最小，若存在，并求此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．
78．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【模型呈现】
（1）如图1，中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：；
【模型应用】
（2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为，则点A的坐标是 ；
（3）如图3，直线l：分别交x轴、y轴于点A、B．
①将直线l绕点A逆时针旋转得到直线m，求直线m的函数表达式；
②如图4，点C的坐标为，点D为直线l上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，请直接写出线段长度的最小值．
79．（24-25八年级上·广西百色·期末）综合与实践
【积累经验】
（1）如图1，于点A，于点，点在线段上，连接，，，且．求证：，．只需证明____________________即可；
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．
①如图3，当时，求点的坐标；
②直接写出其他符合条件的点的坐标．
到超市的路程（千米）
运费（元千克千米）
甲养殖场
乙养殖场
运往地
运出地
甲
乙
总计
A
台
______台
16台
B
______台
______台
12台
总计
15台
13台
28台
品名
进价（元/件）
90
75
售价（元/件）
120
100
种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
材料一
内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的杨梅，甲种杨梅进价为16元/斤；乙品种杨梅的进货总金额y（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种杨梅的售价分别为20元/斤和25元/斤．
材料二
某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤．
材料三
杨梅运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种杨梅都很喜欢，于是决定把两种杨梅按同样的价格销售，并适当让利给消费者．
任务一
（1）已知，，求图中直线的函数表达式．
任务二
（2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的杨梅能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的杨梅所获总利润为w元（利润销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三
（3）在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么按同样的价格销售的杨梅的销售价应定为多少元？（结果保留整数）
商品
进价
售价
乒乓球拍（元/套）
45
羽毛球拍（元/套）
52
品名
批发市场批发价：元/盆
盆栽超市零售价：元/盆
A种盆栽
12
19
B种盆栽
10
15
电池充电状态
时间（分钟）
增加的电量
汽车行驶过程
已行驶里程（千米）
显示电量
购买种子的数量/千克
2
5
10
12
20
30
…
付款金额/元
10
50
58
130
…
公司
租车收费方式
甲
每日固定租金100元，另外每小时收费18元．
乙
无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元．