2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末模拟测试卷（三）(原卷版+解析版)

这是一份2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末模拟测试卷（三）(原卷版+解析版)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题（共7题；共61分)等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2． 若 mn=−2，m−n=3，则代数式 m2n−mn2 的值是（ )
A．−6B．−5C．1D．6
3．如果把分式3xx2+y2中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的9倍B．扩大到原来的3倍
C．不变D．缩小到原来的13
4．如图，▱ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O，作射线BO交AD于点G，交CD的延长线于点H，若AB=3，BC=5，则DH的长为（ ）
A．1B．2C．3D．2
5．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．12000x=11000x−5−40B．12000x−40=11000x−5
C．12000x−5+40=11000xD．11000x+40=12000x−5
6．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别是线段DM，MN的中点。若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（ )。
A．5B．41C．2.5D．3
7．一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列说法：①ab0；③a+b>c+d；④3a+b=3c+d；⑤当m>3时，am+b>cm+d．其中正确的个数有（ ）
A．①②B．①③④C．①④⑤D．③④⑤
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC， BD交于点O， AB=2， BC=4， ∠ABC=60°，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG， △DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为( )
①∠EOD=90°;②S△DFC=2S△AEO;③S△ABG+S△DGC=12S◻ABCD;④AE=65.
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．已知关于x的分式方程kx−1+2=x1−x的解是非负数，则k的取值范围是 .
10．若不等式(m−3)y−1>0（m为常数，且m≠3）的解集为 y1，利用数轴确定不等式的解集．
16．某学生在化简x+2x2−9−1x−3÷5x−3时出现了错误，其解答过程如下：
解：原式=x+2(x+3)(x−3)−x+3(x+3)(x−3)÷5x−3（第一步）
=x+2−x+3(x+3)(x−3)÷5x−3（第二步）
=5(x+3)(x−3)⋅x−35（第三步）
=1x+3（第四步）
（1）该生的解答过程是从第 步开始出现错误的；
（2）请你写出此题的正确解答过程．
17．综合与实践：某数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
18．如图（1），在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
（2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．
（3）如图（3），在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．
19．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5=12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式________；
探究问题：
（2）已知S=x2+9y2+4x−12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（3）已知实数x、y满足−x2+73x+y−2=0，求5x−3y的最值．
20．综合与实践
数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究。
（1）【活动一】拼接
将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长；
（2）【活动二】平移
在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移。在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示。
①求证：四边形AMDN是平行四边形；
②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为 ▲ 。
（3）【活动三】旋转
在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周。在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：m2n−mn2=mn(m-n)=-2×3=-6，
故答案为：A.
【分析】先提取公因式分解因式，然后整体代入解答即可.
3．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：同时把x，y扩大3倍得：3xx2+y2=3⋅3x3x2+3y2=3⋅3x9x2+y2=13⋅3xx2+y2，
即把分式的值缩小到原来的13．
故选：D．
【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键。根据分式的基本性质进行分析解答。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意BH是∠ABC的平分线，
因此∠ABG=∠CBG，
在平行四边形ABCD中：AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=3，BC=AD=5，
因为AB∥CD，
所以∠ABG=∠H（两直线平行，内错角相等）；
结合∠ABG=∠CBG，可得∠CBG=∠H；
因此△BCH为等腰三角形，即CH=BC=5；
因为CH=5，CD=3，
所以DH=CH−CD=5−3=2．
故答案为：B．
【分析】根据作图可得∠ABG=∠CBG，然后根据平行四边形的性质得到∠ABG=∠H，即可得到∠CBG=∠H，再根据等角对等边得到CH=BC=5，利用线段的和差解答即可.
5．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
12000x=11000x−5−40，
故答案为：A．
【分析】由题设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，单价比第一批每件便宜了5元，则第二批为(x-5)元，由总价除以单价等于件数，表示出第一批的件数，第二批的件数，再根据：第二批的件数比第一批多购进了40件，列出分式方程．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E， F分别是线段DM， MN的中点，
∴ED=EM,MF=FN,
∴EF=12DN,
∴DN最大时， EF最大，
∵线段EF的最大值为2.5，
∴DN=2EF=5.
∵N与B重合时DN最大，
此时. DN=DB=AD2+AB2=AD2+42=5，
∴AD=3.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理得出 EF=12DN,从而可知DN最大时，EF的最大值为2.5，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB解答即可.
7．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数y1=ax+b过一，二，四象限，
∴a0，
∴abc+d，故③符合题意；
由函数图象可得：当x=m>3时，am+b0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b4600．
答：当每年行驶里程大于4600km时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】解分式方程；列分式方程；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：任务1：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：100×1a=100a（元）．
故答案为：100a；
【分析】
任务1：根据表中的信息，新能源车的每千米行驶费用=新能源车电池的电量×综合电价续航里程，计算即可解答；
任务2：先表示出燃油车的每千米行驶的费用50×8a，再表示出新能源车每千米行驶的费用为100a，再根据 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元，可以列出相应的分式方程，解方程并检验解的合理性，解答即可；
任务3：根据年费用=年行驶费用+年其他费用，分别表示出燃油车和新能源车的年费用，再根据 买新能源车的年费用更低列出相应的不等式，计算即可解答．
18．【答案】（1）
（2）如图（2），AO为所作；
（3）如图（3），AO为所作．
在△ABC和△AED中
AB=AE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD，∠ACB=∠ADE，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC，
在△BCD和△EDC中，
BC=ED∠BCD=∠EDCCD=DC，
∴△BCD≌△ECD，
∴∠BDC=∠ECD，
∴OD=OC，
∴AO垂直平分CD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的判定定理（到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上）及三角形全等的判定，解题需结合定理和全等性质推导。
(1)要证AO垂直平分BC，根据垂直平分线的判定，需证明点A和点O都在BC的垂直平分线上，而点在垂直平分线上的条件是到线段两端点距离相等，因此只需证AB=AC（点A到B、C距离相等）和OB=OC（点O到B、C距离相等）；
(2)连接BE、CD交于点O，因AB=AC，BD=CE，故AD=AE，可证ΔABE≅ΔACD(SAS)，得∠BAO=∠CAO，即AO是∠BAC的角平分线，又AB=AC，故AO垂直平分BC，因此直线AO即为所求；
(3)连接BD、CE交于点O，连接AO。先证ΔABC≅ΔAED(SAS)，得AC=AD，∠ACB=∠ADE，进而∠ACD=∠ADC，故∠BCD=∠EDC；再证ΔBCD≅ΔEDC(SAS)，得∠BDC=∠ECD，故OD=OC，结合AC=AD，可知点A、O都在CD的垂直平分线上，因此直线AO即为CD边的垂直平分线。
19．【答案】（1）10=12+32；
解：（2）当k=8时，S为“完美数”，理由如下：
S=x2+9y2+4x−12y+k
=x2+4x+4+9y2−12y+4+k−8
=(x+2)2+(3y−2)2+k−8，
∵S为“完美数”，
∴k−8=0，
解得：k=8；
（3）∵−x2+73x+y−2=0，
∴−y=−x2+73x−2，
∴−3y=−3x2+7x−6，
∴5x−3y=5x−3x2+7x−6=−3x2+12x−6
=−3x2−4x+4−4−6=−3(x−2)2+6．
当x=2时，5x−3y的最大值为6．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）∵10=12+32，
∴10是“完美数”，
故答案为：10=12+32；
【分析】（1）把10分为两个整数的平方即可；
（2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
（3）由已知等式表示出y，再代入x−2y中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
20．【答案】（1）解：由图1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
∴AB=DE=2AC=6，
∴由勾股定理得：BC=AE=AB2−AC2=33
∴C四边形ABCE=2×(6+33)=12+63
（2）解： ①∵平移，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ACDF是平行四边形。
∴AN∥DM
又∵EF=BC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴DN∥AM。
∴四边形AMDN是平行四边形。
②9
（3）60°或240°
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=12AC=32，AM=DN=12AB=3，
∴ 四边形AMDN的周长 =2（AN+AM)=2（32+3）=9.
故答案为：9；
（3）解：当 △DEF顺时针旋转60°时：位于△D1E1F； 当 △DEF顺时针旋转240°时：位于△D2E2F，
当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重合部分为△AD1G，
∵AB∥DF，
∴∠AD1F=∠D1FD=60°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△AD1G为等边三角形，符合题意；
当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重合部分为△PQC，
∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ，
∴△PQC为等腰三角形，符合题意。
故旋转角的度数为：60°或240°。
【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质求出AB和BC的长度，进而求出四边形ABCE的周长；
（2）①根据一组对边平行切线等即可判定得出 四边形 ACDF 是平行四边形，可得出AN∥DM ，再通过证明四边形AEDB是平行四边形， 可得出DN∥AM，进而得出四边形AMDN是平行四边形；②根据 点A为EF的中点， 可得出AN=DM=12AC=32，AM=DN=12AB=3，进而即可得出 四边形AMDN的周长；
（3）当 △DEF顺时针旋转60°时，两个三角形重合部分为△AD1G为等边三角形，符合题意；当△DEF顺时针旋转240°时，两个三角形重合部分△PQC为等腰三角形，符合题意。
北师大版数学八年级下册期末模拟测试卷（三）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
2． 若 mn=−2，m−n=3，则代数式 m2n−mn2 的值是（ )
A．−6B．−5C．1D．6
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：m2n−mn2=mn(m-n)=-2×3=-6，
故答案为：A.
【分析】先提取公因式分解因式，然后整体代入解答即可.
3．如果把分式3xx2+y2中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的9倍B．扩大到原来的3倍
C．不变D．缩小到原来的13
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：同时把x，y扩大3倍得：3xx2+y2=3⋅3x3x2+3y2=3⋅3x9x2+y2=13⋅3xx2+y2，
即把分式的值缩小到原来的13．
故选：D．
【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键。根据分式的基本性质进行分析解答。
4．如图，▱ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O，作射线BO交AD于点G，交CD的延长线于点H，若AB=3，BC=5，则DH的长为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意BH是∠ABC的平分线，
因此∠ABG=∠CBG，
在平行四边形ABCD中：AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=3，BC=AD=5，
因为AB∥CD，
所以∠ABG=∠H（两直线平行，内错角相等）；
结合∠ABG=∠CBG，可得∠CBG=∠H；
因此△BCH为等腰三角形，即CH=BC=5；
因为CH=5，CD=3，
所以DH=CH−CD=5−3=2．
故答案为：B．
【分析】根据作图可得∠ABG=∠CBG，然后根据平行四边形的性质得到∠ABG=∠H，即可得到∠CBG=∠H，再根据等角对等边得到CH=BC=5，利用线段的和差解答即可.
5．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．12000x=11000x−5−40B．12000x−40=11000x−5
C．12000x−5+40=11000xD．11000x+40=12000x−5
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
12000x=11000x−5−40，
故答案为：A．
【分析】由题设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，单价比第一批每件便宜了5元，则第二批为(x-5)元，由总价除以单价等于件数，表示出第一批的件数，第二批的件数，再根据：第二批的件数比第一批多购进了40件，列出分式方程．
6．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别是线段DM，MN的中点。若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（ )。
A．5B．41C．2.5D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E， F分别是线段DM， MN的中点，
∴ED=EM,MF=FN,
∴EF=12DN,
∴DN最大时， EF最大，
∵线段EF的最大值为2.5，
∴DN=2EF=5.
∵N与B重合时DN最大，
此时. DN=DB=AD2+AB2=AD2+42=5，
∴AD=3.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理得出 EF=12DN,从而可知DN最大时，EF的最大值为2.5，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB解答即可.
7．一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列说法：①ab0；③a+b>c+d；④3a+b=3c+d；⑤当m>3时，am+b>cm+d．其中正确的个数有（ ）
A．①②B．①③④C．①④⑤D．③④⑤
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数y1=ax+b过一，二，四象限，
∴a0，
∴abc+d，故③符合题意；
由函数图象可得：当x=m>3时，am+b0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b0（m为常数，且m≠3）的解集为 y0.2x+5960
解得x>4600．
答：当每年行驶里程大于4600km时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】解分式方程；列分式方程；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：任务1：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：100×1a=100a（元）．
故答案为：100a；
【分析】
任务1：根据表中的信息，新能源车的每千米行驶费用=新能源车电池的电量×综合电价续航里程，计算即可解答；
任务2：先表示出燃油车的每千米行驶的费用50×8a，再表示出新能源车每千米行驶的费用为100a，再根据 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元，可以列出相应的分式方程，解方程并检验解的合理性，解答即可；
任务3：根据年费用=年行驶费用+年其他费用，分别表示出燃油车和新能源车的年费用，再根据 买新能源车的年费用更低列出相应的不等式，计算即可解答．
18．如图（1），在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
（2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．
（3）如图（3），在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．
【答案】（1）
（2）如图（2），AO为所作；
（3）如图（3），AO为所作．
在△ABC和△AED中
AB=AE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD，∠ACB=∠ADE，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC，
在△BCD和△EDC中，
BC=ED∠BCD=∠EDCCD=DC，
∴△BCD≌△ECD，
∴∠BDC=∠ECD，
∴OD=OC，
∴AO垂直平分CD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的判定定理（到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上）及三角形全等的判定，解题需结合定理和全等性质推导。
(1)要证AO垂直平分BC，根据垂直平分线的判定，需证明点A和点O都在BC的垂直平分线上，而点在垂直平分线上的条件是到线段两端点距离相等，因此只需证AB=AC（点A到B、C距离相等）和OB=OC（点O到B、C距离相等）；
(2)连接BE、CD交于点O，因AB=AC，BD=CE，故AD=AE，可证ΔABE≅ΔACD(SAS)，得∠BAO=∠CAO，即AO是∠BAC的角平分线，又AB=AC，故AO垂直平分BC，因此直线AO即为所求；
(3)连接BD、CE交于点O，连接AO。先证ΔABC≅ΔAED(SAS)，得AC=AD，∠ACB=∠ADE，进而∠ACD=∠ADC，故∠BCD=∠EDC；再证ΔBCD≅ΔEDC(SAS)，得∠BDC=∠ECD，故OD=OC，结合AC=AD，可知点A、O都在CD的垂直平分线上，因此直线AO即为CD边的垂直平分线。
19．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5=12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式________；
探究问题：
（2）已知S=x2+9y2+4x−12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（3）已知实数x、y满足−x2+73x+y−2=0，求5x−3y的最值．
【答案】（1）10=12+32；
解：（2）当k=8时，S为“完美数”，理由如下：
S=x2+9y2+4x−12y+k
=x2+4x+4+9y2−12y+4+k−8
=(x+2)2+(3y−2)2+k−8，
∵S为“完美数”，
∴k−8=0，
解得：k=8；
（3）∵−x2+73x+y−2=0，
∴−y=−x2+73x−2，
∴−3y=−3x2+7x−6，
∴5x−3y=5x−3x2+7x−6=−3x2+12x−6
=−3x2−4x+4−4−6=−3(x−2)2+6．
当x=2时，5x−3y的最大值为6．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）∵10=12+32，
∴10是“完美数”，
故答案为：10=12+32；
【分析】（1）把10分为两个整数的平方即可；
（2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
（3）由已知等式表示出y，再代入x−2y中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
20．综合与实践
数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究。
（1）【活动一】拼接
将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长；
（2）【活动二】平移
在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移。在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示。
①求证：四边形AMDN是平行四边形；
②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为 ▲ 。
（3）【活动三】旋转
在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周。在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数。
【答案】（1）解：由图1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
∴AB=DE=2AC=6，
∴由勾股定理得：BC=AE=AB2−AC2=33
∴C四边形ABCE=2×(6+33)=12+63
（2）解： ①∵平移，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ACDF是平行四边形。
∴AN∥DM
又∵EF=BC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴DN∥AM。
∴四边形AMDN是平行四边形。
②9
（3）60°或240°
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=12AC=32，AM=DN=12AB=3，
∴ 四边形AMDN的周长 =2（AN+AM)=2（32+3）=9.
故答案为：9；
（3）解：当 △DEF顺时针旋转60°时：位于△D1E1F； 当 △DEF顺时针旋转240°时：位于△D2E2F，
当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重合部分为△AD1G，
∵AB∥DF，
∴∠AD1F=∠D1FD=60°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△AD1G为等边三角形，符合题意；
当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重合部分为△PQC，
∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ，
∴△PQC为等腰三角形，符合题意。
故旋转角的度数为：60°或240°。
【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质求出AB和BC的长度，进而求出四边形ABCE的周长；
（2）①根据一组对边平行切线等即可判定得出 四边形 ACDF 是平行四边形，可得出AN∥DM ，再通过证明四边形AEDB是平行四边形， 可得出DN∥AM，进而得出四边形AMDN是平行四边形；②根据 点A为EF的中点， 可得出AN=DM=12AC=32，AM=DN=12AB=3，进而即可得出 四边形AMDN的周长；
（3）当 △DEF顺时针旋转60°时，两个三角形重合部分为△AD1G为等边三角形，符合题意；当△DEF顺时针旋转240°时，两个三角形重合部分△PQC为等腰三角形，符合题意。
素材1
燃油车油箱容积：50L，油价：8元/L，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）：akm，每千米行驶费用：50×8a元；新能源车电池电量：100kW⋅ℎ，综合电价：1元/（kW⋅ℎ），续航里程：akm，每千米行驶费用：_________元．
素材2
燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元．
素材3
燃油车和新能源车每年的其他费用分别为3200元和5960元．
问题解决
任务1
用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
任务2
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3
每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用）
要证直线AO垂直平分BC，只要证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只要证
= ， =
要证直线AO垂直平分BC，只要证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只要证
AB = AC ， OB = OC
素材1
燃油车油箱容积：50L，油价：8元/L，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）：akm，每千米行驶费用：50×8a元；新能源车电池电量：100kW⋅ℎ，综合电价：1元/（kW⋅ℎ），续航里程：akm，每千米行驶费用：_________元．
素材2
燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元．
素材3
燃油车和新能源车每年的其他费用分别为3200元和5960元．
问题解决
任务1
用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
任务2
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3
每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用）
要证直线AO垂直平分BC，只要证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只要证
= ， =
要证直线AO垂直平分BC，只要证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只要证
AB = AC ， OB = OC