湖南省师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试卷（Word版附解析）

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这是一份湖南省师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试卷（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了若，则实数 a 等于等内容，欢迎下载使用。
数学试题
时量：120 分钟满分：150 分
⼀、选择题（本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合要求的.）
1. 若，则实数 a 等于( )
A. B. C. 2 D. 3
2. 如图，正⽅形的边⻓为 2，它是⽔平放置的⼀个平⾯图形的直观图，则原图形的⾯积( )
A. B. C. D. 4
3. 已知⼀组数据，，的平均数为，⽅差为，则数据，，，的平
均数和⽅差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. 设 a ，b 是两条不同的直线，，是两个不同的平⾯，则的⼀个充分条件是( )
A. 存在⽆数条直线与，都平⾏
B. 存在⽆数个平⾯与，都垂直
C. 存在两条平⾏直线 a ，b ，，，，
D. 存在两条异⾯直线 a ，b ，，，，
5. 从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和⼤于等于的概率为( )
A. B. C. D.
6. 如图，圆台的侧⾯展开图为半圆环，图中线段，C ，O，D 为线段 AB 的四等分点，则该圆台的体
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积为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知平⾯向量，，，且，向量与所成的角为，且对任意实数 t 恒成⽴，则的最⼩值为( )
A. B. C. D.
⼆、选择题（本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 已知事件 A ，B 满⾜，，则下列说法正确的是( )
A. 若 A 与 B 互斥，则
B. 若，则
C. 若 A 与 B 相互独⽴，则 D. 若，则 A 与 B 相互独⽴
10. 已知函数的部分图象如图所⽰，则下列说法正确的是
( )
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A. B.
C. 不等式的解集为
D. 将的图象向右平移个单位⻓度后所得函数的图象在上不单调
11. 传说古希腊数学家阿基⽶德的墓碑上刻着⼀个圆柱，圆柱内有⼀个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的
⾼相等.“圆柱容球”是阿基⽶德最为得意的发现.如图是⼀个圆柱容球，，为圆柱下、上底⾯的圆⼼，
为球⼼，为底⾯圆的⼀条直径，若球的半径，则( )
A. 球与圆柱的表⾯积之⽐为
B. 平⾯截得球的截⾯⾯积最⼩值为
C. 四⾯体的体积的取值范围为
D. 若为球⾯和圆柱侧⾯的交线上⼀点，则的取值范围为
三、填空题（本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.）
12. 已知向量，，，若，则 .
13. 某校组织了“⼈⼯智能知识”测试，现随机抽取了 100 名学⽣的测试成绩（单位：分），这 100 名学⽣的成绩都分布在区间内，绘制成如图所⽰的频率分布直⽅图. 则这 100 名学⽣成绩的 61%分位数为
. _____
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14. 在中，内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且 . 若关于 x 的不等式
有解，则实数 t 的取值范围为______.
四、解答题（本题共 5 ⼩题，共 77 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合， .
（1）若，求 A ，B 及；
（2）若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 a 的取值范围 .
16. 已知奇函数的定义域为 .
（1）求实数 a ，b 的值；
（2）当时，恒成⽴，求实数 m 的取值范围.
17. 在中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c，且， .
（1）求角 B ；
（2）若的⾯积为，求的值；
（3）若为锐角三角形，求⾯积的取值范围 .
18. 如图，在四棱锥中，，，，M，N 分别为 PA，BC 的中点，底⾯四边形是边⻓为 2 的菱形且，AC 交 BD 于点 O.
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（1）求证：平⾯ PCD ；
（2）求证：平⾯平⾯ ABCD ；
（3）求⼆⾯角的平⾯角的余弦值.
19. 设 P ，Q 是两个⾮空数集，若定义在上的函数对任意当时，
,则称为 P 到 Q 的双界函数.
（1）设，， .
（i ）证明：当时，是 P 到 Q 的双界函数；
(ⅱ )若是 P 到 Q 的双界函数，求实数 k 的取值范围.
（2）若，，是 P 到 Q 的双界函数，当时，，求在
上的最⼩值.
（3）设集合其中， .若，是 P 到 Q 的双界函
数，证明：是 A 到 B 的双界函数.
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