2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知||=，||=1，•=-1，则向量与向量的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 90°D. 135°
2.设a＞0，S＞0，下列各项中，能推出的一项是（ ）
A. a＞1，且S＞1B. a＞1，且S＜a
C. 0＜a＜1，且S＜aD. 0＜a＜1，且S＜1
3.已知点A（0，1），B（2，0），点C在曲线上，则△ABC的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
4.若有穷整数列An：a1，a2，…，an（n≥3），满足：ai+1-ai∈{-1，2}，（i=1，2，…，n-1），且a1=an=0，则称An具有性质T，则正确的是（ ）
A. 存在具有性质T的A5
B. 不存在具有性质T的A7
C. 若A10具有性质T，则a1，a2，…，a9中至少有两项相同
D. 对于任意正整数n≥3，对任意具有性质T的An，有a1，a2，…，an-1中任意两项均不相同
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6，8}，则A∩B= .
6.1和3的等差中项是 .
7.不等式的解是______．
8.双曲线=1的渐近线方程是_____________.
9.已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 .
10.已知lga+lg（2b）=1，则a+b的最小值是 ．
11.设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X≤1）=0.2，则P（X＜3）= .
12.若的二项展开式中，第5项为常数项，则n= .
13.已知函数f（x）=e3x，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 .
14.已知A、B为互斥事件，且P（A）=0.6，P（B）=0.2，则= .
15.已知i为虚数单位，若复数z1和复数z2满足|z1-1-i|≤1，z2=z1i,|z1-z2|的最大值为 .
16.已知球O的半径为2，AB是球O的一条直径，点P是球面上一个定点，且PB=2.设点Q是球面上异于A、B、P的动点，若点Q满足，则点Q运动所形成的曲线周长为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
记等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=9，S5=25.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(本小题14分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2AA1=4，E，F分别为棱AB，BC的中点.
（1）证明：B1E⊥平面A1EF；
（2）求平面A1EF与平面ACC1A1所成锐二面角的大小.
19.(本小题14分)
有两个罐子，A罐中放有3个白球和2个黑球，B罐中放有5个白球.
（1）若从A罐不放回地摸2个球，求恰好摸到一个白球一个黑球的概率；
（2）若从A罐不放回地摸2个球，求第二次摸到白球的概率；
（3）现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记A罐中黑球的个数为X，求X的分布列和期望.
20.(本小题18分)
已知双曲线的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为2的直线l1与双曲线C的左支交于D，E两点，P为双曲线C右支上的一动点；
（1）求双曲线C的实轴长与离心率；
（2）求△DEP面积的最小值；
（3）设直线l2与双曲线C交于M，N两点，且AM⊥AN.证明：直线l2过定点；
21.(本小题18分)
若对于函数y=f（x）和y=g（x），存在常数n,对任意实数x,使f′（x）≥ng′（x）成立，则称函数y=f（x）是函数y=g（x）的“n-控制函数”（已知y=f（x）和y=g（x）定义域均为R）.
（1）证明：函数f（x）=x+1是函数g（x）=csx的“1-控制函数”；
（2）若函数f（x）=-x4-4x3-12x2-20x是函数g（x）=ex的“n-控制函数”，求n的取值范围；
（3）若，其中a＞0且a≠1，函数y=q（x）为定义在R上的偶函数，函数y=p（x）是函数y=q（x）的“n-控制函数”，当n=-1时，求证“”的充要条件是“y=p（x）+q（x）为常值函数”.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】{2，3}
6.【答案】2
7.【答案】0＜x＜1（或（0，1））
8.【答案】
9.【答案】15π
10.【答案】2
11.【答案】0.8
12.【答案】8
13.【答案】y=3x+1
14.【答案】0.2
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】因为AA1⊥平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以AA1⊥EF，
因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以EF∥AC，
又AB⊥AC，所以EF⊥AB，
而AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，
所以EF⊥平面ABB1A1，
又B1E⊂平面ABB1A1，
所以EF⊥B1E，
因为AB=AC=2AA1=4，
所以，
又A1B1=4，所以，即A1E⊥B1E，
又A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面A1EF，
所以B1E⊥平面A1EF
19.【答案】 X的分布列为：

20.【答案】实轴长2，离心率2 证明：由（1）知A（1，0），设M，N的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4）．
当直线l2的斜率为0时，x4=-x3，y4=y3，
则，
当AM⊥AN时，
，解得y3=0，
则M，N中一个点与A重合，此时AM⊥AN不成立，所以直线l2的斜率不为0；设直线l2的方程为my=x+n，
联立方程，消去x后整理，得（3m2-1）y2-6mny+3n2-3=0，
则，，

=（my3-n）（my4-n）-[（my3-n）+（my4-n）]+1+y3y4
==，
由AM⊥AN，得，
所以，
即（m2+1）×（3n2-3）-（mn+m）×6mn+（n2+2n+1）（3m2-1）=0，
化简，得n2-n-2=0解得n=-1或2．
当n=-1时，直线l2过点（1，0），不合题意；当n=2时，直线l2的方程为my=x+2，所以直线l2过定点（-2，0）．

21.【答案】证明如下，
由于函数f（x）=x+1，g（x）=csx，因此f′（x）=1，g′（x）=-sinx，那么导函数g′（x）∈[-1，1]，
故f′（x）-g′（x）=1+sinx≥0，即f′（x）≥g′（x）恒成立，
因此f（x）=x+1是函数g（x）=csx的“1-控制函数” 证明如下，
必要性：若存在常数c使得y=p（x）+q（x）=c恒成立，
因此，因此，
由于y=q（x）为偶函数，那么，
所以，得到，
那么可得（2+lga2）x=0，得，
那么函数，所以导函数，
因为，所以导函数，
当n=-1时，恒成立，
故“”是“y=p（x）+q（x）为常值函数”必要条件；充分性：当时，，
则
=，
所以函数p（x）为偶函数，又y=q（x）是偶函数，
那么p′（x）=-p′（-x），q′（x）=-q′（-x），
当n=-1时，p′（x）≥-q′（x），因此-p′（-x）≥q′（-x），
则-p′（x）≥q′（x），因此p′（x）≤-q′（x），
则p′（x）=-q′（x），即p′（x）+q′（x）=0，那么p（x）+q（x）=c为常值函数．
故“”是“y=p（x）+q（x）为常值函数”充分条件．
综上可得，当n=-1时，“”的充要条件是“y=p（x）+q（x）为常值函数” X
0
1
2
P