重庆市南开中学教共体学校2025-2026学年七年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份重庆市南开中学教共体学校2025-2026学年七年级下学期期中 数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列方程是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 解方程，去括号正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 2，3，5B. 3，3，6C. 1，2，4D. 3，4，5
4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 关于的一元一次不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D. 无解
6. 数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7. 若，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
8. 2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 按下面的程序计算：
若输入，输出结果是115；若输入，输出结果是65．若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为75，则开始输入的值可能有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
10. 已知整式，其中、、为自然数，且．下列说法：
①满足条件的整式共有16个；
②若是方程的解，则的值为1；
③若时，整式，则关于的不等式的解集是．
正确的个数是（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 方程“”的解为_____．
12. 已知方程，用含x的代数式表示y，则_________．
13. 若是关于、二元一次方程的一组解，则的值为______．
14. 2026年新春，重庆无人机表演大放异彩，点亮山城夜空．重庆某工厂计划批量生产表演专用无人机，现有工人共40名，每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片．已知1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套．设安排人生产机身，人生产机翼，恰好使每天生产的机身与机翼配套，则可列方程组为：_______．
15. 已知关于的不等式组有解，则的取值范围是_______．
16. 一个各数位均不为0的三位自然数，若，则称为“方加数”．例如：三位数723，∵，∴723是“方加数”．若为“方加数”，则的最大值为_____；若一个方加数是奇数，且是整数，则满足条件的的最小值是______．
三、解答题：（本大题9个小题，17-18每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
请结合题意，完成本题的解答．
解：解不等式①，得_________．
解不等式②，得___________．
在同一数轴上表示不等式①②的解集：
所以，不等式组的解集为_____________．
它的所有整数解为____________．
18. 解下列方程：
（1）；
（2）．
19. 解下列方程组：
（1）；
（2）．
20. 如图，在中，平分的外角，请完成以下作图与填空：
（1）在方格纸中过点作边上的高，交于点；
（2）在中，，平分的外角，是边上的高交于点，求的度数．
解：∵是的外角，且（已知），
∴（①），
又∵平分（已知），
∴②（角平分线的定义），
∵是边上的高（已知），
∴③（垂直的定义），
又∵是的外角（已知），
∴④⑤
21. 已知，解答下列问题：
（1）当取何值时，与的值相等？
（2）当取何值时，的值比值的2倍大1？
22. 随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元．
（1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？
（2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？
23. 关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：“”变更方程为“”．
（1）求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解；
（2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒．
（1）点整个运动过程中，共需____秒；
（2）当的面积为时，求的值；
（3）当的面积大于时，求的取值范围．
25. 如图1，点，点分别在边、上，，的平分线交于点．
（1）求的度数．
（2）如图2，如果的平分线交于点，，求的度数．
（3）如图3，如果点是线段上的一个动点（不与点、重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，直接写出其值．
数学
满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列方程是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据一元一次方程需满足三个条件：只含1个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式，即可求解．
解答过程：选项A中含有两个未知数，不符合定义，A错误；
选项B中只含一个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，B正确；
选项C中未知数的次数为2，不符合定义，C错误；
选项D中分母含有未知数，不是整式方程，不符合定义，D错误．
2. 解方程，去括号正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：原方程为，去括号得．
3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 2，3，5B. 3，3，6C. 1，2，4D. 3，4，5
答案：D
解析：
思路：根据三角形任意两边之和大于第三边，判断时只需将两条较短边的和与最长边比较，若和大于最长边即可组成三角形，反之不能．
解答过程：解：A选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
C选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
D选项，，满足两边之和大于第三边，能组成三角形．
4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案．
解答过程：解：已知，逐一判断选项：
A选项，∵不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，
∴两边同乘，可得，该不等式一定成立，符合题意；
B选项，∵不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，
∴两边同减，可得，原不等式不成立，不符合题意；
C选项，∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，
∴两边同乘，可得，原不等式不成立，不符合题意；
D选项，∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，
∴两边同加，可得，原不等式不成立，不符合题意．
5. 关于的一元一次不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D. 无解
答案：C
解析：
解答过程：解：不等式组的解集为 ．
6. 数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
答案：C
解析：
思路：先根据去分母时，两边都要乘以2判断，再根据代入法求出方程组的解．
解答过程：解：丙同学出现错误，去分母时，18应该乘以2，正确的过程如下：
，
解：由①，得，
将③代入②，得，
去分母，得，即，
解得，
将代入③，得．
7. 若，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
答案：A
解析：
思路：根据非负数的性质得关于、的二元一次方程，解方程，然后代值计算即可．
解答过程：解：∵，
∴，
解得，
∴．
8. 2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：将总工作量看作1，先得到单人工作效率，再分别计算两部分工作量，根据工作量之和等于总工作量列方程即可．
解答过程：解：∵1人完成全部工作需要16小时，
∴1人1小时的工作效率为.
设先安排人工作，
则人先做1小时的工作量为 ，
增加1人后，人做2小时的工作量为 ，
∵两次工作量之和为总工作量的，
∴可得方程 ．
9. 按下面的程序计算：
若输入，输出结果是115；若输入，输出结果是65．若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为75，则开始输入的值可能有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
答案：C
解析：
思路：当输出的结果为75时，求出，再令，求出结果，然后令结果等于，直至找出不符合题意的结果，进而得出答案．
解答过程：解：当输出的结果为75时，，
解得；
当时，最后输出的结果为75，即，
解得；
当时，最后输出的结果为75，即，
解得；
当时，最后输出的结果为75，即，
解得（不符合题意，舍去），
所以开始输入的m的值可能是35，15，5，一共有3种．
10. 已知整式，其中、、为自然数，且．下列说法：
①满足条件的整式共有16个；
②若是方程的解，则的值为1；
③若时，整式，则关于的不等式的解集是．
正确的个数是（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
答案：B
解析：
思路：本题结合自然数的定义，根据已知条件逐个分析三个说法，通过计算系数、求解不等式判断每个说法的正误，即可得到结果．
解答过程：∵ 为自然数，且，逐个分析如下：
① 枚举所有可能的组合：
当时，，共5种；
当时，，共4种；
当时，，共3种；
当时，，共2种；
当时，，共1种；
总共有个不同的整式，不是16个，故①错误．
② ∵ 是方程的解，
代入得，
又∵ ，
两式相减得，解得，故②正确．
③ ∵ 时，整式，
又∵ ，
两式相减得，
∵ 是自然数，可得唯一解，，
则，
因此，
解不等式，得，故③正确．
综上，正确的说法共2个，故选B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 方程“”的解为_____．
答案：
解析：
解答过程：对方程移项，解得．
12. 已知方程，用含x的代数式表示y，则_________．
答案：##
解析：
思路：要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的另一边．
解答过程：解：，
移项，得.
故答案为：．
方法提示：本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
13. 若是关于、二元一次方程的一组解，则的值为______．
答案：
解析：
思路：先根据二元一次方程解的定义，将代入方程，得到，将等式两边同时乘以，即可求出的值．
解答过程：解：将代入，得
，
∴．
14. 2026年新春，重庆无人机表演大放异彩，点亮山城夜空．重庆某工厂计划批量生产表演专用无人机，现有工人共40名，每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片．已知1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套．设安排人生产机身，人生产机翼，恰好使每天生产的机身与机翼配套，则可列方程组为：_______．
答案：
解析：
思路：等量关系为：生产机身的人数生产机翼的人数；无人机机身的数量机翼的数量，把相关数值代入即可求解．
解答过程：解：∵工人共40名，
∴，
∵每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片，
∴总共生产无人机机身台或生产机翼片，
∵1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套，恰好使每天生产的机身与机翼配套，
∴，
∴可列方程组为．
15. 已知关于的不等式组有解，则的取值范围是_______．
答案：
解析：
思路：分别解不等式组中的两个不等式，根据不等式组有解，可知两个不等式的解有公共部分，即可得关于的不等式，求解即可．
解答过程：解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∵不等式组有解，
∴，
解得，
即的取值范围是．
16. 一个各数位均不为0的三位自然数，若，则称为“方加数”．例如：三位数723，∵，∴723是“方加数”．若为“方加数”，则的最大值为_____；若一个方加数是奇数，且是整数，则满足条件的的最小值是______．
答案： ①. 925 ②. 521
解析：
思路：（1）要使方加数最大，优先让百位数字a取最大9，结合关系式，利用数位不为0推出的最大取值，再求出对应c，即可得到最大三位数．
（2）由N为奇数确定个位c是奇数，结合a的取值范围确定b只有1、2两种取值；把三位数与两位数代数式化简合并，代入整理式子；利用3的倍数特征，判断只需前半部分式子能被3整除，筛选出符合条件的b；结合取值范围确定c的可能值，写出所有符合条件的数，比较大小得出最小值．
解答过程：解： 为三位数的百位数字，
，且a，b，c均为不为0的正整数．
要使三位数N最大，则百位数字a取最大值9．
，
．
，
．
是正整数，
最大可取2．
当时，
，
此时三位数为925．
方加数N的最大值为．
三位数是方加数，
．
是奇数，
个位数字c为奇数．
，，
．
又为不为0的正整数，
或．
，，
．
将代入得
．
是的倍数，
能被整除．
要使整个式子为整数，只需能被整除即可．
当时，
，
121不能被3整除，不符合题意，舍去．
当时，
，
462能被整除，符合题意．
只能取2，
此时，
，
，即．
又是不为0的奇数，
可取1，3，5．
当时，，；
当时，，；
当时，，．
，
满足条件的N的最小值为521．
三、解答题：（本大题9个小题，17-18每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
请结合题意，完成本题的解答．
解：解不等式①，得_________．
解不等式②，得___________．
在同一数轴上表示不等式①②的解集：
所以，不等式组的解集为_____________．
它的所有整数解为____________．
答案：见详解
解析：
解答过程：解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一数轴上表示不等式①②的解集：
所以，不等式组的解集为．
它的所有整数解为0，1．
18. 解下列方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可．
（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
19. 解下列方程组：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理方程，再利用加减消元法解方程组即可．
（1）解：，
得，，
解得，
将代入得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
方程整理得，，
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
∴方程组的解为．
20. 如图，在中，平分的外角，请完成以下作图与填空：
（1）在方格纸中过点作边上的高，交于点；
（2）在中，，平分的外角，是边上的高交于点，求的度数．
解：∵是的外角，且（已知），
∴（①），
又∵平分（已知），
∴②（角平分线的定义），
∵是边上的高（已知），
∴③（垂直的定义），
又∵是的外角（已知），
∴④⑤
答案：（1）见解析 （2）①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；②39；③90；④；⑤
解析：
思路：（1）按要求过点作边上的高，交的延长线于点F，交于点；
（2）求出，，利用三角形的外角的性质求解即可．
（1）解：如图，边上的高，交于点；
（2）解：∵是的外角，且（已知），
∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵是边上的高（已知），
∴（垂直的定义），
又∵是的外角（已知），
∴．
21. 已知，解答下列问题：
（1）当取何值时，与的值相等？
（2）当取何值时，的值比值的2倍大1？
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据题意可得，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可得解；
（2）根据题意可得，仿照（1）解答即可．
（1）解：由题意可知，
∴，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
两边都除以5，得，
所以当时，A与B的值相等；
（2）解：根据题意可知，
∴，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
22. 随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元．
（1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？
（2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？
答案：（1）A型号的新能源汽车每辆的进价为24万元，B型号的新能源汽车每辆的进价为12万元
（2）该经销商共有三种购车方案：
方案一：购买A型号的新能源汽车6辆，B型号的新能源汽车14辆；
方案二：购买A型号的新能源汽车7辆，B型号的新能源汽车13辆；
方案三：购买A型号的新能源汽车8辆，B型号的新能源汽车12辆
解析：
思路：（1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为万元、万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进A型号的新能源汽车辆，则购进B型号的新能源汽车辆，根据“公司投入的购车资金不超过340万元”、“要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元”，分别列出一元一次不等式，求出的取值范围，即可得购车方案．
（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为万元、万元，
根据题意得，
解得，
答：A型号的新能源汽车每辆的进价为24万元，B型号的新能源汽车每辆的进价为12万元；
（2）解：设购进A型号的新能源汽车辆，则购进B型号的新能源汽车辆，
∵公司投入的购车资金不超过340万元，
∴，
解得m≤813，
∵要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，
∴，
解得，
∴，
∵m为正整数，
∴或7或8，
∴该经销商共有三种购车方案：
方案一：购买A型号的新能源汽车6辆，B型号的新能源汽车14辆；
方案二：购买A型号的新能源汽车7辆，B型号的新能源汽车13辆；
方案三：购买A型号的新能源汽车8辆，B型号的新能源汽车12辆．
23. 关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：“”变更方程为“”．
（1）求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解；
（2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
答案：（1）
（2）2026
解析：
思路：（1）根据“变更方程”的定义可得方程，然后联立方程组求解即可；
（2）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可．
（1）解：由定义可知，的变更方程为．
联立得方程组：
，得，
解得．
把代入①，
得，
解得．
方程组的解为．
（2）解：方程与它的“变更方程”组成的方程组为，
，得，
，
．
把代入①，得，
．
，
，
．
又 方程是二元一次方程，
，
．
∴把代入可得，即，
∴
．
24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒．
（1）点整个运动过程中，共需____秒；
（2）当的面积为时，求的值；
（3）当的面积大于时，求的取值范围．
答案：（1）
（2）当或时，的面积为
（3）当时，的面积大于
解析：
思路：（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间；
（2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；
（3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围．
（1）解：在中，，，，
，
点的运动速度为个单位长度每秒，
点整个运动过程中，共需秒；
（2）解：当点在上运动时，，
则有，
，
解得：；
当点在上运动时，，
则有，
，
解得：；
综上所述，当或时，的面积为；
（3）解：当点在上运动时，，
则有，
，
解得：，
当点在上运动时，，
则有，
，
解得：，
当时，的面积大于．
25. 如图1，点，点分别在边、上，，的平分线交于点．
（1）求的度数．
（2）如图2，如果的平分线交于点，，求的度数．
（3）如图3，如果点是线段上的一个动点（不与点、重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，直接写出其值．
答案：（1）
（2） （3）不变，
解析：
思路：本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，角的和差关系等知识点．
（1）根据平行线的性质得到，根据角的和差关系以及角平分线的定义得到，继而得到．
（2）设交于点，根据三角形外角的性质得到，根据平分，平分，得到，继而得到．
（3）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，通过角的和差关系计算得到，继而得到．
（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，设交于点，
，
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
；
（3）解：不变，
分别平分，
，
，
，
，，
，
，∠DNI=∠ANF ，
∴∠DEC+∠DMH∠ANF=2∠ADF+∠DAN∠ADF+∠DAN=2 ．