重庆市南开中学校2023-2024学年七年级下学期开学考试 数学模拟试题（含解析）

这是一份重庆市南开中学校2023-2024学年七年级下学期开学考试 数学模拟试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．有理数2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．如图是一个正方体的平面展开图，则原正方体中与“祝”字一面相对面上的字是（ ）
A．祝B．试C．顺D．利
3．下面的调查方式中，你认为合适的是（ ）
A．了解某班学生每日的体温情况，采用抽样调查方式
B．为了解一批药品的质量是否符合国家标准，采用普查方式
C．对乘坐某次高铁的乘客进行安全检查，采用抽样调查方式
D．对载人航天器“神舟14号”笭部件的检查，采用普查方式
4．关于整式下列说法中正确的是（ ）
A．的系数是6B．的次数是3
C．的系数是D．的次数是5
5．已知，则下列变形中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，射线在射线的反向延长线上，则射线的方向是（ ）
A．北偏东B．东偏北C．北偏东D．东偏北
7．按如图所示的运算程序，若输入时，输出结果为（ ）
A．8B．4C．D．
8．小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以6米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以6米/秒的速度跑了x米，则列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，第1个图案需要3根小棒，第2个图案需要5根小棒，第3个图案需要7根小棒，…，按此规律，则第2024个图案中需要小棒的根数是（ ）
A．4047B．4048C．4049D．4050
10．如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（ ）
A．或28B．或28C．或D．
二、填空题（本大题共8小题）
11．年我市参加中考的有名学生，其中数据用科学记数法表示为 ．
12．单项式的系数是 ．
13．一个角的补角为，则这个角的度数为 ．
14．如图，M为线段的中点，若点C在线段上，且，，则线段的长为 ．
15．如图，当钟表上的时间显示为7：20，时针与分针所成的夹角为 度．

16．如图所示，四个相同的圆柱形笔筒用绳子缠绕一圈（接头忽略不计），问至少用绳子 厘米（计算结果保留）．
17．已知关于x的方程的解是非负整数，那么正整数a的所有可能的值之和为 ．
18．若一个各位上的数字均不为0且互不相等的四位数M满足：千位与十位数字之和等于9，百位与个数位数字之和等于6，则称这个数M为“吉祥如意数”．若“吉祥如意数”（，且a，b，c，d为整数）与234的和被7整除余3，则当 时，M满足条件，且M的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，已知点在线段上，为直线外一点．
(1)请按要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①连接；
②在线段上截取点，使得线段；
③若，在线段上取的中点．
(2)由于为的中点，小敏在学习完线段中点的相关知识后，进行了自主研究．若为的中点，请根据她的思路，补全下列解题过程：
解：∵点是线段的中点，
∴ ，
∵点是线段的中点，
∴ ，
∵ ，
即，
∴ ．
23．狮舞龙腾歌辞旧，春乃岁首斗换班．满怀收获的2023年已经过去，2024年正全新开启．某校为庆祝元旦晚会，准备从初一年级共320名同学中挑选身高相差不多的同学参加舞龙舞狮节目．为此通过随机抽样的方法收集了部分同学的身高数据（用x表示，单位：cm），并根据测得的数据绘制了两幅不完整的统计图（共分为四个等级：A．，B．，C．，D．，E．），请根据图中提供的信息完成以下问题：

(1)上述统计中抽取的样本容量为__________，C所在扇形的圆心角度数是__________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)元旦晚会舞龙舞狮节目要求身高大于或等于，请你根据调查结果，估计该年级身高符合要求的学生有多少名？
24．如图，为钝角，射线平分，射线在内部，射线平分．
(1)若，，求的度数；
(2)请写出与度数之间的等量关系，并说明理由．
25．“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．
(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；
(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．
26．点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上．
(1)在图1中， ；
(2)如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？
(3)将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系．
参考答案
1．【答案】B
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：有理数2024的相反数是，
故此题答案为B．
2．【答案】D
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，“Z”字两端是对面，即可解答．
【详解】解：原正方体中与“祝”字一面相对面上的字是“利”．
故此题答案为D．
3．【答案】D
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少分析解答即可．
【详解】解：A．了解某班学生每日的体温情况，工作量比较小，宜采用普查方式，故原说法不符合题意；
B．为了解一批药品的质量是否符合国家标准，具有破坏性，宜采用抽样调查方式，故原说法不符合题意；
C．对乘坐某次高铁的乘客进行安全检查，工作非常重要，宜采用普查方式，故原说法不符合题意；
D．对载人航天器“神舟14号”笭部件的检查，采用普查方式，合适，符合题意．
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求解即可．
【详解】解：的系数是，次数是4，
∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意，
故此题答案为C．
5．【答案】C
【分析】根据等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，，成立，不符合题意；
B、，，成立，不符合题意；
C、，，原变形错误，不符合题意；
D、，，成立，不符合题意．
故此题答案为C．
6．【答案】A
【详解】解：如图所示：
依题意可知：，
∵，
又∵，
∴，
射线的方向是北偏东．
故此题答案为．
7．【答案】A
【分析】按照运算程序，，走下面的计算程序，代入得出即可．
【详解】解：输入得，
故此题答案为A．
8．【答案】D
【分析】设小明以6米/秒速度跑了x米，那么以5米/秒速度跑了米．根据“一共花了10分钟”列方程即可求解．
【详解】解：设小明以6米/秒速度跑了x米，那么以5米/秒速度跑了米．
根据题意列方程：，
故此题答案为D．
9．【答案】C
【分析】观察图案，可知下一个图比前一个图多2根小棒，由此得到第n个图形需要小棒根，据此即可解答．
【详解】由图可得：
第1个图案需要小棒3根，即，
第2个图案需要小棒5根，即，
第3个图案需要小棒7根，即，
第4个图案需要小棒9根，即，
……
第n个图案需要小棒根，
∴第2024个图案需要小棒的根数是：．
故此题答案为C
10．【答案】B
【分析】分两种情况：①当时，，，可得，②当时，，，有，解方程可得答案．
【详解】解：①当时，，
∵射线为的角平分线，射线为的四等分线，
∴，，
∴，
解得（舍去）或；
②当时，，
∵射线为的角平分线，射线为的四等分线，
∴，，
，
解得（舍去）或；
综上所述，t的值为或28；
故此题答案为B．
11．【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
12．【答案】
【分析】根据单项式的定义，字母前的数字即为单项式的系数．
【详解】解：单项式的系数是．
13．【答案】
【分析】根据补角的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：一个角的补角为，
这个角的度数
14．【答案】4
【分析】设，根据线段中点的定义可得，根据比例列式求解即可．
【详解】设，则，
M为线段的中点，
，
，，即，
解得，，
∴
15．【答案】100
【分析】根据时钟上一大格是，时针一分钟转进行计算，即可解答．
【详解】由题意得：
．
16．【答案】
【分析】根据图形可知绕在笔筒上的绳子的四个角是圆弧，四段圆弧之和为一个圆筒的周长，上下左右共四段线段，每段为一个圆筒的直径．据此即可解答．
【详解】由图可知圆的直径为a厘米，则
绳子长为：（厘米）．
17．【答案】15
【分析】本题的解为非负整数（即为自然数），要考虑解为0的情况．先解方程得出，根据方程的解为非负整数和a为正整数这两个已知条件，得出a的值，继而进一步计算出所有正整数a的值之和．
【详解】解：，
解得：，
∵方程的解为非负整数且a为正整数，
或或，
∴或或，
∴所有满足条件的正整数a的值之和为．
18．【答案】 23 6531
【分析】根据已知条件得到，，，，，，，因此，又根据M与234的和被7整除余3，得到能被7整除，计算得，当分别等于7，14，28，35时，分别求出a，b的值，当其值满足各自的取值范围时，即可求解．
【详解】解：由已知可得，，，
∴，，
∵，，，，
∴，，，，
∴，
∵M与234的和被7整除余3，
∴能被7整除，
∴，
①当时，，a，b无法取得符合题意的值；
②当时，，则
，，不合题意，舍去；
或，此时，，不合题意，舍去；
③当时，，则
，，不合题意，舍去；
或，，不合题意，舍去；
或，此时，，不合题意，舍去；
④当时，，则
，此时，，不合题意，舍去；
或，此时，，符合题意；
或，，不合题意，舍去；
⑤当时，，则
，，不合题意，舍去；
或，，不合题意，舍去；
综上所述，当时，即，，，时M符合条件，此时．
19．【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
21．【答案】，
【分析】先利用整式乘除的混合运算法则化简，再利用完全平方公式，非负数的性质求出x，y的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
；
，
，
，
当时，原式．
22．【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析；
(2)，，，．
【分析】（）根据线段的定义画图即可；
以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点即为所求；
以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点即为所求；
（）根据中点的定义以及线段的和差关系填空即可
【详解】（1）（）如图，线段即为所求；
如图，以点为圆心，交线段于点，则点即为所求；
如图，以点为圆心，交线段于点，则点即为所求；
（2）解：∵点是线段的中点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
即，
∴
23．【答案】(1)40，
(2)见解析
(3)估计该年级身高符合要求的学生有80名
【分析】（1）由E组人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以C组人数所占比例即可；
（2）根据各组人数之和等于总人数求出B组人数即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．
【详解】（1）解：上述统计中抽取的样本容量为，
C所在扇形的圆心角度数是
（2）解：B组人数为（人），
补全图形如下：

（3）解：（名），
答：估计该年级身高符合要求的学生有80名．
24．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，根据角平分线的定义以及角的和差列出关于的方程式，即可求得；
（2）根据角的和差和角平分线的定义列出和，然后两式相减即可得到答案．
【详解】（1）解：设，则，
射线平分，
，
，
射线平分，
，
，解得，
；
（2）解：，
理由如下：
射线平分，
，
①
射线平分，
，
②
由①②得，
．
25．【答案】(1)每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．
(2)m的值为10．
【分析】（1）设每盒坚果礼盒的售价为x元，则每个水果篮的售价为（x+100）元，根据售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据促销方案找出每个水果篮和每盒坚果礼盒的活动价，根据利润=销售收入-总成本，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设每盒坚果礼盒的售价为x元，则每个水果篮的售价为（x+100）元，
依题意得：2（x-150）=x+100-200，
解得：x=200，
∴x+100=300．
答：每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．
（2）∵300×0.9=270（元），
∴每个水果篮的活动价为（270-2m）元．
∵每盒坚果礼盒的售价为200元，
∴每盒坚果礼盒的活动价为（200-2m）元．
依题意得：（1250-50）（270-2m）+1200（200-2m）-1250×200-1200×150=（1250×200+1200×150）×20%，
解得：m=10．
答：m的值为10．
26．【答案】(1)；
(2)或时与垂直；
(3)
【分析】（1）根据得到，结合角平分线即可得到答案；
（2）根据垂直列式求解即可得到答案；
（3）设，分别表示出，，即可得到答案
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：由题意可得，
①当在之内时，
由（1）得，
，
∵，
∴，即：，
解得：，
②当旋转超过时，如图，
∵，
∴，即：，
解得：，
综上所述：或时与垂直；
（3）解：由题意可得，如图所示，
，
设，
∵，
∴，，
∴．