重庆市南开中学2024-2025学年七年级下学期入学考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市南开中学2024-2025学年七年级下学期入学考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的倒数是（ ）
A．2025B．C．D．-2025
2．为了解七年级7800名男生1000米长跑的国家体质测试情况，从中随机抽查了150名男生的1000米长跑成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）．
A．每名男生是个体
B．7800名男生是总体
C．样本容量是150名
D．抽取的150名男生的1000米长跑成绩是样本
3．一个正方体的展开图如图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数互为相反数，那么（ ）．

A．3B．C．D．7
4．根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）．
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
5．若与是同类项，则（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
6．一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图，搜救船位于图中圆心处，事故船位于距点50海里的处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式正确的为（ ）．
A．事故船在搜救船的北偏东方向B．事故船在搜救船的北偏东方向
C．事故船在搜救船的南偏西方向D．事故船在搜救船的南偏西方向
7．下列说法：①下雨天打开雨刷器，雨刷器在运动时形成一个扇面，其运用的数学原理是线动成面；②将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，运用的数学原理是两点之间线段最短；③在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和目标确定的直线上才能射中目标，其运用的数学原理是两点确定一条直线．其中说法正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．0个
8．如图是三种化合物的结构式及分子式，按其规律写出第10种化合物的分子式（ ）．
A．B．C．D．
9．根据流程图中的程序，当输出数值为1时，输入数值为（ ）．
A．2B．2或C．或D．2或
10．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．问：城中有多少户人家？设城中一共有户人家，根据题意，则可列方程为（ ）．
A．B．C．D．
11．如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中，则图1与图2中的阴影部分周长的差为（ ）．
A．B．C．D．
12．对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（ ）．
①当，时，则；
②已知，，且的值与的取值无关，则；
③已知关于的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数记为，最大的整数记为，则；
④若，则关于的方程无解．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共12小题）
13．国家统计局发布最新消息称，我国2024年全年国内生产总值超1340000亿元，比上年增长，将数据1340000用科学记数法表示为 ．
14．多项式的最高次项为 ．
15．经过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是 ．
16．若是关于的一元一次方程，则 ．
17． °．
18．若，则代数式 ．
19．定义新运算：，例如：，则 ．
20．当钟表上显示的时间是时，时针与分针所成的夹角为 °．
21．已知关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，则 ．
22．有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ．
23．如图，已知为直线上一点，以为起点作射线，．满足，且，则 °．
24．对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“巳巳如意数”．将“巳巳如意数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记，则最大的“巳巳如意数”是 .已知s，t都是“巳巳如意数”，其中，（，，，，，且均为整数），若，且满足是11的倍数，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
25．计算：
(1)；
(2)．
26．合并同类项：
(1)；
(2)．
27．解方程：
(1)；
(2)．
28．先化简，再求值：，其中，．
29．点，，在直线上，小南将三角板如图放置，使直角顶点与点重合．

(1)用尺规作图：以为边作，使得，且点与点在的两侧（不写作法和结论，只保留作图痕迹）；
(2)小南发现在（1）的条件下，平分，请根据他的思路，补全下列证明过程．
证明：，
.
，，在直线上，
.
，
.
，
，
平分．
30．压岁钱，别称“厌胜钱”、“大压胜钱”、“压祟钱”，是中国春节期间的传统习俗之一，压岁钱习俗分布于中国及东南亚的部分国家．农历新年期间，长辈们会在年夜饭后将准备好的压岁钱给予晚辈，意在压制邪祟，确保孩子们平安度过新的一年．小开调查了班上同学在过年期间收到的压岁钱数目并将其分类（，，，，，单位：元），并将调查结果绘制成条形统计图（不完整）和扇形统计图．请根据信息，解答下列问题．
(1)小开班上共有__________名同学；
(2)扇形统计图中，表示压岁钱数目类型为的扇形圆心角的度数为_____°；
(3)请补全条形统计图；
(4)根据调查结果，请你估计小开所在年级720名学生中有多少名学生在今年收到的压岁钱数目超过3000元？
31．如图，点C，D在线段上，，，D为线段的中点．
(1)求线段的长；
(2)若E是直线上一点，且，求线段的长．
32．当今社会，越来越多人体内湿气重导致了身体亚健康．中医记载：取茯苓15克、陈皮6克、白扁豆15克，可制成一包祛湿茶．某中药店第一次购入茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包祛湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多559克．第二次购入茯苓若干克、陈皮200克、白扁豆1000克，和第一次剩余原料一起按标准制成第二批次祛湿茶，所有原料恰好用完．
(1)中药店第一次购入茯苓的质量为__________克；
(2)第二批次能制成祛湿茶多少包？（列一元一次方程求解）
(3)已知一包祛湿茶中茯苓的成本是3元，药店将第一批次制成的祛湿茶在原料成本的基础上提高标价且全部售出，由于第二批次制作的祛湿茶储存不当，导致其中的31包无法售卖，于是药店将剩下的祛湿茶在其原料成本的基础上提高标价后全部售出，已知两批次祛湿茶利润是245元（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），求两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据积为1的两个数互为倒数，进行求解即可．
【详解】解：的倒数是，故此题答案为B．
2．【答案】D
【详解】解：．每名男生1000米长跑成绩是个体，故A错误；
．7800名男生1000米长跑成绩是总体，故B错误；
．样本容量是150，故C错误；
．抽取的150名男生的1000米长跑成绩是样本，故D正确.
故此题答案为D．
【关键点拨】总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．【答案】B
【详解】解：由题意知，
“a”与“2”是相对面，
“b”与“5”是相对面，
∵每个面上都写有一个数并且相对两个面所写的数互为相反数，
∴，，
∴．
故此题答案为B．
4．【答案】C
【分析】本题考查等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式．根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、如果，那么或，故A错误；
B、如果，，那么，故B错误；
C、如果，那么，故C正确，符合题意；
D、如果，且，那么，故选项D错误，
故此题答案为C．
5．【答案】B
【详解】解：∵与是同类项，
∴，，
解得，，，
故此题答案为B.
6．【答案】A
【详解】解：由图可得，事故船A在搜救船的北偏东方向，
故此题答案为A．
7．【答案】B
【详解】解：①下雨天打开雨刷器，雨刷器在运动时形成一个扇面，其运用的数学原理是线动成面，原说法正确；
②将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，运用的数学原理是两点确定一条直线，原说法错误；
③在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和目标确定的直线上才能射中目标，其运用的数学原理是两点确定一条直线，原说法正确．
故此题答案为B.
8．【答案】B
【详解】解：观察图形可得C右下角的数字是从1开始连续的正整数，H右下角的数字是从4开始的偶数，
∴第n个化合物的分子式为，
∴第10个化合物的分子式为，
故此题答案为B．
9．【答案】D
【详解】解：①当时，，
解得或（不符合题意，舍去）；
②当时，，
解得，
综上，当输出数值为1时，输入数值为2或，
故此题答案为D．
10．【答案】B
【详解】解：设城中有户人家，
依题意，得．
故此题答案为B．
11．【答案】B
【详解】解：设长方形的长为x，宽为y，图1中阴影部分周长为，图2中阴影部分周长为，
由图1知，，
如图2 ，作以下辅助线，
可知，，
．
故此题答案为B．
12．【答案】C
【分析】对于①，直接根据新定义计算；对于②，利用整式的加减法表示，根据其值与的取值无关得到，求出，继续利用新定义计算；对于③，先解方程得到，根据要求得到或2或3或1，则 ，继续利用新定义计算；对于④，当为偶数时，则为奇数，，当为奇数时，则m为偶数，，分类讨论化简绝对值，化简计算，验证即可．
【详解】解：①当，时，为奇数，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，
∵的值与的取值无关，
∴，
∴，
∴为偶数，
∴，故②错误；
③，
解得，
∵方程的解是正整数，
∴或2或3或1，
∴或6或7或5，
∴，
∴为奇数，
，故③正确；
④当为偶数时，则为奇数，，
当时，，解得，（舍），
当时，，解得，（舍），
当时，，解得，（舍）；
当为奇数时，则m为偶数，，
当时，，解得，（舍）；
当时，，解得，；
当时，，解得，.
∴当时，方程为，此方程无解，
当，方程为，此方程有解，故④错误，
∴正确的有2个，故此题答案为C．
13．【答案】
【详解】解：1340000用科学记数法表示为．
【方法技巧】科学记数法的表示：
一个数可以用科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当这个数的绝对值比10大时，n为正整数，n的值比这个数的整数位数小1；当这个数的绝对值比1小时，n为负整数，|n|就是这个数中从左边起第一个非零数字前零的个数(包括小数点前的零).
14．【答案】
【详解】解：多项式的最高次项为．
15．【答案】9
【分析】根据一个顶点可以引条对角线，分成个三角形直接求解即可.
【详解】解：∵多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成七个三角形，
∴，解得．
16．【答案】
【分析】根据“一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0”可得出关于k的方程，进而可求出k．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，，
解得．
17．【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【答案】3
【分析】根据得出，再将代数式变形，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】4
【详解】解：∵，
∴.
20．【答案】
【分析】钟表上的时间是时，分针指向数字9，时针从数字7开始走了45分钟，因此用数字9与数字7之间的夹角减去45分钟内时针转过的角度即可得到答案．
【详解】解：钟表上的时间是时，分针指向数字9，时针从数字7开始走了45分钟，
∴时针与分针的夹角为．
21．【答案】
【分析】先求出两个方程的解，再根据关于x的方程的解是关于的方程的解的5倍，得出关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，
∴，
解得．
22．【答案】
【分析】观察数轴得，且，可得到，，，再根据绝对值的性质化简，即可求解．
【详解】解：由数轴知，且，
∴，，，
∴
．
23．【答案】或
【分析】先根据，，求出，则，再分点D在上方和点D在下方两种情况讨论，利用角度和差计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
当点D在上方时，，
当点D在下方时，，
综上所述，或．
24．【答案】7968；4613
【详解】解：根据“巳巳如意数”的定义可知千位上的数最大为7，则百位上的数为9，又因为各个数位上的数字均不为零且互不相等，所以十位上的数最大为6，则个位上的数为8，最大的巳巳如意数是7968；
∵s是“巳巳如意数”， ，
∴，，
；
∵t是“巳巳如意数”， ，
∴，，
.
∵是11的倍数，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
25．【答案】(1)；(2)
【详解】（1）
；
（2）
．
26．【答案】(1)；(2)
【详解】（1）
；
（2）
．
27．【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：原方程变形为，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【方法技巧】解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．
28．【答案】；．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
29．【答案】(1)见详解；(2)；180；90；；
【详解】（1）如图所示，即为所求；

（2）证明：，
.
，，在直线上，
.
，
.
，
，
平分．
30．【答案】(1)48；(2)135；(3)见详解；(4)210名
【详解】（1）解：，
∴小开班上共有48名同学；
（2）解：，
∴表示压岁钱数目类型为的扇形圆心角的度数为；
（3）解：D组人数为，
补全条形统计图图如下；
（4）解：，
∴估计小开所在年级720名学生中有210名学生在今年收到的压岁钱数目超过3000元．
31．【答案】(1)5；(2)7或17
【分析】
（1）先计算出，再根据线段中点的定义求解；
（2）分E在A的左侧、右侧两种情况，利用线段的和差关系分别求解即可．
【详解】（1）解：，
∵D为线段的中点，
∴；
（2）解：∵，
∴，
若E在A的左侧，则，
若E在A的右侧，则，
∴线段的长为17或7．
32．【答案】(1)1500；(2)151包；(3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费元
【详解】（1）解：根据题意：（克），
答：中药店第一次购入茯苓的质量为克．
（2）解：设第一次购入陈皮剩余x克，则第一次购入白扁豆剩余克，
∵第二次购入茯苓若干克、陈皮200克、白扁豆1000克，
∴此时陈皮克、白扁豆克，
∵和第一次剩余原料一起按标准制成第二批次祛湿茶，所有原料恰好用完，
∴，解得，，
则第二批次能制成祛湿茶包；
（3）解：设一包祛湿茶中陈皮和白扁豆的成本是y元，
则，
解得，，
则两次购买的陈皮和白扁豆共花费元．