吉林省吉林市实验中学2025-2026学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省吉林市实验中学2025-2026学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A. 0B. C. D.
3. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 同旁内角相等，两直线平行
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 两直线平行，同旁内角互补
4. 《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
二、填空题（每小题3分，共15分）
7. 写出一个比3大的正无理数__________．
8. 一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是______．
9. 数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为______．
10. 如图，借助直尺和三角尺画平行线，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a，b，则，其中用到的理论依据是__________．
11. 已知点，点是平面直角坐标系内两点，当的值为______时，线段有最小值．
三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分）
12. 计算：．
13. 解方程组：
14. 已知的算术平方根是3，的立方根是2．
（1）求和的值；
（2）若，是整数，求的平方根．
15. 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
16. 某学习小组进行如下探究活动：
探究1：如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，探求大正方形的边长．
探究2：如图2，用面积为的正方形纸片，沿纸片的边的方向裁出一个面积为的长方形，使裁出的长方形纸片的长、宽之比为．
解决问题：

（1）图1拼成的大正方形的边长是否为有理数？请说明理由；
（2）图2能否裁出符合要求的长方形纸片？为什么？
17. 如图，直线与被直线所截，与，分别交于，，且，．
（1）试说明：；
（2）若平分，，求的度数．
18. 完成下面推理过程：
如图，已知，，于点，于点，试说明：．
证明：，已知，
，
（______），
______（______）
，已知，
，（______）
．
（______），
______（______），
（______）
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点.若将平移得到，三角形中任一点经过平移后的对应点的坐标是．
（1）通过平移，画出；
（2）直接写出的面积是__________；
（3）线段的关系是__________．
20. 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目：
解方程组：32x−y−x+y=1542x−y+2x+y=10．
【观察发现】
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以2x−y=4x+y=−3．解这个方程组，得__________；
【探索应用】
（2）运用上述方法解下面的方程组：3x−y8−x+3y3=−123x−y6+x+3y2=5
21. 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样：
材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题：
如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系；
如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题；
如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙．
【问题解决】
（1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类比运用】
（2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数；
【变式探究】
（3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数．
22. 如图，已知长方形，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限内，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动(即：沿着长方形的边运动一周)．
（1）当点运动了秒时，点的坐标是______；
（2）当点在上运动时，若的面积是，求点运动的时间；
（3）当点距离轴为个单位长度时，求点运动的时间：
（4）若点的坐标为，且直线轴，直接写出点运动的时间．
数学
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：的平方根是．
2. 在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A. 0B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答．
解答过程：解：A．0，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B．，是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意；
C．，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
D．，是分数属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 同旁内角相等，两直线平行
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 两直线平行，同旁内角互补
答案：A
解析：
思路：根据平行线的判定定理和性质定理判断即可．
解答过程：解：A. 同旁内角互补，两直线平行，是假命题，符合题意；
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；
C. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；
D. 两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意．
故选：A．
方法提示：本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
4. 《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子－木条=4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条－绳子=1，据此列出方程组即可．
解答过程：由题意可得，．
故选：D．
方法提示：本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查根据平行线的性质求出角的度数，三角板中角度的计算，根据平行线的性质求出，再根据三角板中的角度，以及角的和差关系进行求解即可．
解答过程：解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
6. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
答案：B
解析：
思路：根据平移坐标确定这个平移变换是向左平移4个单位，再向上平移1个单位，解答即可．
本题考查了平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
解答过程：解：∵点，，若将线段平移至，其中点，
故平移变换是向左平移4个单位，再向上平移1个单位，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7. 写出一个比3大的正无理数__________．
答案：（答案不唯一，大于3的正无理数均可）
解析：
思路：由，即可得出结果．
解答过程：解：是正无理数，且，满足题意要求．
8. 一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是______．
答案：##度
解析：
思路：本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据平角的定义求解即可．
解答过程：解：如图所示，由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
9. 数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为______．
答案：##
解析：
思路：本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键．
根据正方形的面积为5得到，再结合，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可．
解答过程：解：∵正方形的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∵点A表示的数为1，点在数轴上（点在点A左侧），
∴点E所表示的数为：．
故答案为：．
10. 如图，借助直尺和三角尺画平行线，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a，b，则，其中用到的理论依据是__________．
答案：同位角相等，两直线平行
解析：
思路：根据两角的位置，结合平行线的判定方法，即可得出答案．
解答过程：解：如图，直尺的边缘所在的直线视为截线，在推动三角尺的过程中，三角尺的一边与直尺边缘所成的角的大小保持不变，
这两个角分别在直线，的同一方，并且都在截线的同侧，属于同位角，
因为同位角相等，根据平行线的判定定理，可得．
所以该作图方法用到的理论依据是：同位角相等，两直线平行．
11. 已知点，点是平面直角坐标系内两点，当的值为______时，线段有最小值．
答案：4
解析：
思路：本题考查了坐标与图形，垂线段最短，根据点，得出点在直线上的一点，结合点，且线段有最小值，则，据此即可作答．
解答过程：解：∵点，
∴点在直线上的一点，
∵点，且线段有最小值，
∴，
此时，
故答案为：4．
三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分）
12. 计算：．
答案：
解析：
思路：根据二次根式的加减运算法则计算即可．
解答过程：解：原式
．
方法提示：本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13. 解方程组：
答案：
解析：
思路：利用加减消元法运算解答即可．
解答过程：解：x−2y=5①3x+4y=25②
解：可得：，
可得：，
解得：，
把代入可得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
14. 已知的算术平方根是3，的立方根是2．
（1）求和的值；
（2）若，是整数，求的平方根．
答案：（1），；
（2）解析：
思路：本题考查了算术平方根、立方根和平方根，无理数的估算，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据算术平方根和立方根的定义列方程求解即可；
（2）估算的范围确定的值，代入计算后求平方根即可．
（1）解：的算术平方根是3，的立方根是2，
，，
，；
（2）解：，
，
，是整数，
，
，
的平方根为．
15. 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
答案：1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元
解析：
思路：本题考查了二元一次方程解决实际问题，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设出两种型号的节能灯的价格，然后算出各自花费的金额，其和等于54元，可列出方程求解．
解答过程：解：设1盏甲型节能灯售价为x元，1盏乙型节能灯的售价为y元，根据题意得：
，
解得，
答：1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元．
16. 某学习小组进行如下探究活动：
探究1：如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，探求大正方形的边长．
探究2：如图2，用面积为的正方形纸片，沿纸片的边的方向裁出一个面积为的长方形，使裁出的长方形纸片的长、宽之比为．
解决问题：

（1）图1拼成的大正方形的边长是否为有理数？请说明理由；
（2）图2能否裁出符合要求的长方形纸片？为什么？
答案：（1）大正方形的边长是有理数，见解析
（2）不能裁出符合要求的长方形纸片，见解析
解析：
思路：本题考查了算术平方根和平方根的应用，能根据题意列出算式或方程是解题关键．
（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，列方程，求出长方形的长与宽，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．
（1）解：两个小正方形纸片的面积为，
那么拼成一个大正方形后的面积为，
大正方形边长为，
大正方形的边长是有理数；
（2）解：不能裁出符合要求的长方形纸片，理由如下：
设长方形纸片的长为，宽为，
根据题意得，
解得或（负值，舍去），
∴长方形的长为，宽为，
，
，
；
又∵，，不符合题意，
不能用这块纸片剪出符合要求的长方形纸片．
17. 如图，直线与被直线所截，与，分别交于，，且，．
（1）试说明：；
（2）若平分，，求的度数．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：本题考查了垂直的定义、邻补角的定义、平行线的判定和性质以及二元一次方程组的应用等知识；
（1）根据垂直的定义和邻补角的定义可得，结合已知可得，即可得出结论；
（2）由角平分线的定义结合邻补角的定义可得，根据可得，结合已知求解方程组即得答案.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
即，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴.
18. 完成下面推理过程：
如图，已知，，于点，于点，试说明：．
证明：，已知，
，
（______），
______（______）
，已知，
，（______）
．
（______），
______（______），
（______）
答案：同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，内错角相等 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换
解析：
思路：本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理与性质定理求证即可．
解答过程：证明：，已知，
．
（同旁内角互补，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
，（已知），
，（垂直的定义）．
．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点.若将平移得到，三角形中任一点经过平移后的对应点的坐标是．
（1）通过平移，画出；
（2）直接写出的面积是__________；
（3）线段的关系是__________．
答案：（1）见解析 （2）11
（3）平行且相等
解析：
思路：（1）由题意得，向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，根据平移的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）根据平移的性质可得答案．
（1）解：由题意得，向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，
如图，即为所求．
（2）解：的面积是．
（3）由平移得，线段，的关系是平行且相等．
20. 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目：
解方程组：32x−y−x+y=1542x−y+2x+y=10．
【观察发现】
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以2x−y=4x+y=−3．解这个方程组，得__________；
【探索应用】
（2）运用上述方法解下面的方程组：3x−y8−x+3y3=−123x−y6+x+3y2=5
答案：（1）3a−b=154a+2b=10，x=13y=−103
（2）x=215y=35解析：
思路：（1）根据题意，原方程组可化为3a−b=154a+2b=10，再求出方程组2x−y=4x+y=−3的解，即可；
（2）结合题意，设，，原方程组可化为m8−n3=−12m6+n2=5，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可．
（1）解：设，，
则原方程组32x−y−x+y=1542x−y+2x+y=10可化为3a−b=154a+2b=10；
解关于a，b的方程组，得，
所以2x−y=4x+y=−3，
解得x=13y=−103．
（2）解：设，，
则原方程组3x−y8−x+3y3=−123x−y6+x+3y2=5可化为m8−n3=−12m6+n2=5；
解关于，的方程组，得，
所以3x−y=12x+3y=6，
解得x=215y=35．
21. 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样：
材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题：
如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系；
如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题；
如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙．
【问题解决】
（1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类比运用】
（2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数；
【变式探究】
（3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数．
答案：（1），见解析；（2）；（3）
解析：
思路：本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明；
（2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解；
（3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解．
解答过程：解：（1）选择明明同学，证明过程如下：
，，
，
，
，
，
，
；
选择欣欣同学，证明过程如下：
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图 ，过点P作，
则，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
即的度数为；
（3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
即的度数是．
22. 如图，已知长方形，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限内，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动(即：沿着长方形的边运动一周)．
（1）当点运动了秒时，点的坐标是______；
（2）当点在上运动时，若的面积是，求点运动的时间；
（3）当点距离轴为个单位长度时，求点运动的时间：
（4）若点的坐标为，且直线轴，直接写出点运动的时间．
答案：（1）
（2）秒
（3）秒或秒
（4）秒或秒
解析：
思路：此题考查长方形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键；
（1）根据根据速度乘以时间得出点路程，结合坐标系，即可求解；
（2）根据题意，的运动速度与移动的时间，进而结合三角形的面积公式可得答案；
（3）根据题意，当点到轴距离为个单位长度时，有在与上两种情况，分别求解可得答案;
（4）根据题意，可得或，根据路程除以时间，即可求解．
（1）解：∵长方形，点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴当点运动了秒时，点的坐标是
故答案为：．
（2）解：∵长方形，点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵的面积是，
∴，
即，
解得：
（3）点距离轴为个单位长度时，
当在上时，
∴
解得：
当在上时，
∴
解得：
∴当点距离轴为个单位长度时，点运动了秒或秒
（4）∵点的坐标为，且直线轴，
∴或
∴或
∴点运动秒或秒