专题03 四边形综合11大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材人教版+答案

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知识点01 特殊四边形的性质
知识点02 特殊四边形的判定
题型一 平行四边形性质与判定综合证明
【典例1】（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的面积．
【变式1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在等边三角形中，点D，E分别在边，上，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【变式2】（25-26八年级下·北京延庆·期中）如图，，F是的中点，延长到点E，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的度数．
题型二 特殊四边形性质与判定综合证明
【典例2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且．
(1)求的面积．
(2)若点、分别是的中点，连接，求的长．
【变式1】（25-26九年级下·云南曲靖·学业考试模拟）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，过点作，且，连接与交于点，已知．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)已知的周长与的周长相差2，四边形的周长为40，求四边形的面积．
【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，请你利用上述结论求的面积．
【变式3】（25-26八年级下·江西上饶·期中）图1是某型号挖掘机，该挖掘机由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其在某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．小明作于点，延长交于点，经测量发现，基座高度为，，主臂比长．
(1)求主臂的长；
(2)若，求的长．
题型三 矩形的折叠与勾股定理综合
【典例3】（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，O两点重合，折痕为．求折痕的长为_________
【变式2】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）综合与实践：折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】现有一张直角三角形纸片，，，，小明用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点．
(1)①如图1，当点与点重合时，则的长为______；
②如图2，当点与点重合时，求的面积；
(2)【类比操作】如图，折叠矩形的一角，使点落在边的点处，折痕交于点，若，，求的长．
【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在矩形纸片中，．
(1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长．
(2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长．
题型四 菱形的对角线性质与面积计算
【典例4】（23-24八年级上·吉林长春·期中）猜想：如图①，在中，点是对角线的中点，过点的直线分别交、于点、．若的面积是20，则四边形的面积是______．
探究：如图②，在中，，对角线、相交于点，过点的直线分别交、于点、．若，求四边形的面积．
应用：如图③，在Rt中，，延长到点，使，连结．若，则的面积是______．
【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ，，是 沿方向平移得到的．连接，和交于点．是线段上一 动点（不与点 重合），连接 并延长交线段于点，问：四边形的面积是否随点的运动而发生变化?若变化，请说明理由：若无变化，求出四边形的面积．

【变式2】（23-24八年级下·江苏南通·月考）下图是一张矩形纸片，按照下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上，连接，然后把纸片展开．
第二步：如图②，将四边形沿对折，使与重合．将纸片展开，得到折痕，然后连接．
第三步：如图③，折叠纸片使得落在上，折痕为，点的对应点为．
(1)试判断四边形的形状并说明理由；
(2)求图③中四边形的面积与四边形的面积的比值．
【变式3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积．
题型五 正方形的对称性与多结论探究
【典例5】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，点P是正方形的对角线BD上一点，于点E，于点F，连接给出下列五个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤．其中有正确结论的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．①②④
【变式1】（22-23八年级下·四川眉山·期末）如图，在正方形中，E为对角线AC上一点，连接，过点E作，交BC延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点．下列结论：；；；；，其中结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型六 特殊四边形与分类讨论
【典例6】（22-23八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________．
【变式1】（22-23八年级下·江苏无锡·月考）在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ．
【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论．
【问题发现】
(1)①图中线段、之间的数量关系是______；
②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程．
(3)如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______．
【结论应用】
(4)如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______．
题型七 四边形中的动点与存在性问题
【典例7】（24-25八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形；
(2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形．
【变式1】（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)用含有的代数式表示：______，______，______；
(2)当为何值时，四边形是矩形？
(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【变式2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，四边形为矩形，，．若点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，如果P，Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也同时停止，设运动的时间为t秒．
(1)_______，_______（用含有t的代数式表示）
(2)当t为何值时，的面积为？
(3)是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
题型八 特殊四边形与一次函数综合
【典例8】（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与直线交于点，射线上的动点以每秒个长度单位的速度从点出发，沿着方向作匀速运动，运动时间为秒，连结．
(1)则点的坐标____________；
(2)若是等腰直角三角形，则的值为_________；
(3)若平分的面积，求直线对应的函数关系式．
(4)若的面积为，则点的坐标为_____________．
(5)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(6)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B．
(1)直接写出A的坐标 ，B的坐标 ；
(2)如图2，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点．
①若点P在第二象限，且的面积为14，求点P的坐标；
②点Q是y轴上的一个动点，是否存在以A，B，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，与轴和轴分别交于点和点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点在线段上，过点作于点，作于点，若四边形为正方形，求点的坐标；
(3)点在轴上，点在第一象限，若以，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
【变式3】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点A，B重合），过点分别作和的垂线，垂足为C，D．
(1)的值为__________；
(2)当点在线段上移动时，若矩形的面积为1，求点的坐标；
(3)当点在线段上移动时，连接，求线段的最小值．
【变式4】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交轴于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)设点是坐标平面内一个动点，点在轴上运动，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
题型九 四边形中的将军饮马与最值问题
【典例9】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，对角线，点E，F分别是边的中点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______．
【变式1】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在矩形中，为边上的动线段，且，连接，．若，，则的最小值为_____________
【变式2】（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在面积为24的中，，点为边上的一点，连接，则的最小值为___________．
【变式3】（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题．
问题提出
（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．
的度数是 ；
周长的最小值是 ．
问题探究
（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值．
问题解决
（3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值．
【变式4】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，在菱形中，，将边沿对角线平移，得到线段，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)平移过程中能否得到四边形的是矩形？如果能得到，求出平移的距离；如果不能，请说明理由；
(3)在平移过程中，最小值为_______．
题型十 四边形中的平移变换综合
【典例10】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如下图，在平面直角坐标系中，已知点，将点A向右平移2个单位长度得到点B，连接，将线段再向下平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点为点C．

(1)请直接写出四边形的面积；
(2)点P为y轴正半轴上一点，点P的纵坐标为t，连接、，若的面积为S，用含t的
式子表示S；

(3)在（2）的条件下，若将四边形的面积分成两部分时，求出点P的坐标．

【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知在第一象限，点在的正半轴，轴直线从原点出发沿轴正方向向右平移，在平移过程中直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示．
(1)直接写出点，的坐标： ______， ______；
(2)求点的坐标；
(3)当直线平分的面积时， ______．
【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）已知一次函数，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与轴、轴的交点分别是点，点．
(1)如图1，求直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上的动点，连接交线段于点，若，求点的坐标；
(3)如图3，若点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，连接、、，当最小时，求的坐标．
题型十一 四边形与全等三角形综合
【典例11】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，．
(1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式；
(2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积；
(3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标．
【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，连接;
①若，求平行四边形的面积；
②设，试求与满足的关系．
【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．
(1)如图1，当点在菱形内部时，连接交于F．
①直接写出与的数量关系，并求的度数．
②若，，求的长．
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，延长交于，若，，则__________．
期末重难突破练（测试时间：20分钟）
1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在直角坐标系中，平行四边形的三个顶点坐标分别为．
(1)求第四个顶点的坐标．
(2)求所有可能的平行四边形，在直角坐标系中覆盖的总面积．
2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题：
(1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长；
(2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：；
(3)若点在边所在直线上，且满足，求的长．
3．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在正方形中，点，点分别在边．上且满足，点是对角线的中点，连接．
(1)求证：．
(2)若．
①求证：．
②求证：．
期末综合拓展练（测试时间：25分钟）
1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F．
【初步尝试】
（1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由；
【深入探究】
（2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G，
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）．
2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、．
(1) ；
(2)求点的坐标；
(3)若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【问题发现】
（1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则：
①______，______，______，______；
②______填“”“”或“；
【类比探究】
（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值．
专题03 四边形综合（期末复习讲义）
内 容 导 航
明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径
记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区
破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲
题型一 平行四边形性质与判定综合证明：★★
题型二 特殊四边形性质与判定综合证明：★★★
题型三 矩形的折叠与勾股定理综合：★★★
题型四 菱形的对角线性质与面积计算：★★
题型五 正方形的对称性与多结论探究：★★★
题型六 特殊四边形与分类讨论：★★★
题型七 四边形中的动点与存在性问题：★★★
题型八 特殊四边形与一次函数综合：★★★
题型九 四边形中的将军饮马与最值问题：★★★
题型十 四边形中的平移变换综合：★★★
题型十一 四边形与全等三角形综合：★★★
过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点
复习目标
考情规律
平行四边形的性质与判定
能利用平行四边形的边、角、对角线性质解决问题，会用判定定理证明平行四边形
基础必考点，常出现在选择、填空题，是所有四边形综合题的基础
矩形的性质与判定
能利用矩形的直角、对角线相等的性质解决问题，会用判定定理证明矩形
中档高频考点，常与折叠、勾股定理结合考查
菱形的性质与判定
能利用菱形的四边相等、对角线垂直平分的性质解决问题，会用判定定理证明菱形
中档常考点，易与面积计算、角度问题结合考查
正方形的性质与判定
能利用正方形兼具矩形和菱形的性质解决问题，会用判定定理证明正方形
拔高考点，常作为压轴题的核心图形，考查综合推理能力
特殊四边形的折叠问题
能利用折叠的对称性，结合特殊四边形的性质，求解线段长度、角度
高频易错点，易忽略折叠前后的边、角对应关系
特殊四边形的动点问题
能分析动点在四边形边上的运动，判断图形形状的变化，求解特定时刻的状态
期末压轴常考题，需分阶段讨论动点位置，分析图形性质
特殊四边形的存在性问题
能在坐标系或几何背景下，根据条件判断特殊四边形是否存在，并求顶点坐标
培优拔高考点，需利用平行、垂直、中点等性质分类讨论
特殊四边形与一次函数综合
能结合一次函数解析式，求特殊四边形的顶点坐标、边长或对角线
数形结合核心考点，常出现在压轴解答题中
特殊四边形的面积与最值问题
能利用割补法、坐标法计算特殊四边形的面积，结合性质求最值
区分度高的题型，需结合函数增减性或几何模型分析
四边形的判定与证明综合
能结合三角形全等、平行线性质，完成复杂的四边形证明题
期末解答题高频考点，考查逻辑推理与书写规范
四边形
边
角
对角线
对称性
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
两条对角线互相平分
中心对称图形
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形、中心对称图形
菱形
对边平行且四条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
轴对称图形、中心对称图形
正方形
对边平行且四条边都相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
轴对称图形、中心对称图形
四边形
边
角
对角线
平行四边形
1）两组对边分别平行
2)两组对边分别相等
3)一组对边平行且相等
两组对角分别相等
两组对角线互相平分
矩形
1）平行四边形+一直角
2）四边形+三直角
平行四边形+两条对角线相等
菱形
1）平行四边形+一组邻边相等
2）四边形+四条边都相等
平行四边形+两条对角线互相垂直
正方形
矩形+一组邻边相等
菱形+一直角
矩形+对角线互相垂直
菱形+对角线相等
平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角