专题03【四边形】期末考点讲义（13大核心题型精析+实战练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期含答案

这是一份专题03【四边形】期末考点讲义（13大核心题型精析+实战练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期含答案，共10页。
重点知识◆梳理
【知识点一、四边形及多边形的概念】
1.定义：四边形：由4条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，叫四边形。内角和为360°；
2.特征：具有不稳定性，易发生形变，可用于伸缩门、晾衣架；区别于三角形的稳定性。
3.多边形：由n（n≥3，且n为整数）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形。如下图的五边形
凸多边形：所有内角均小于180°，整体向外凸起；
凹多边形：至少存在一个内角大于180°。
4.正多边形：同时满足各边长度相等、各内角度数相等，二者缺一不可；
5..对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。
多边形外角：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，外角与相邻内角互补。
【知识点二、四边形及多边形主要公式】
1.n边形内角和公式：(n-2)×180°
2.任意多边形外角和：恒为360°，与边数无关
3.正n边形角度计算单个内角度数：(n−2)×180°n
单个外角度数：360°n
4.对角线相关计算:n边形总对角线条数：n(n−3)2
5.从多边形一个顶点可引出(n-3)条对角线，将n边形分割为(n-2)个三角形。
∙
【知识点三、图形周长与面积计算】
1.周长：多边形周长为各边长之和；正多边形周长=边长×边数。
2.网格中多边形面积
（1）割补法：将不规则图形分割为三角形、矩形等规则图形求和，或补成规则图形后减去多余部分；
（2）皮克定理：面积=内部格点数+边界格点数÷2−1。
【知识点四、高频考点题型及对应知识点】
1.多边形截角问题：一个n边形截去一个角后，边数存在三种变化：边数+1、边数不变、边数-1，内角和随边数变化。
2.多算、少算一个内角问题：根据多边形内角和取值范围，确定多边形边数，进而求解缺失内角度数。
3.复杂图形内角和求解：针对星形、组合图形等，采用分割法，拆分为三角形、四边形，利用基础图形内角和计算。
4.平面镶嵌（密铺）：拼接于同一点的各角度之和为360^\circ；可单独密铺的正多边形为正三角形、正方形、正六边形，其余正多边形无法单独密铺。
5.内外角综合计算：根据内角和与外角和的倍数关系、内外角度数比值，求解多边形边数。
6.外角和实际应用：沿多边形行走转向问题，总转向角度为外角和360°。
【知识点五、重难点归纳总结】
1.外角和为定值360°，是角度计算的简便突破口，可优先选用；
2.正多边形判定条件为双向约束，边长与内角需同时相等；
3.内角和公式适用于所有多边形，不受凹凸多边形形态限制；
4.平面镶嵌需紧扣拼接点角度和为360°这一核心条件；
5.外角与相邻内角互为补角，是角度换算的常用依据
☘题型梳理归纳
题型解析◆精准备考
题型1.四边形不稳定性辨析
1．下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________．
3．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？

题型2.多边形概念、凸、凹多边形分类
1．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角．
3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点．
题型3.正多边形概念辨析
1．下面图形中，是正多边形的是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
2．如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形．
3．如图，六边形是正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，连接，画出一个以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形上；
(2)如图2，为边上一点，在边上找一点，使得．
题型4.多边形、正多边形周长计算
1．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（ ）
A．减少B．不变C．增加D．无法确定
2．如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______．
3．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长．
题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数
1．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（ ）条
A．5B．6C．7D．8
2．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________．
3．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数．
题型6.对角线分割三角形个数问题
1．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．15B．14C．13D．12
2．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条．
3．一个n边形的内角和为．
(1)求n的值；
(2)从该多边形一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成 个三角形．
题型7.多边形截角后边数判断
1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．8或9B．9或10C．8或9或10D．9或10或11
2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______．
3．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形．
题型8.多边形内角和基础计算
1．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（ ）
A．B．C．D．
2．多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________．
3．计算下方图形中的值．
题型9.多边形多算或少算一个内角问题
1．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是_____边形．
3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为．
小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角．
(1)这个“多加的锐角”是______度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
题型10.正多边形外角计算，知外角求边数
1．正边形的每一个外角的度数为，则的值是（ ）
A．七B．八C．九D．十
2．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________．
3．下面是正多边形M和正多边形N的对话：
(1)求正多边形M和正多边形N的边数；
(2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答：
嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角．
淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角．
题型11.网格中多边形面积
1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
2．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______
3．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1．
(1)作关于轴对称的．
(2)求，，，构成图形的面积．
题型12.内角和与外角和综合计算
1．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形
2．已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个正多边形内角的度数为______．
3．已知：如图，分别为四边形的外角．求证：．
题型13. 平面镶嵌
1．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（ ）
A．三角形B．正方形C．五边形D．六边形
2．用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为______．
3．【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理．
【知识储备】
(1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）；
(2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合．
【任务一：寻找密铺】
(3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形
D．正六边形 E．正八边形
(4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________．
【任务二：创作密铺】
(5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证：
验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解；
结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”）
【任务三：资金预算】
(6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本．
✍实战演练
一、单选题
1．已知正边形的每一个外角都是30°，则这个正边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四边形中，，，点E为的中点，连结，若四边形的面积为16，则的面积为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16
3．如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，小张想估测被池塘隔开的两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出的中点，并步测出的长约为，由此估测之间的距离约为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（ ）
A．30B．54C．D．60
9．如图，在四边形中，对角线交于点．（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：四边形是正方形；，，正确的是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了___________
14．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．

15．如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是___________．
16．如图，在正方形中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且，OC、EF交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的为___________．（将正确的序号都填入）
三、解答题
17．如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：．
18．如图，四边形的对角线和的长分别为4和6，，，，分别是，，，的中点．求四边形的周长．
19．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知，
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，四边形周长为32，求的长度．
20．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F，
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的度数．
21．如图，在和中，，，，为边上一点．
(1)求证：
(2)若点是的中点，求证：四边形是正方形．
22．如图，把边长为的等边三角形绕边的中点O旋转，得到．
(1)四边形是什么样的四边形？说明理由．
(2)求四边形的两条对角线的长度．
(3)求四边形的面积题型1.四边形不稳定性辨析
题型2.多边形概念、凸/凹多边形分类
题型3.正多边形概念辨析
题型4.多边形、正多边形周长计算
题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数
题型6.对角线分割三角形个数问题
题型7.多边形截角后边数判断
题型8.多边形内角和基础计算
题型9.多边形多算或少算一个内角问题
题型10.正多边形外角计算，知外角求边数
题型11.网格中多边形面积
题型12.内角和与外角和综合计算
题型13. 平面镶嵌
实战演练