2025-2026学年冀教版七年级数学下学期期末模拟卷（原卷版+解析版）

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第一部分（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了判断是否是因式分解等知识点，解题关键是掌握因式分解的概念．
根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式．
【详解】解：中从左到右是整式乘法，
所以从左到右的变形不是因式分解，
故A不符合；
中，是将多项式化为积的形式，
所以从左到右的变形是因式分解，
故B符合；
中右边不是整式，不是整式的积，
所以从左到右的变形不是因式分解，
故C不符合；
中从左到右是整式乘法，
所以从左到右的变形不是因式分解，
故D不符合．
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式、单项式乘以单项式、同类项、积的乘方，本题需依据完全平方公式、单项式乘法法则、同类项定义、积的乘方法则，逐一判断各选项运算的正确性．
【详解】解：A选项：根据完全平方公式可得：，故A选项错误；
B选项：根据单项式乘以单项式的法则，系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加，可得：，故B选项正确；
C选项：与不是同类项，不能合并，故C选项错误；
D选项：根据积的乘方的法则，可得：，故D选项错误．
故选：B．
3．北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题.
【详解】解：.
4．为保障航天器在太空中的稳定运行，工程师需设计一款基于三角形稳定性的太阳能板支撑结构．该结构由三根高强度碳纤维杆首尾相接组成，其中两根杆的长度已确定：，则第三根碳纤维杆的长度可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是熟练应用知识点解题；根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，推导第三边长度的取值范围.
【详解】解：设第三边长为，
∵ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
∴ ，
即：
故答案选：B．
5．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．垂直于同一条直线的两条直线平行
C．边长分别为7cm、24cm、25cm的三角形是直角三角形
D．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等
【答案】C
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：A、当一个角的度数为100°时，它的补角为80°，而100°大于80°，故该命题是假命题，故本选项错误，不符合题意；
B、应该是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故该命题是假命题，故本选项错误，不符合题意；
C、因为 ，则边长分别为7cm、24cm、25cm的三角形是直角三角形，故该命题是真命题，故本选项正确，符合题意；
D、一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故该命题是假命题，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．已知二元一次方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，则可变为，根据方程组的解为得出，解关于x、y的方程组即可．
【详解】解：令，
则可变为，
∵的解为，
∴，
解得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据换元法得出，是解题的关键．
7．如图，点，，分别是的边，，上的点，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键．依据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A．，则（同位角相等，两直线平行），不合题意；
B．，则（同旁内角互补，两直线平行），不合题意；
C．，则（同位角相等，两直线平行），不能判定，符合题意；
D．，则（内错角相等，两直线平行），不合题意；
故选：C．
8．若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．39B．42C．45D．48
【答案】A
【分析】本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据只有3个整数解，列不等式求解即可得到答案；
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组有且只有3个整数解，
不等式组的解为：，
∴这3个整数数解为3，2，1，
，即，
解得，
∵k为整数，
∴k为12，13，14，
∴符合条件的所有整数k的和为：，
故选：A．
9．已知关于的方程组，若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】本题考查了加减消元法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
利用加减消元法可得，结合，即可求解，选出正确答案．
【详解】解：，
得：，
∵，
∴，
解得：，
故选：C．
10．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
11．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案；
【详解】解：由图形可得，
，
故选：A．
12．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可．
【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
C、 ∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意；
D、∵，
∴，
∵，，，
∴，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
第二部分（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
1．已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为______．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0．
根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项是系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解．
【详解】解：
∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，
∴，
解得．
故答案为：．
2．如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC，OM平分∠BOD，如果∠AOE＝50°，那么∠BOM的度数是________．
【答案】20°/20度
【分析】由余角的定义求得∠EOC＝40°，然后结合对顶角相等和角平分线的性质得到∠BOM的度数．
【详解】解：如图，
∵AO⊥BC于点O
∴∠AOC＝90°
∵∠AOE＝50°
∴∠EOC＝90°－∠AOE＝ 90°－50°＝40°
又∵∠BOD＝∠EOC＝40°，OM平分∠BOD
∴∠BOM＝∠BOD＝20°
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了利用角的平分线进行有关角的计算的问题，熟练掌握并灵活运用角平分线的定义及对顶角的性质是解题的关键．
3．若，则____________．
【答案】0
【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键．
先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解．
【详解】解：
将，代入上式，得
原式
，
故答案为：0．
4．关于的不等式组的解集有如下说法：
嘉嘉说：“当时，不等式组的解集为．”
琪琪说：“若不等式组的解集均不在的范围内，则的取值范围是或．”
嘉琪说：“不论取何值，不等式组都有解．”
其中说法错误的是_____．（填人名即可）
【答案】琪琪
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，先求出不等式组的解集为，然后根据三个人的说法分别进行判断即可．
【详解】解：由解得，
所以不论取何值，不等式组都有解，故嘉琪说得对；
当时，，所以不等式组的解为，故嘉嘉说得对；
若不等式组的解集均不在的范围内，则或，解得或，故琪琪说得不对．
故答案为：琪琪．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1．（本题6分）解下列不等式（组），并把所求得的解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
【答案】(1)，数轴表示见解析
(2)，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解不等式、解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式和不等式组的解集是解题的关键．
（1）先按照去分母、去括号、移项、合并同类项，再根据不等式的性质系数化为1，然后再在数轴上表示出解集即可；
（2）先求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后再在数轴上表示出解集即可；
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
．
（2）解：，
解不等式①可得：；
解不等式②可得：；
所以该不等式组的解集为：．
2．（本题6分）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的混合运算，原式先将中括号内的利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
；
当，时，原式．
3．（本题8分）如图，，分别是，的平分线，且，相交于点．
(1)若，若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答；
（1）根据，，可以得到和的度数，然后根据三角形内角和，即可求得的度数；
（2）根据的度数，可以求得的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计算出的度数．
【详解】（1）解：，，，分别是，的平分线，
，，
；
（2）解：，
，
，分别是，的平分线，
，
．
4．（本题8分）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：；
(3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可；
（2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可；
（3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值．
【详解】（1）解：解方程组得：，
∵x为非正数，y为负数，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，，
则原式．
（3）解：由不等式可得
∵不等式的解为，
∴；
∴，
又∵，
∴，
∵m为整数，
∴．
5．（本题10分）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定和性质得到，根据等量代换得到，根据平行线的判定即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角的和差即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴．（ 内错角相等，两直线平行 ）
（2）解：∵（已证），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已证），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∴（对顶角相等）
6．（本题10分）国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元．
(1)求甲、乙两种纪念品的单价；
(2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）：
活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品；
活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）．
某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友．
①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值；
②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值．
【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元
(2)①15；②18
【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解；
（2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解；
②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，
根据题意得，，
解得：，
答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元；
（2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件，
由题意得，，
解得，；
②由题意知：乙种纪念品购买件，
活动一付费：，
活动二付费：，
由题意知：，
解得：，
m为整数，
m的值为18．
7．（本题12分）阅读材料：
（一）若关于，的多项式中不含有项，则的值为__________．
（二）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值．
解：∵，∴，∴．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）【类比应用】
①若，，则的值为__________．
②若，则__________．
（2）【迁移应用】
①如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形，设，两正方形的面积和为40，求的面积．
②若，求的值．
【答案】（一）6；（二）（1）①20，②13；（2）①6；5
【分析】（一）先去括号，再合并同类项，然后根据关于，的多项式中不含有项，得到关于的方程求解；
（二）（1）①利用完全平方公式将待求式子变形为，再整体代入求值；
②先根据，得到，再将待求式子用完全平方公式展开，适当变形后整体代入求值；
（2）①先说明，设，，从而可得，两边平方后整体代入得到，从而可求得，即的面积为6．
②将、看作一个整体，将待求式子利用完全平方公式变形后，再整体代入求值．
【详解】（一）解：
因为关于，的多项式中不含有项，
所以，
所以，
故答案为：6；
（二）（1）①解：因为，，
所以，
故答案为：20；
②因为，
所以，
所以，
所以
．
故答案为：13；
（2）①∵以，为边向直线两侧作正方形，正方形，
∴，
设，，
则，
所以，
所以，
又两正方形的面积和为40，
所以，
所以，
所以，
所以，
即的面积为6．
②，
．
【点睛】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，运用完全平方公式进行运算，已知式子的值，求代数式的值，整式的加减中的化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
8．（本题12分）实践与探究
材料：将一副直角三角尺分别记作三角尺和三角尺，其中，，．
(1)操作一：将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为与相交于点，则的度数为______°；
(2)操作二：保持不变，将图①中的两个三角尺旋转到如图②所示的位置，其中点在上，点在上，点与点重合，点与点重合．若，求的度数；
(3)操作三：如图③，将图①中的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为．当时，若线段与三角尺的一条直角边（边或）平行，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值为秒或秒或秒
【分析】（1）根据三角形定理求出，再由对顶角相等可得的大小；
（2）设，则，过点作，根据平行线的判定与性质求解即可；
（3）根据题意，分两种情况，作出图形，结合平行线的判定与性质，数形结合求解即可．
【详解】（1）解：由图得，
在中，，
则，
；
（2）解：设，则，
过点作，如图④所示：
，
，
，
，
，即，
，
，
，
解得，即；
（3）解：当，且在上方时，延长交于点，如图⑤所示：

将图①中的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为，
，
，
，，
，
则，解得；
当，且在下方时，延长交于点，如图⑥所示：
将图①中的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为，
，
，，
，
则，解得；
当时，延长交于点，如图⑦所示：
将图①中的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为，
，
，，
，
则，解得；
综上所述，的值为秒或秒或秒．