四川省成都市2025_2026学年高二数学下学期期中试卷含解析

这是一份四川省成都市2025_2026学年高二数学下学期期中试卷含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在等差数列 中， ， ，则 的值为（ ）
A. 13 B. 14 C. 16 D. 17
【答案】A
【解析】
【详解】在等差数列 中， ，
则 .
2. 函数 的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数判断函数的单调性即可求解.
【详解】 ，
令 ，得 ，
当 和 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的单调递减区间为 .
3. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设等比数列 的公比为 ，
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， ，解得： ， ，
.
4. 已知函数 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】 ， .
5. 数列 的前 项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 详 解 】 该 数 列 的 前 项 和 为
.
6. 过点 与曲线 相切的直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设切点为 ，
， 切线斜率 ，解得： ， .
7. 点 为曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【详解】当过点 的切线与直线 平行时，点 到直线 的距离最小，
求导可得 ，设 ，
则 ，解得 ，代入可得 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以点 到直线 距离的最小值为 .
8. 已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，则 的取值范
围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用累加法可求得 ，进而得到 ；利用错位相减法可求得 ，由此可得 的取值范围.
【详解】 ， ，
当 时，
，
，
又 时， 满足 ， ， ，
， ，
，
，
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， ；又 ， ， .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 为数列 的前 项和， ，下列结论正确的是（ ）
A. 若 为等差数列且 ，则
B. 若 ，则数列 为等差数列且公差为
C. 若 ，则
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据等差数列下标和性质和求和公式可求得 A 正确；利用等差数列定义可判断出 B 正确；利用
与 关系可求得 C 错误；根据等差数列前 项和的二次函数性可求得 D 错误.
【详解】对于 A， 为等差数列， ，解得： ，
，A 正确；
对于 B， ， ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， ，
， ，
数列 为等差数列且公差为 ，B 正确；
对于 C，当 时， ，
当 时， 不满足 ， ，C 错误；
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对于 D， ， ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，
则当 或 时， 取得最小值，最小值为 ，D 错误.
10. 下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【详解】对于 A， ， 是定义在 上的增函数，A 正确；
对于 B， ， 是定义在 上的增函数，B 正确；
对于 C， ， 当 时， ，
在 上单调递减，C 错误；
对于 D， ， 是定义在 上的增函数，D 正确.
11. 已知数列 满足 ，则（ ）
A. 当 时，
B. 当 ， ， ， 时，数列 为常数列且
C. 当 ， ， ， 时，数列 的前 项和
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D. 当 ， ， ， 时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据递推关系可推导得到 A 错误；根据递推关系可得 为常数列，采用构造法可求得
，知 B 正确；利用递推关系可求得数列 的周期，结合周期性可求得 C 正确；采用构造法可构造出
等比数列 、等差数列 ，由此可得 ，采用放缩法和裂项相消法可证得 D 正确.
【详解】对于 A， ， ， ，A 错误；
对于 B， ， ，
又 ， 数列 为常数列且 ，
，又 ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
， ，B 正确；
对于 C， ， ，
， 数列 是周期为 的周期数列，
又 ， ， ， ， ， ，
，
，C 正确；
对于 D， ， ，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
， ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
， ，
第 6页/共 16页
，
当 时 ，
，
当 时， ；
综上所述： ，D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知数列 的前 项和 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【详解】 .
13. 记 为数列 的前 项和，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用 与 关系可证得数列 为等比数列，由等比数列通项公式可求得结果.
【详解】当 且 时， ，
，
又 ，即 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
.
14. 如果存在两条不同的直线与曲线 和 都相切，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
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【分析】设切点坐标，分别表示出切线方程，将问题转化为方程 有两个不等实根的
问题；采用分离变量的方法进一步将问题转化为 与 有两个不同交点的问题，利用导数
可求得 单调性和最值，进而得到 图象，由此可确定 的取值范围.
【详解】设直线与曲线 和 分别相切于点 ，
和 的导数分别为 ， ，
切线方程为： ，
，
， ， ，
，则 ，
，即 ，
存在两条不同的直线与两曲线都相切， 方程 有两个不等实根，
，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减； ，
又当 时， ；当 时， ，
可得 图象如下图所示，
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则当 ，即 时， 与 有两个不同交点，
即方程 有两个不等实根，
实数 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 为等差数列，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
.
【小问 2 详解】
由（1）得： ，
.
16. 如图，在三棱锥 中， ， ，O 为 的中点， 平面 ，
.
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（1）求证： ；
（2）若 M 为棱 的中点，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，进而结合题意，建立空间直角坐标系，利用向量法证明 即可；
（2）结合（1）的坐标系，利用向量法求解二面角 的余弦值即可.
【小问 1 详解】
连接 ，∵在 中， 且 为 的中点，
∴ ，
又∵ 平面 ，
故以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又 ， ，
故 ， ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
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∴ ；
【小问 2 详解】
平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 ，令 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵二面角 为锐二面角，
∴二面角 的余弦值为 .
17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且椭圆 经过点
.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过右焦点 的直线与椭圆 交于 两点，求三角形 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标、椭圆上的点坐标和椭圆 之间关系可构造方程组求得结果；
（2）利用弦长公式和点到直线距离公式可表示出 ，利用基本不等式可求得结果.
【小问 1 详解】
椭圆 的左、右焦点分别为 ， ；
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椭圆 经过点 ， ，又 ，
， ， 椭圆 的标准方程为： .
【小问 2 详解】
由题意知：直线 的斜率不为 ，可设 ， ，
由 得： ， ， ，
，
点 到直线 的距离 ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
面积的最大值为 .
18. 已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 的值
第 12页/共 16页
（2）讨论函数 的单调区间；
（3）若 ，对任意两个不相等的正数 ，都有 恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义和切点坐标可构造方程组求得 ；
（2）求导后，分别在 和 的情况下，根据 的正负得到 的单调区间；
（3）利用导数可求得 单调性，从而将恒成立的不等式转化为 单调递减，进而
得到 恒成立，采用分离变量法可求得结果.
【小问 1 详解】
， ，解得： ，
又 ， ，解得： ；
， .
【小问 2 详解】
由题意知： 的定义域为 ， ；
①当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
②当 时，
i.若 ，则当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
ii.若 ，则 在 上恒成立， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
iii.若 ，则当 时， ；当 时， ；
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的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问 3 详解】
的定义域为 ， ，
， ，即 ， 在 上单调递增，
不妨设 ，则 ，
则由 得： ，
令 ，则 在 上单调递减，
在 上恒成立， ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，即实数 的取值范围为 .
19. 记平面内 条直线最多将平面分成 个部分，空间中 个平面最多将空间分成 个部分， .
（1）请写出 ， ， ， 的值（无需说明理由）；
（2）求 ；
（3）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ， ，
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过位置关系可分析出结果；
（2）分析可得 ，采用累加法可求得 ；
（3）类比（2）中结论，结合累加法可求得 ，进而得到 ，采用裂项相消法可求得结果.
【小问 1 详解】
，
，如图所示：
，如图所示：
，如图所示：
【小问 2 详解】
由题意知：当 条直线两两相交且交点互不相同时，分平面的部分最多；
第 条直线与前 条直线有 个交点，这 个交点将第 条直线分成 段，每一段将原来的部分分
成两部分，故新增加 部分，即 ，
第 15页/共 16页
；
当 时， 满足 ；
.
【小问 3 详解】
当 个平面两两相交且交线互不相同时，分空间的部分最多；
第 个平面与前 个平面有 条交线，这 条交线两两相交且交点不同，
由（2）知：将第 个平面分成 个部分，每部分将原来的空间分成两部分，故新增加 部分，即
，
，
，
，
又 满足 ，
；
，
.