四川省2025_2026学年高二数学下学期期中段考试卷含解析

这是一份四川省2025_2026学年高二数学下学期期中段考试卷含解析，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题 5 分；思路不绕弯，单选全通关！）
1. 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ， ，
得 ，所以 .
2. 函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的极值点个数为（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由导函数图象可判断 的正负性，进而得出函数 的单调性，即可判断函数 的极值
点个数.
【详解】设 的零点从左到右依次为 ，
则当 或 时， ；当 或 时， ，
则 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，
则 的极小值点为 ， ，极大值点为 ，
故函数 的极值点个数为 .
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故选：C
3. 已知函数 ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】已知 ，
求导得 ，
代入 得 ．
4. 已知 是公差不为零的等差数列， ，若 成等比数列，则 （ ）
A. B. C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 成等比数列，且 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故选：C.
5. 数列 ， ，（ ），若 是递增数列，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【详解】在数列 ， ，由 是递增数列，
得 ， ，
而当 时， ，则 ，
所以 的取值范围是 .
6. 函数 图象上一点 到直线 的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，
所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即
可.
【详解】设与直线 平行且与曲线 相切的直线的切点坐标为 ．
因为 ，所以 ，解得 ，则切点坐标为 ．
最短距离为点 到直线 的距离，即 ．
故选：C
7. 记 为等比数列 的前 n 项和.若 ， ，则 （ ）
A. 6 B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质列式求解.
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【详解】令等比数列 的公比为 ，由 ，得 成等比数列，
因此 ，即 ，解得 或
而 ，所以 .
8. 已知函数 在区间 上单调递增，则 a 的最小值为（ ）．
A. B. e C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即 a 的最小值为 ．
故选：C．
二、多选题（每题 6 分；排除干扰项，选的全对上！）
9. 已知数列 的前 n 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，且 ，则 b 是 a 和 c 的等比中项.
B. 等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则数列 的公比 q 为 1.
C. 若 满足 ，（ ， ），则 是等比数列.
D. 若 ， （ ），则 是等比数列.
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于选项 A，当 ，且 ，可知 均不为 0，根据等比中项定义可得 ，所以
选项 A 正确；
对于选项 B，设等比数列 的公比为 ，由 可得 ，解得 或 ，所以 B 错
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误；
对于选项 C，当 满足 时，数列 为等差数列，
设数列 的公差为 ，可得 ，又 ，
则 ，所以数列 是等比数列，选项 C 正确；
对于选项 D，由 ，可得 ，又 ，
所以 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，选项 D 正确；
10. 设数列 是以 为公差的等差数列， 是其前 项和， ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A. B.
C. 使 >0 成立的 的最大值为 14 D. 为 的唯一最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】由等差数列的求和公式代入计算，即可得到 ，从而判断 AB，再由 即可判断
CD.
【详解】根据题意可得 ，即 ．
因为 ， ，所以 ，所以数列 是递减数列，所以 A，B 正确；
对于 C，因为 ， ， 故 C 正
确；
对于 D，因为 ，所以 ，又 为递减数列，
所以 或 为 的最大值，故 D 不正确．
故选：ABC
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
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A. e 是函数 定义域内的极小值点.
B. 的单调减区间是 .
C. 若方程 （ ）有两个不同的实根，则 .
D. 在定义域内无最小值，无最大值.
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用导函数计算单调性及极值判断 A，应用单调性判断 B，应用极值及数形结合判断 C，数形结合
判断 D.
【详解】对于 A，定义域为 ， ，令 可得 ，
当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；
所以 是函数 的极小值点，A 正确；
对于 B，由 A 可知当 时， ， 为减函数，所以 的单调减区间是 和
，B 不正确；
对于 C，由前面分析， 的单调减区间是 和 ，增区间为 ，极小值为 e，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
简图如下，由图可知，方程 （ ）有两个不同的实根，则 ，C 正确；
对于 D，由选项 C 可知， 在定义域内无最小值，也无最大值，D 正确
三、填空题（每题 5 分，计算不失误，填空全稳住！）
12. 在等差数列 中， ， ，则 ______．
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【答案】
【解析】
【详解】已知数列 是等差数列，则 ，
则 ，解得 ，
，
．
13. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织
几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的 2 倍，5 天共织布 5 尺，请问第二天织布的尺数是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为 ，公比为 ，
则 ，解得
所以第二天织布的尺数为 .
故答案为： .
14. 若函数 的最小值为 2，则实数 a 的值是__________.
【答案】1
【解析】
【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立
方程，可得答案.
【详解】由 ，求导可得 ，
当 时，令 ，可得 ，
由 可得 ，由 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
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故 ，解得 ；
当 时， ，显然函数 在 上单调递减，故不合题意；
当 时， ，函数 在 上单调递减，故不合题意.
故答案为：
四、解答题（共 77 分；书写工整真亮眼，思路清晰步骤全，逻辑严谨不跑偏，语言规范得分
满！）
15. 已知 是等差数列 的前 n 项和.
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义，证明 是等差数列即可；
（2）根据等差数列的概念，求出数列首项和公差，再根据等差数列前 n 项和公式，求出结果即可.
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 d，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以 为首项，以 为公差的等差数列.
【小问 2 详解】
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由题意得， ， ，
数列 的公差 ，首项 ，
所以 .
16. 已知函数 ， ，且 .
（1）求 的单调区间；
（2）求 在区间 的值域.
【答案】（1）单调递减区间是 ， 的单调递增区间是
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数求导运算法则，求出函数导数，根据导数值求出参数值，进而判断函数导数的正负，
求出函数单调区间；
（2）根据函数在定义域上的单调性，求出函数最大值和最小值，求出函数值域.
【小问 1 详解】
的定义域为 ， ，
因为 ，所以 ；
所以 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
【小问 2 详解】
由（1）知 时， 单调递减； 时， 单调递增.
在 处取得极小值 ，
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又 ， ，
所以 在区间 的值域为 .
17. 已知 是数列 的前 项和，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用 可得最后一项，再检验首项，即可得通项公式；
(2)利用裂项相消法即可求和.
【小问 1 详解】
由 ，
当 时， ，
当 时，可得 ，
两式相减得： ，所以有 ，
也符合上式，
所以 ；
【小问 2 详解】
当 时，有
当 时，有 ，
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所以有
.
18. 已知数列 的前 n 项和为 ， ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 满足 （ ），记 的前 n 项和为 ，求 ；
（3）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件求出 的递推关系，进而求出通项公式；
（2）先求出 ，再利用错位相减法求前 n 项和；
（3）先转化不等式，再分类讨论求实数 的取值范围．
【小问 1 详解】
已知 ①，当 时， ， ，
，
当 时， ②，
由①减②得 （ ），且 ，
，故 （ ），
又 ，
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是首项为 ，公比为 的等比数列，
．
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
，
，
两式相减得
，
．
【小问 3 详解】
由 得 ，即 恒成立，
时， 恒成立， 恒成立，得 ；
时， ；
时， ， ， 时， ，得 ；
综上可得 ．
19. 已知函数 其中 a>0.
（1）求函数 f(x)的单调区间；
（2）若函数 f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围；
（3）当 a=1 时，设函数 f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为 M（t），最小值为 m（t）,记 g(t)=M(t)-m(t),求函
数 g(t)在区间[-3，-1]上的最小值．
【答案】（1）单调递增区间是 ， ；单调递减区间是
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（2）
（3）
【解析】
【详解】（1）解：
由 ，得
当 x 变化时， ， 的变化情况如下表：
x -1 a
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
故函数 的单调递增区间是 ， ；单调递减区间是 .
（2）解：由（1）知 在区间 内单调递增，在 内单调递减，从而函数 在区间
内恰有两个零点当且仅当 ，解得 .
所以，a 的取值范围是 .
（3）解：a=1 时， .由（1）知 在区间 内单调递增，在 内单调递减，
在 上单调递增.
（1）当 时， ， ， 在 上单调递增，在 上单调递减.
因此， 在 上的最大值 ，而最小值 为 与 中的较小者.由
知，当 时， ，故 ，所以
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.而 在 上单调递增，因此 .所以 在 上的最
小值为 .
（2）当 时， ，且 .
下面比较 的大小由 在 ， 上单调递增，
有
又由 ， ，
从而 ，
所以 综上，函数 在区间 上的最小值为
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