2026年山西省忻州市静乐县中考二模 数学试题（含解析）

这是一份2026年山西省忻州市静乐县中考二模 数学试题（含解析）
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 小满为了记录自己对零花钱的积攒和消费情况，建立了专属小账本，如果积攒100元记作元，那么“元”表示小满（ ）
A. 积攒80元B. 积攒20元C. 消费20元D. 消费80元
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵题目规定积攒100元记作元，即把积攒记为正，
∴与积攒意义相反的消费记为负，
∴元表示消费20元．
2. 随着航天、人工智能、精密制造等现代科技飞速发展，对称美学已经成为设计的核心语言．现有四幅源自前沿科技领域的设计图标，均体现了科技产品的视觉美感，请根据对称性判断下列图标是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
【详解】解：对于选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A不符合题意；
对于选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B不符合题意；
对于选项C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C不符合题意；
对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D符合题意．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法的法则，逐一判断选项即可.
【详解】解：A：∵ 与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
B：，故选项 B不符合题意；
C： ，故选项 C不符合题意；
D： ，故选项 D符合题意．
4. 如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：从上往下看，除了看到三条棱之外，还有两条隐藏的棱，
所以俯视图为，
故选：C．
本题考查三视图，，俯视图指的是从上往下看到的图形，注意看得到的线用实线，看不到的线用虚线．
5. 据文旅部2026年4月7日公布的数据，2026年清明节假期3天，全国国内出游亿人次，国内出游总花费亿元，创历史新高．数据“亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【详解】解：亿元．
6. 为规范小区车辆通行、提升出入口管理效率，某居民小区大门安装了车牌识别智能升降挡车杆，车辆驶入时设备自动识别车牌，控制挡车杆绕固定支点旋转升降，实现快速通行．如图是其工作示意图，智能箱与挡车杆交于点，挡车杆为，为，要使挡车杆右端从水平位置下降的垂直距离为，则挡车杆左端垂直上升的距离的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：由题意得：，，，
∵，
∴，
，
，
解得．
7. 一元一次不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则原不等式组的解集为：．
8. 2026年多项重大体育赛事陆续举办．现有四张外观、大小、质地完全相同的赛事会徽卡片，背面朝上洗匀，正面分别印有四项赛事：甲：2026年第六届亚洲沙滩运动会（中国・三亚）；乙：2026年山西省第十七届运动会（中国・长治）；丙：2026年江苏省第二十一届运动会（中国·连云港）；丁：2026年米兰冬季奥林匹克运动会（意大利·米兰）．将卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取两张（不放回），则抽到的两张卡片对应的赛事举办地都在中国的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：画树状图如下：
等可能出现的情况共12种，其中符合要求的情况有6种，
∴抽到的两张卡片对应的赛事举办地都在中国的概率为．
9. 如图，已知菱形的面积为，对角线与相交于点，对角线的长为，于点，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用菱形的面积公式可计算出，结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可计算出．
【详解】解：∵菱形的面积为，且，
∴，
在菱形中，点为的中点，
又∵，
∴．
10. 如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，作，再根据平行四边形的性质和已知条件可得是等边三角形，进而得出，然后根据，结合扇形面积公式可得答案．
【详解】解：连接，作，于点F，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点E是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
由，可得，
∴．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 请你写出一个大于而小于的整数：_______．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】先估算出和的取值范围，再找出该范围内符合条件的整数即可．
【详解】解：，
，
又，
，
因此，大于而小于的整数为和，任选一个即可．
12. 近年以来，某试验田在杂交水稻的研究中取得了重大突破，下面是2025年在同一条件下连续5次不同规模试种的水稻成活率：
根据表中数据，预计2026年的10万株水稻中可成活________万株．
【答案】
【解析】
【分析】随着随机试验次数的增加，频率会趋向于概率，结合表格的数据进行估计即可．
【详解】解：由图表可知，该水稻的成活率稳定在左右，
（万株），
∴预计成活万株．
13. 已知直线与直线交于点，那么关于，的二元一次方程组的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】由图象可知交点的坐标就是方程组的解．
【详解】解：由图象可知的解为 ．
14. 函数是解决现实世界诸多领域问题的重要模型，其中反比例函数让我们能定量分析“此消彼长”的关系，而不是凭感觉判断．当电压一定时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流是；若电流为时，电阻是_______．
【答案】5
【解析】
【分析】先求出反比例函数关系式，再将代入可得答案．
【详解】解：设反比例函数关系式为，
∵当时，，
∴，
解得，
∴反比例函数关系式为．
当时，，
解得．
15. 如图，在中，，，延长至点，使得，取的中点，连接与交于点，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接交于点，连接，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可得．容易判断是的中位线，则，，利用勾股定理可得．由平行可判定和，从而计算出．
【详解】解：如图，取的中点，连接交于点，连接，
∵，为的中点，
∴，，
在中，，
∵，
∴，即点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算与解方程组：
（1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：，
将，得，
，
解得，
将代入①，得，
解得，
∴原方程组的解为．
17. 如图，已知．
（1）在上方求作一点，使得，且；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，求四边形的面积．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）以点C为圆心，以为半径画弧，交于点G，再以点A为圆心，以为半径画弧，交于点K，然后以点K为圆心，以为半径画弧，交前弧于点L，作射线，则为所求，并在上截取，则即为所求；
（2）由（1）可知，进而得出四边形ABCD是平行四边形，再作，接下来解直角三角形求出，然后根据勾股定理求出，即可得，最后根据得出答案．
【小问1详解】
解：略；
【小问2详解】
解：由（1）可知，
．
，
四边形是平行四边形．
如图2，过点作于点．
．
在中，，
．
在中，，
，
．
18. 随着科技赋能基层治理，无人机已从早期的军事、航拍工具，全面渗透到农业、工业、应急、安防、科研等诸多领域．如图（示意图），无人机正用于电力线路除冰作业，某校九年级实践小组为对比不同品牌无人机的除冰效率，从甲、乙两个品牌中各随机抽取20架智能无人机，记录其每日除冰距离（单位：米），并对收集的数据进行整理、描述和分析，过程如下：
【数据收集与整理】
甲品牌20架无人机的每日除冰距离：
70，71，73，75，78，78，79，80，80，80，
80，80，81，81，82，83，85，86，88，90．
乙品牌20架无人机每日除冰距离扇形统计图：
乙品牌20架无人机的每日除冰距离在这一组的数据为80，80，81，81，82，83，84，84．
【数据分析与运用】
甲、乙两个品牌20架无人机每日除冰距离数据分析如下表：
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：__________，__________；__________；
（2）当无人机的每日除冰距离为及以上即为一等品，请估计甲品牌200架和乙品牌300架无人机中一等品无人机的总架数；
（3）根据以上信息，请你对甲、乙两个品牌的无人机除冰效率进行评价．（任选两个统计量进行说明）
【答案】（1）80，80.5，80
（2）100架 （3）甲品牌无人机的除冰效率更高．
说明：在甲、乙两个品牌无人机每日除冰距离的平均数相同的情况下，甲品牌无人机的方差为25.2小于乙品牌无人机的方差34.09，从方差角度来看，甲品牌无人机在进行除冰工作时更加稳定；
甲品牌无人机每日除冰距离的众数为80米，高于乙品牌无人机的众数74米，
从众数的角度来看，甲品牌无人机除冰效率更高．
【解析】
【分析】（1）根据平均数、众数和中位数的概念进行求解即可；
（2）分别求出甲、乙品牌中的一等品，然后求和即可；
（3）根据平均数和方差等进行分析描述即可．
【小问1详解】
解：甲品牌的平均数为（米），
乙品牌在的频数为（个），
在的频数为（个），
在的频数为（个），
在的频数为（个），
前两组共有个数据，
∴第9个到第16个数据都在C组，
C组数据从小到大排列为80，80，81，81，82，83，84，84．
第10个数据为80，第11个数据为81，
∴中位数，
在甲品牌的20个数据中，80出现了5次，出现的次数最多，
∴众数；
【小问2详解】
解：（架）．
答：甲、乙两个品牌一等品无人机共有100架；
【小问3详解】
略
19. 大同黄花菜是大同市特色地理标志农产品，品质优良、采摘期集中，用工需求大．为缓解大同黄花菜采摘季的劳动力短缺问题，并降低生产成本，某黄花菜种植基地引进了智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍．用一台智能采摘机器人采摘600千克黄花菜，比4个工人采摘这些黄花菜要少用1天．求一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜多少千克．
【答案】千克
【解析】
【分析】设一个工人平均每天可采摘黄花菜千克，根据题意列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设一个工人平均每天可采摘黄花菜千克，则一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜千克，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴（千克）．
答：一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜150千克．
20. 文峰塔是古代人民为使当地文风、文脉顺达，多出人才，根据风水理论而建造的，具有观赏性和标志性双重意义的建筑．其遍布全国各地州县，是科举制度的产物，同时也是儒、释、道三种思想共同作用下的产物．汾阳文峰塔建于明末清初，位置在山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔经过维修后，雄伟挺拔．某校项目学习小组的同学在了解该塔之后，想利用所学知识测量塔高，下面是他们的测量方案及报告：
【答案】
【解析】
【分析】延长交于点，则，易得四边形和四边形是矩形，分别解和，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，则．
由题易得四边形和四边形是矩形，
∴MF=AB=1.6 m ，
由题意得：，，．
设，则．
在中，，，
．
．
在中，，，
，解得．
．
答：文峰塔的高度EF约为．
21. 阅读与思考
下面是小清同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）直接写出图1中的值为__________．
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，与交于点，求的值．
（3）如图3，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取格点Q，连接，由可得，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，然后根据可得答案；
（2）先取格点Q，连接，由可得，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案；
（3）取格点E，连接，延长，作，设菱形的边长为1，根据题意得，即可得，再说明，然后解直角三角形求出，进而求出，接下来根据勾股定理求出，再求出，最后根据得出答案．
【小问1详解】
解：取格点Q，连接，
可知，
∴．
根据勾股定理，得，
可知,
∴是直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解：如图，取格点Q，连接，
由图可知，
∴．
根据勾股定理，得，
则
∴是直角三角形，且，
可知，
∴；
【小问3详解】
解：取格点E，连接，延长，过点B作于点F，如图所示，
设菱形的边长为1，根据题意，得，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
22. 综合与实践
【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华．”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石”．某文创企业以平定刻花瓷为特色，开发了系列文创产品．某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析．
【信息收集】
信息①：该款刻花瓷的成本为50元/件．
信息②：该款刻花瓷的售价（元）不低于80元．
信息③：该款刻花瓷的月销量（件）与售价（元）关系如下表所示．
信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000元，且每月最大制作数量为150件．
【问题解决】
（1）任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y（件）与售价（元）之间是_____关系（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），月销量（件）与售价（元）之间的函数关系式为__________．
（2）任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是多少元？
（3）任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000元，请解答下列问题：
①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价（元）的取值范围；
②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及对应的月销量．
【答案】（1）一次函数，
（2）当销售单价为137.5元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125元
（3）① ；②单价元，销量件
【解析】
【分析】（1）由表格数据观察，售价每增加5元，销量减少4件，变化量均匀，符合一次函数特征，设 ，代入两组数据求解即可；
（2）设月利润为元，由月利润=（售价-成本）×销量-固定成本 ，列出，再将二次函数配方，根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）①令解二次方程得或，结合抛物线开口向下，得的解集为，
②销量随售价的增大而减小，要销量最大需售价最低，故取，代入销量公式得件即可．
【小问1详解】
解：由表格数据观察，售价每增加5元，销量减少4件，变化量均匀，
因此月销量y（件）与售价（元）之间是一次函数关系，
可设 ，
将代入可得，
，解得，
因此；
【小问2详解】
解：设月利润为元，由题意可得，


，
当时，不低于元，符合题意，
此时最大，为5125元．
答：当销售单价为137.5元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125元．
【小问3详解】
解：①令，得 ．
解得 ．
由（2）知 ，
抛物线开口向下．
当时， ．
②尽可能提高销量，
单价应最小，即元．
此时销量 （件）．
23. 【特例感知】
（1）如图1，在中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点．
判断线段与的数量关系是__________．
【类比探究】
（2）如图2，在中，，点（不与点重合）在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点．判断线段与的数量关系，并仅就图2的情形给出证明．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）线段的长为或．
【解析】
【分析】（1）证明，推出，，再证明，据此求解即可；
（2）当点D，F都在的延长线上时，在上取一点G，使得，连接，，证明和，据此计算即可求解；当点D，F都在的延长线上时，同理求解即可；
（3）利用（2）的结论，利用平行四边形的性质结合勾股定理列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：连接，
∵，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当点D，F都在的延长线上时，结论：，
证明：如图，在上取一点G，使得，连接，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
当点D，F都在的延长线上时，结论：，
证明：如图，延长至点G，使得，连接，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：当点D，F都在的延长线上时，
由题意，四边形是平行四边形，
∴，
由（2）知，，
设，
∴，，
在中，，
∴，解得，
∴；
当点D，F都在的延长线上时，设，
由（2）知，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
解得，
∴；
综上，线段的长为或．
水稻总株数（株）
500
1000
2000
5000
10000
…
成活率
…
分组
每日除冰距离/米
A
B
C
D
品牌
平均数/米
中位数/米
众数/米
方差
甲
80
25.2
乙
80
74
34.09
课题
测量文峰塔高度
测量工具
卷尺和自制测角仪等
自制测角仪的使用方法
利用量角器和铅锤自制如图1所示的简易测角仪，使用过程如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点与视线重合时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．
测量说明
如图3，汾阳文峰塔的高度为，小慧利用上述工具测量的高度，她先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后向前走站在点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为．已知小慧的眼睛到水平地面的距离为．
测量过程
图中点，，在同一水平直线上，点，，，，，均在同一平面内，于点，于点．
参考数据
，，，，，，
问题解决
求文峰塔的高度．（结果精确到1米）
×年×月×日星期日
如何利用网格求角的三角函数值
在平面几何的学习中，求解三角函数值往往依赖于直角三角形的存在．然而，面对非直角三角形或者缺乏度量工具的复杂场景，网格作为一种独特的几何变换手段，巧妙地搭建起了“直观图形”与“抽象数学”之间的桥梁．
利用网格的特殊性质，借助平移、平行线、相似三角形等几何变换，可将任意待求角进行转化，嵌入格点直角三角形中分析求解．该方法运算简便，规避繁琐计算，高效完成角度与线段的数值转化，有效减少解题失误．
问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值．
方法归纳：
观察发现问题中不在直角三角形中，我们利用网格画平行线的方法解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就转换到中了．
售价x（元）
90
95
100
105
110
月销量y（件）
108
104
100
96
92