2026年山西忻州市河曲县部分学校中考二模数学试题（含解析）

这是一份2026年山西忻州市河曲县部分学校中考二模数学试题（含解析）
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. ﹣3的绝对值是（ ）
A. ﹣3B. 3C. -D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2. 芯片是数字经济核心、国防安全基石．中国芯片制造业的发展，关乎科技自主与国家战略命脉．下列国产芯片制造业的标志中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义求解即可．
【详解】解：A、该图形是中心对称图形，符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵，∴A错误；
∵，∴B错误；
∵，∴C正确；
∵与不是同类项，不能合并，∴D错误．
4. 如图1，高铁车顶上的“受电弓”能保持稳定和高效的电能传输．其示意图如图2所示，已知，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作，根据平行线的判定和性质求出，，根据计算即可．
【详解】解：如图，作，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
5. 晋祠三宝包括圣母殿、鱼沼飞梁与献殿．三座古建结构精妙、形制罕见，是我国古代建筑艺术的珍宝．小钰将这三座古建的图片背面朝上放在桌面上（图片背面完全相同）洗匀，从中随机抽取一张，记下名称后放回，再从中随机抽取一张，则抽到的两张图片恰好是“圣母殿”和“献殿”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列出所有等可能的结果，再找出符合要求的结果数，利用概率公式计算即可．
【详解】解：记圣母殿为A，鱼沼飞梁为B，献殿为C．
画树状图如下：
共9种结果，其中抽到两张恰好为“圣母殿”和“献殿”的结果共2种．
根据概率公式，所求概率为．
6. 平定紫砂茶具是山西传统手工艺品，制作平定紫砂茶具需要用到紫砂泥．已知制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥；制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥．若设制作1把茶壶需要x份紫砂泥，制作1个茶杯需要y份紫砂泥，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】提取题干中的两个等量关系，分别列出方程即可得到对应方程组．
【详解】解：根据“制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥”，可得第一个方程：，
根据“制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥”，可得第二个方程：，
∴可列方程组为．
7. 如图1，汉族传统吉祥纹样——方胜纹，由两个全等的正方形叠合而成．其示意图如图2所示，正方形沿对角线BD平移得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为，，，，与AD交于点E，与CD交于点F．若，，则平移的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质和已知条件得出四边形为正方形，再根据面积比求出其边长，最后利用正方形的对角线性质求出平移的距离．
【详解】四边形是正方形，
，
正方形沿对角线平移得到正方形，
，
，且，
四边形是正方形，
，，
，解得，
，即，
，
．
8. 关于一次函数的性质，下列说法正确的是（ ）
A. 该函数图象与y轴交于点B. 该函数图象经过点
C. 该函数图象经过第一、二、三象限D. 随着自变量x的增大，函数值y逐渐增大
【答案】B
【解析】
【分析】通过代入计算验证点与函数图象的位置关系，根据一次项系数和常数项判断图象所在象限及增减性，即可得到正确选项．
【详解】解：对选项A，求函数与轴的交点，令，得，因此函数图象与轴交于点，A错误；
对选项B，将代入函数式，得，因此函数图象经过点，B正确；
对选项C，，，函数图象经过第一、二、四象限，C错误；
对选项D，，随着自变量的增大，函数值逐渐减小，D错误．
9. 如图，与相切于点A，连接交于点C，点D是优弧上一点（不与A，C重合），若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由切线的性质可得，根据直角三角形的两锐角互余求出，然后根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接，
∵与相切于点A，
∴，即，
∵，
∴
∵，
∴．
10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，轴，且点B的纵坐标为2m，则下列说法正确的是（ ）
A. 当点B在第三象限时，存在B. 当时，m的值为或
C. 无论m取何值，点B不可能在y轴上D. 无论何时，m的值不可能是
【答案】B
【解析】
【分析】先根据垂直关系确定点的坐标，再得到和的长度表达式，结合象限坐标特征解方程，逐个判断选项即可．
【详解】解：∵ 轴，，的纵坐标为，
∴ 的横坐标与相同，即，
∴，，
对选项A：若在第三象限，则，得，
若，则，时，，解得，不满足，不存在这样的，不符合题意；
对选项B：若，则，两边平方得：，整理得，因式分解得，解得或，符合题意；
对选项C：若在轴上，则横坐标，解得，存在这样的，可以在轴上，不符合题意；
对选项D：由选项C可知，可以取，不符合题意．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：的结果是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，根据二次根式乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：3．
12. 2026年，“健康第一”不再是口号，而是必须扎根于心的教育哲学，必须付诸行动的政治责任．将如图所示的运动宣传海报放在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为，，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】先找到原点，再建立平面直角坐标系，即可解答．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，即为原点，建立平面直角坐标系，如图
∴点B的坐标为．
13. 2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松赛于4月19日鸣枪开跑，某科创团队对旗下的三款参赛机器人从“步态与动态”“续航与散热”“自主导航与避障”三个方面进行评分，其各项评分（单位：分）如表所示．若三项评分按的比例确定最终成绩，则最终成绩最好的是______（填“A”“B”或“C”）款机器人．
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的权重，利用加权平均数公式分别计算三款机器人的最终成绩，比较成绩大小后得到最终成绩最好的机器人．
【详解】解：由题意得，三项评分的权重和为．
计算A款机器人的最终成绩：（分）．
计算B款机器人的最终成绩：（分）．
计算C款机器人的最终成绩：（分）．
因为，
所以C款机器人最终成绩最好．
14. 根据生物学知识，生存资源总量固定，单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系．某生态培养瓶内营养总量固定，设微生物数量为x个，单个微生物平均获得y个营养单位．当单个微生物平均获得10个营养单位时，微生物总数为200个，若要保证单个微生物平均至少获得4个营养单位，则微生物总数最多为______个．
【答案】500
【解析】
【分析】根据单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系，设出反比例函数解析式，利用已知条件求出营养总量即比例系数，再根据单个微生物平均至少获得个营养单位的条件，求解微生物数量的最大值．
【详解】解：与成反比例关系，
设．
把，代入解析式得：，
解得，
因此函数解析式为．
根据题意得，
即，
为微生物数量，
，不等式两边同乘得，
解得．
15. 如图，在中，点E是上的一点，连接．将沿折叠得到，点B的对应点F恰好落在上，连接交于点G．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】通过延长交于点，利用平行线构造相似三角形，结合折叠性质得到定长线段，最终通过相似比求解的长．
【详解】解：延长交于点，设，则，
∵将沿折叠得到，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 按要求完成下列各题：
（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）30 （2）
【解析】
【小问1详解】
解：原式．
【小问2详解】
解：原式．
17. 如图，内接于，是的直径，，，的平分线交于点D，求的长（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】连接，利用勾股定理求得，利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵是的直径，∴．
在中，，，，
由勾股定理，得，
∴的半径为5，
∵平分，
∴，
∴，
∴的长．
18. 为推进健康校园建设，丰富校园体育生活，某校开展“跃动青春·绳彩飞扬”跳绳活动周．
【数据收集】数学兴趣小组从参加活动的八年级和九年级的学生中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：）．
【数据整理】九年级学生一分钟跳绳个数条形统计图和八年级学生一分钟跳绳个数扇形统计图绘制如下（不完整）：
九年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据：190，195，193，195，195，194．
八年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据：193，192，196，193，196，196，196，196．
【数据分析】两个年级学生一分钟跳绳个数分析如下表：
【问题解决】
（1）填空：______，______．
（2）补全条形统计图．
（3）根据以上数据分析，你认为哪个年级的一分钟跳绳成绩更好？并说明理由（至少从两个统计量角度说明）．
（4）若该校参加此次跳绳活动的八年级学生有200名，九年级学生有260名，请你估计两个年级一分钟跳绳个数不少于200个的总人数．
【答案】（1）191.5；196
（2）补全条形统计图如图：
（3）答案不唯一，例如：八年级的成绩更好．
理由：从平均数来看，八年级和九年级一分钟跳绳个数的平均数都是194个；从中位数来看，八年级一分钟跳绳个数的中位数为196个，大于九年级一分钟跳绳个数的中位数191.5个，所以八年级的一分钟跳绳成绩更好
（4）125名
【解析】
【小问1详解】
解：将九年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据重新排序为：190，193， 194，195， 195，195．
由于九年级抽取人数为20人，则其中位数为第10、11两个数的平均数，D、E组分别为2人，3人，则中位数落在190，193，之间，则中位数，
根据八年级学生一分钟跳绳数扇形统计图发现，除C组外，其余各组人数分别为：
A组：人，B组：人，D组：人，E组：人，而C组中，出现次数最多的数据为196，共出现5次，则八年级一分钟跳绳个数的众数为；
【小问2详解】
解：由题意，C组数据有6人，则A组人数为：，由此可补充条形图．
【小问3详解】
略
【小问4详解】
解：（名）．
答：两个年级一分钟跳绳个数不少于200个的总人数约为125名．
19. 以刻代剪是广灵剪纸的独特技艺，刀工细腻精巧，色彩明艳绚丽．已知每个“生肖摆台”的价格比每个“生肖团扇”价格的倍还多元；用元购买“生肖摆台”的数量是用元购买“生肖团扇”的数量的．
（1）求每个“生肖团扇”和每个“生肖摆台”的价格分别是多少．
（2）若小李计划购买“生肖团扇”和“生肖摆台”共个，且总费用不超过元，求最多可以购买多少个“生肖摆台”．
【答案】（1）每个“生肖团扇”的价格为元，每个“生肖摆台”的价格为元；
（2）个．
【解析】
【分析】设每个“生肖团扇”的价格为元，则每个“生肖摆台”的价格为元，根据题意得，然后解方程并检验即可；
设购买“生肖摆台”个，则购买“生肖团扇”个，根据题意得 ，然后解不等式，再结合是整数，且取最大值，即可求解．
【小问1详解】
解：设每个“生肖团扇”的价格为元，则每个“生肖摆台”的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：每个“生肖团扇”的价格为元，每个“生肖摆台”的价格为元；
【小问2详解】
解：设购买“生肖摆台”个，则购买“生肖团扇”个，
根据题意，得 ，
解得，
∵是整数，且取最大值，
∴，
答：最多可以购买个“生肖摆台”．
20. 项目式学习
禹门桥（禹门口黄河大桥）位于运城市河津市西北，是连接山西河津与陕西韩城的交通枢纽．项目式学习小组围绕禹门桥“索塔的高度”开展实践活动．
问题解决：请你根据上述信息，求禹门桥索塔的高度（结果精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】设，由已知条件可得，在中，（），由得（），在中，（），故，解得（），故，在中，（），故．
【详解】解：∵，
∴．
设，
在中，，，，
∴（），
在中，，，，
由题意，得，
∴（），
∴（），
∴，
∴，解得（），
∴（），
在中，，，，
∴（），
∴（），
答：禹门桥索塔的高度约为．
21. 阅读与思考
请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）问题1中的点D______（填“是”或“不是”）中边的比中项妙点．
（2）写出问题2的证明过程．
（3）如图4，与是的两条弦，在上求作一点C，连接交于点D，使得D是中边的比中项妙点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．
【答案】（1）是 （2）∵点D是中边的比中项妙点，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（3）作法不唯一，例如，如答图，点C即为所求．
【解析】
【分析】（1）证明，得出，即可得出，即可得出结论；
（2）根据两边对应成比例且夹角相等，证明，即可得出结论；
（3）作的垂直平分线，交于点D，连接并延长，交于点C，则点C即为所求．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边的比中项妙点；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：连接，如图所示：
根据作图可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D是中边的比中项妙点．
22. 综合与实践
问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示．
建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．
测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式．
问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为．
（2）若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离．
（3）根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为
（2）
（3）28个
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法可求出抛物线的函数表达式为，根据对称性可得出抛物线的函数表达式为；
（2）设y轴右侧可以摆放m列储物箱，根据题意列不等式求解即可；
（3）由（2）知，右边仓库可放4列储物箱，求出每列数量分别为3，4，4，3，共14个，同理可求左边仓库也可放14个，共计可放28个．
【小问1详解】
解：由题意，得抛物线的对称轴为直线，拱顶最高点距离地面的高度为，
∴抛物线的顶点坐标为；
设抛物线的函数表达式为，
由题意得，点A的坐标为，且点A在抛物线上，
∴，
解得
∴抛物线的函数表达式为，
由对称得抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设y轴右侧可以摆放m列储物箱，由题意,得，
解得，
∵m为正整数，且取最大值，
∴，
此时点M的横坐标为，
将代入，
得，
∴点M与抛物线在竖直方向上的距离为；
【小问3详解】
解：由（2）知，右边仓库可放4列储物箱，
由题意得，第一列储物箱离的距离为，
当时，，
（个）余1.08米，
同理可求第二列4个，
根据对称性，第三列4，第四列3个，
所以，这个仓库可摆放（个），
同样左边的仓库也可摆放14个储物箱，
共计可摆放（个）储物箱．
23. 综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：现有两个全等的三角形纸片，表示为，其中，将和按图1所示方式摆放，，过点C作的平行线交的延长线于点G．试判断四边形的形状，并说明理由．
独立思考：
（1）请解答老师提出的问题．
深入探究：老师将图1中的绕点A顺时针旋转，并让同学们提出新的问题．
（2）勤奋小组提出问题：如图2，当时，过点C作，垂足为H．试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）智慧小组提出问题：当时，过点C作，交所在直线于点M．若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）四边形是矩形．
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）．
理由如下：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴．
（3）或6
【解析】
【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再结合，即可证明结论；
（2）首先根据全等三角形的性质可得，，结合可得，进而证明，易得，即可证明结论；
（3）首先根据全等三角形的性质以及勾股定理，可得，，；然后分在右侧和在左侧两种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：∵，且，，
∴，，
∵，
∴，
分两种情况讨论：
①如下图，当在右侧时，设交于点，连接，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∴，
过点作于点，如图，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得；
②如下图，当在左侧时，
∵，，
∴，
即点在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得．
综上所述，线段的长为或6．
机器人
评分/分
步态与动态
续航与散热
自主导航与避障
A款
10
8
9
B款
9
10
8
C款
9
8
10
年级
统计量
平均数/个
中位数/个
众数/个
方差
九年级
194
a
195
32.3
八年级
194
196
b
45.5
项目主题
测量索塔的高度
驱动问题
如何测量禹门桥索塔在水面以上的高度
活动内容
利用解直角三角形的知识进行测量与计算
活动过程
实景图与测量示意图
说明
表示水面上方的索塔，表示水平桥面，点表示索塔与桥面的交点，于点，在点处测得索塔顶部的仰角为，测得索塔与水面接触点的俯角为，面向索塔前进到达点处，测得索塔顶部的仰角为，图中所有点均在同一竖直平面内
参考数据
，，，，，，
…
…
比中项妙点
【概念理解】
如果三角形一边上的点将该边分成两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形中该边的“比中项妙点”．
例如，如图1，在中，点D是上的一点，连接，若，则称点D是中边的比中项妙点．
【问题解决】
问题1：如图2，在中，，，垂足为D，则点D______（填“是”或“不是”）中边的比中项妙点．
问题2：如图3，点D是中边的比中项妙点，延长至点E，使得，连接．求证：．
证明：
……