福建省莆田第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

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单选题
已知复数 z 满足 z 
6
2
2
1  i
，则| z | （ ）
2
​
2
C．3D． 3
已知点 A(1, 0), B(0, 2), C(3, 2) ，则 BA 在 BC 上的投影向量的坐标为（ ）
A．( 0, 1)B．  1 , 1 
(1, 0)D．  1 , 0 
 2 2  2

→
设向量a   x 1, x, b   x, 2 ，则（）
a
a / /b
“ x  3 ”是“ → ⊥b ”的必要条件B．“ x  3 ”是“ →”的必要条件
3
C．“ x  0 ”是“ → ⊥b ”的充分条件D．“ x  1”是“ →”的充分条件
a
–––v
1 –––v
a / /b
λ μ
如图，已知ABC 中， D 为 AB 的中点， AE 
3 AC ，若 DE  λAB  μBC ，则
 5
6
 1
6
1
6
5
6
如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E，H 分别是边 AB，AD 的中点，点 F，G 分别是边 BC，CD 上
的点，且 CF  CG  2 ，则（ ）
CBCD3
A．EF 与 GH 平行B．EF 与 GH 异面
C．EF 与 GH 的交点一定在直线 AC 上D．EF 与 GH 的交点可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC
上
如图，圆锥的母线 AB 长为2 ，底面圆的半径为r ，若一只蚂蚁从圆锥的点 B 出发，沿表面爬到 AC 的中
5
点 D 处，则其爬行的最短路线长为
，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．1B． 2C． 3D． 3
2
已知在V ABC 中， a2 cs Asin B  b2 sin A cs B ，则V ABC 的形状为（ ）
等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直
角三角形
2
已知正方体 ABCD  A1B1C1D1 的体积为16，则四棱锥 A1  ABCD 与四棱锥 B1  ABCD 重叠部分的体积
是（ ）
2
A．
C． 8 2
3
B． 2
2
D． 10 2
3
多选题
设 z1, z2 是复数，则下列说法中正确的是（）
若 z1  z2
 0 ，则 z1  z2
若 z1  z2 ，则 z1  z2
若 z  z
，则 z  z
 z  z
若 z  z
，则 z2  z2
1211221212
如图，这是一个正方体的平面展开图， P, Q, G, H 分别是棱 AB, BC, EN , AE 的中点，则在该正方体中
（ ）
PH ∥GQ
GH 与 BC 是异面直线
GH , PQ, AD 相交于一点
QG  BN
在锐角V ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且a2  b(b  c) ，则下列结论正确的有（ ）
A  2B
B 的取值范围为 0,π
4 


a 的取值范围为
b
2, 3 
1  1  2sinA 的取值范围为 5 3 , 6 
tanB
tanA
 3

填空题
在V ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知a  3, b  4, sin B  2 ，则 A ．
3
Rt V ABC 中，A  90 , AB  AC  2, M 为V ABC 的外接圆上一动点，则 AB  AM 的最大值为．
如图，正四棱锥 P  ABCD 中，点 E 和 F 分别为棱 BC 和 PD 的中点．若过 A，E，F 三点的平面与侧面 PCD
的交线线段长为
7, cs PDC 
2 ，则该四棱锥的外接球的体积为．
4
解答题
→→→
已知a  1,1, b  1, a 与b 的夹角θ 45∘ .
→→
求 a  2b 的值；
→→→→
若向量2a λb 与λa  3b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
3
如图，有一码头 P 和三个岛屿 A, B,C ， PC  30n mile, PB  90 n mi le, AB  30 n mile ， PCB  1200 ，
ABC  900 .
求 B, C 两个岛屿间的距离；
某游船拟载游客从码头 P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头 P .问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.
如图，三棱柱 ABC  A B C 中，侧面 AA B B, AAC C 均为菱形， AA  2 ，ABB
 ACC
 60 , D 为 AB
1 1 1
1 11 1
111
的中点．
求证： AC1 // 平面CDB1 ；
若BAC  60 ，求直线 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的大小．
已知菱形 ABCD 的边长为2, BAD  60 ，平面 ABCD 外一点 P 在平面 ABCD 上的射影是 AC 与 BD 的交点O,VPDB 是等边三角形．
求证： AC  平面 PBD ；
求点 D 到平面 PBC 的距离；
若点 E 是线段 AD 上的动点，问：点 E 在何处时，直线 PE 与平面 PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段 DE 的长．
在V ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a, b, c,V ABC 的面积为S ．已知sin B 
3 sin C ．
若a2  c2 
2S
sin A
，求cs A的值；
若S  3 ，求a2 的最小值；
2
若 A  π , c  1, P, Q, R 分别在边 AB, BC , CA 上，且 PQ  QR  RP ，求VPQR 面积的最小值．
2
1．D
2．C
3．C
4．C
5．C
6．A
7．D
8．D
BC
ABC
参考答案
AC
π
6
2 
2 1
32 3π
10
15．(1)
(2) 1, 6 ∪ 
3
16．（1） 30
6, 6
n mile （2） 30  60 3  30 7 nmile
17．(1)证明见解析；
π
4
18．(1)证明见解析
(2) 2 15
5
点 E 在线段 AD 上靠近点 D 的 4 分点处，此时sinθ 4 ， DE  1
52
19．(1) 3 1
2
3
(2) 2