2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第七章7.2球的切、接问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第七章7.2球的切、接问题(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了2　球的切、接问题，内切球，棱切球，外接球等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
一、正方体与球
1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.
2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长2a.
3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长3a.
二、长方体与球
外接球：外接球直径2R=体对角线长a2+b2+c2(a，b，c分别为长方体的长、宽、高).
三、正棱锥与球
1.内切球：V正棱锥=13S表·r=13S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高.
2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).


四、直棱柱的外接球
球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=h22+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r).
五、圆柱的外接球
R=h22+r2(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径).
六、圆锥的外接球
R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
【必练核心题型】
题型一 外接球
命题点1 补形法
【典例】1.古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.若四棱锥P-ABCD为“阳马”，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，则此“阳马”外接球的表面积为( )
A.41π2B.41π4C.41πD.41π
【典例】2.已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，则球O的表面积是 .
【变式训练】在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=22，且三棱锥P-ABC的体积为83，若三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.4πB.16π3C.8πD.16π
命题点2 定义法
【典例】1.如图，在四面体ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=2，则四面体ABCD外接球的表面积为( )
A.2πB.4πC.8πD.8π3
【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD，如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为( )
A.52π3B.43π3C.23πD.82π3
命题点3 垂面法
【典例】1.已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为( )
A.16π3B.8πC.28π3D.12π
【变式训练】找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.
跟踪训练3 在三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )
A.4π3B.8π3C.11π3D.16π3
题型二 内切球与棱切球
命题点1 内切球
【典例】1.(2025·洛阳模拟)已知一圆台容器的上、下底面中心分别为O1，O2，且O1O2=103，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为( )
A.96πB.192πC.48πD.248π
命题点2 棱切球
【典例】2.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切，则该球的表面积为( )
A.43πB.4πC.42πD.3π
【变式训练】
变式1.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为( )
A.4π3B.43πC.86πD.82π3
变式2.将一个母线长为3 cm，底面半径为1 cm的圆锥形木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为( )
A.2π cm2B.π cm2
C.5π2 cm2D.3π2 cm2
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则其棱切球的表面积是( )
A.πB.2πC.8πD.12π
2.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为( )
A.1∶27B.1∶9C.1∶3D.9∶1
3.一个侧棱长为23的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形O'A'B'C'，其中O'A'=2，则该直棱柱外接球的表面积为( )
A.8πB.16πC.32πD.64π
4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长分别为3，3，3，高AA1=22，则该三棱柱的外接球的表面积为( )
A.5πB.20πC.2053πD.44π
5.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，BC=23，∠BAC=60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为( )
A.32πB.64πC.80πD.128π
6.(2025·常德模拟)如图，现有棱长为6 cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥A1-EFG，且E，F，G分别为棱A1A，A1B1，A1D1上靠近A1的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为( )
A.273π2 cm3B.36π cm3
C.1253π2 cm3D.72π cm3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为20π，则正四棱锥P-ABCD的高可能是( )
A.5+1B.5-1
C.5+3D.5-3
8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是( )
A.直三棱柱的侧面积是4+23
B.直三棱柱的外接球表面积是8π
C.直三棱柱的内置球的最大表面积为4π
D.AE+EC1的最小值为22
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·白银模拟)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，PA，PB，PC两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为9π，则该三棱锥的体积为 .
10.(2024·福州模拟)在三棱锥A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=32，AB=62，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为 .
考点
3年考情（2021-2024）
命题趋势
考点1 直接求球的表面积与体积及相关应用
2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京
2024·全国甲卷、2024·天津
2024·新课标Ⅱ卷、2023·全国乙卷2021·全国新Ⅰ卷
理解、掌握球体的表面积公式和体积公式，熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算，会利用（二级）结论快速解题 ；本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习。
考点2 正方体与长方体中的球体切接问题
2023·全国甲卷
考点3 圆锥与圆柱中的球体切接问题
2021·天津卷
考点4 棱锥与棱台中的球体切接问题
2023·全国乙卷、2023·新课标Ⅰ卷
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷
考点5 球体切接问题中的最值及范围问题
2023·全国甲卷
2022·全国乙卷
2022·全国新Ⅰ卷