中考数学二轮专题训练查漏补缺07 圆中的计算及其综合（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮专题训练查漏补缺07 圆中的计算及其综合（2份，原卷版+解析版），文件包含第二十八章单元测试原卷docx、第二十八章旋转答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

考点一： 圆中的角度、线段计算问题
【题型一】圆中常见的角度计算问题
【中考真题】
1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
2．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．70°
3．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26°B．27°C．28°D．30°
5．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于（ ）
A．64°B．60°C．54°D．52°
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n= ．

7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为 ．
8．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点E，且DE=AD．
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
【模拟训练】
1．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为AE的中点，则∠ABF=（ ）
A．9°B．12°C．18°D．36°
2．（2025·广东清远·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是BD⏜的中点，∠A=60°，则∠COD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．60°D．65°
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在6×6的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且∠EFC=112°，则∠ACE的度数为（ ）
A．65°B．66°C．67°D．68°
4．（2025·河北邯郸·二模）如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，连接DB、DC，若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，则sin∠BCD的值为 ．
5．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，过四边形ABCD的顶点A，C，D的圆，分别交AB,BC于点E，F.若∠B=50°，∠D=104°，则EF的度数为 ∘.
6．（2025·陕西西安·二模）如图，点A,B,C,D均在圆O上．若∠A=56°，AD=2AB=2CD，则∠ACB的度数为 ．
【题型二】垂径定理
【中考真题】
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
2．（2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长l的近似值计算公式：l=AB+MN2OA．当OA=4，∠AOB=60°时，则l的值为（ ）

A．11−23B．11−43C．8−23D．8−43
3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23，则OC=（ ）

A．1B．2C．23D．4
4．（2024·江西·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
(1)如图1，若BE=1，CE=5，求⊙O的半径；
(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
【模拟训练】
1．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸（注：1尺=10寸），则圆柱形木材半径是（ ）
A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸
2．（2025·陕西西安·一模）如图，在⊙O中，CD是垂直于直径AB的弦，垂足为E，若∠ABC=22.5°，OC=6，则弦CD的长为（ ）
A．82B．62C．53D．43
3．（2025·陕西汉中·二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图1)，它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC=BD=5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD=16cm，⊙O的半径r=10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
4．（2025·广西来宾·一模）如图， ⊙O的直径AB=10，⊙O的弦CD⊥AB于点P，且BP=2，则CD的长为（ ）
A．4B．45C．6D．8
5．（2025·河南南阳·一模）边长为23的等边三角形ABC内接于⊙O，长度为2的线段CD绕点C在平面内旋转．当点D落在⊙O上时BD的长为 ．
6．（2025·上海金山·二模）圆O是△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，如果BC=3，那么MN= ．
7（2025·安徽亳州·二模）在⊙O中，AB为⊙O的弦，连接OA，OB，∠ABO=30°，
(1)如图1，若半径OC⊥AB于点D，CD=1，求弦AB的长；
(2)如图2，MN为⊙O的切线，点P为切点，且MN∥OB，过点P作PF⊥AB于点F，与半径OB相交于点E．若⊙O的半径是3，求OE的长．
【题型三】弧长与扇形面积
【中考真题】
1．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA=20cm，OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC=120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）cm2．

A．253πB．75πC．125πD．150π
2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（ ）
A．3118πB．118πC．26πD．263π
4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是AB上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD．若BD⊥OC，则AC的长为（ ）
A．π6B．π3C．π2D．π
5．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．700π平方厘米B．900π平方厘米
C．1200π平方厘米D．1600π平方厘米
32．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 ．
6．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片ABCD，BC=36cm，∠A=110°，∠BDC=50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC= 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
7．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= ．
8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．
(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1，画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
(2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
【模拟训练】
1．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，将边AD绕点A顺时针旋转，使点D正好落在BC边上的点D'处，则DD'⏜的长为（ ）
A．πB．π2C．2π3D．4π3
2．（2025·云南保山·模拟预测）孩子为妈妈制作一个圆锥形生日帽，已知帽子的底面直径为12cm，展开后的侧面是一个扇形，扇形的半径为20cm．则该圆锥形生日帽的侧面积是（ ）
A．40πcm2B．60πcm2C．80πcm2D．120πcm2
3．（2025·云南·模拟预测）若一个圆锥的侧面展开图的面积为128πcm2，圆锥的母线与其底面圆的半径之比为2:1，则这个圆锥的母线长为（ ）
A．4cmB．8cmC．83cmD．16cm
4．（2025·福建龙岩·一模）滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮，其不省力，但可改变力的方向．如图，定滑轮半径为12cm，现需将重物拉升12.56cm（π取3.14），则滑轮旋转的情况为（ ）
A．顺时针旋转60°B．逆时针旋转60°
C．顺时针旋转120°D．逆时针旋转120°
5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，得到CE，连接AC，AE，若CE的长为23π，则正六边形的边长为（ ）
A．2B．23C．33D．233
6．（2025·甘肃·一模）一个吊灯的外罩呈圆锥形（如图1），如图2是这个吊灯的外罩的主视图，则该吊灯外罩的侧面积是 cm2．（结果保留π）
7．（2025·河北邯郸·一模）如图，量角器的直径AB=10cm，点A对应0°刻度，点B对应180°刻度，AB的中点即量角器的外轮廓所在圆的圆心为点O，点P为AB右下方⊙O上一点，弧BP所对应的圆心角为60°，射线PQ从与PB重合的位置开始，以每秒5°的速度绕点P逆时针旋转一周，射线PQ与⊙O，AB分别相交于点C，点D．
(1)当点C处的刻度为70°时，直接写出∠CPB的度数；
(2)当射线PQ刚好经过点O时，求PQ在量角器上扫过部分的面积；
(3)当射线PQ旋转至与⊙O相切时，求射线PQ旋转的时间．
【题型四】不规则图形面积的计算
【中考真题】
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π2−34B．π−34C．π2−14D．无法确定
2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．43π−3B．43πC．23π−3D．43π−34
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32−8πB．163−4π
C．32−4πD．163−8π
4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A．16π−34B．16π−32C．23π−3D．16π−14
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若sin∠CFB=22，AB=8，求图中阴影部分的面积．
6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为CB上一点，且AC=CE．
(1)求证：DC∥AE；
(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求阴影部分的面积．
【模拟训练】
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π2−34B．π−34C．π2−14D．无法确定
2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．43π−3B．43πC．23π−3D．43π−34
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32−8πB．163−4π
C．32−4πD．163−8π
4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A．16π−34B．16π−32C．23π−3D．16π−14
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若sin∠CFB=22，AB=8，求图中阴影部分的面积．
6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为CB上一点，且AC=CE．
(1)求证：DC∥AE；
(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求阴影部分的面积．
考点二： 圆与直线的位置关系
【题型一】切线性质与判定综合
【中考真题】
1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=10,PC=12，则sin∠CAD等于（ ）

A．125B．1312C．135D．1213
2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E．若ABCD=13，则sinC的值是（ ）

A．23B．53C．34D．74
3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC的值．
4．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．

(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若DE=2，GH=3，求DE的长l．
5．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC=PA．

(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD⋅OC=PA⋅OD；
(3)若∠CAB=30°，OD=8，求阴影部分的面积．
【模拟训练】
1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB=1，BC=3，则阴影部分的面积是（ ）
A．45−54π B．25−34π C．25−54π D．35−54π
2．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD=35，则线段AE的长是（ ）
A．245B．5C．194D．225
3．（2024·河南郑州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在边AB上，OA=2，以O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，则阴影部分的面积为 ．
4．（2022·上海虹口·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC的中点，连接AE，点O是线段AE上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ．
5．（2025·广西桂林·一模）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心的⊙D与BA相切于点A，分别与AC，BD相交于点E，F．
(1)求证：BC是⊙D的切线．
(2)若∠ABC=80°，AD=18，求EF⏜的长．
6．（2025·山东枣庄·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点O作AC的平行线OE，交BC于点E，作射线DE交AB的延长线于点F，连接BD．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AD=3CD，CD=3，求图中阴影部分的面积．
【题型二】利用切线长定理求解
【中考真题】
1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（ ）
A．56°B．60°C．68°D．70°
2．（2023·广东广州·中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE−BC的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°−αB．0，90°−αC．2r，90°−α2D．0，90°−α2
3．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（ ）
A．12rlB．12πrlC．rlD．πrl
4．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA,PB分别与AMB所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm,∠P=60°，则主视图的面积为 cm2．

6．（2023·湖北·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．

7．（2024·山东烟台·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交O于点D，E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
(1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
(3)若CI=22，DI=1322，求△ABC的周长．
8．（2024·四川自贡·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
(1)图1中三组相等的线段分别是CE=CF，AF=________，BD=________；若AC=3，BC=4，则⊙O半径长为________；
(2)如图2，延长AC到点M，使AM=AB，过点M作MN⊥AB于点N．
求证：MN是⊙O的切线．
【模拟训练】
1．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，PM、PN分别与⊙O相切与A，B两点，C为⊙O上一点，连接AC、BC、AB，若∠P=30°，∠MAC=60°，⊙O的半径为2，则AB的长是（ ）
A．2B．3+1C．3+2D．433
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC=3.3，BC=4.4，则图中△ABO的面积为（ ）
A．5.5B．2.75C．6.05D．3.025
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，切点分别为A、B、C，点 D、E 分别在PA、PB上，且ED⊥PA．若△PDE的周长为4， tan∠P=43，则图中阴影部分（DA、DC与 AC所围）的面积为（ ）
A．1−14πB．2−12πC．π-3D．12π−1
4．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB=a，AD=b，CD=c，且a>b>c，则BC长为（ ）
A．bB．a−bC．a+c−bD．acb
5．（2025·四川成都·一模）如图，在正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点P，则点落在阴影部分的概率是 ．
6．（2025·北京·一模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，OP交⊙O于点C，四边形AEOP是平行四边形，若PB=8，则PC= ，劣弧EC= ．
7．（2025·山东滨州·一模）【初步发现】
如图1，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，与AC，BC相切于点E,F,AD=5,BD=6，求△ABC的面积．
解：设线段CE的长为x，根据切线长定理得AE=AD=5,BF=BD=6,CF=CE=x，
在Rt△ABC中，
根据勾股定理得x+52+x+62=5+62，
整理得x2+11x=30，
所以S△ABC=12×x+5x+6=12x2+11x+30=30．
请同学们想一想AD⋅BD=5×6=30，△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
【深入探索】
（1）已知：如图2，△ABC的内切圆与AB相切于点D，与AC，BC相切于点E,F,AD=a,BD=b．
①若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于ab；
②若AC⋅BC=2ab，求证：∠C=90°．
【拓展延伸】
（2）已知：△ABC的内切圆与AB，AC，BC相切于点D,E,F,∠C=60°,AD=6,BD=7．请直接写出△ABC的面积．
8．（2025·安徽合肥·一模）如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B．连接PO，交圆O于点D，延长PO，交圆O于点C．连接AC，BC．连接AO并延长，交BC于点E．
(1)证明：点D是AB的中点．
(2)若点E是BC的中点，求∠APC的度数．
【题型三】圆的综合
【中考真题】
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC中，AB=42，D为AB中点，∠BAC=∠BCD，cs∠ADC=24，⊙O是△ACD的外接圆．
(1)求BC的长；
(2)求⊙O的半径．
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，MN为⊙O的直径，且MN=15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H．点A在MC上，点B在NC上，∠OND+∠AHM=90°．

(1)求证：MH⋅CH=AH⋅BH．
(2)求证：AC=BC．
(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN=35，求NG的长．
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB=4，PB=3．

(1)填空：∠PBA的度数是_________，PA的长为_________；
(2)求△ABC的面积；
(3)如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是AC上一点，AE=5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F,G，求EFFG的值．
4．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．

(1)如图1，当AB=6，BP⏜的长为π时，求BC的长．
(2)如图2，当AQAB=34，BP=PQ时，求BCCD的值．
(3)如图3，当sin∠BAQ=64，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出PQBP的值．
【模拟训练】
1．（2025·北京·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：DH是⊙O的切线；
(2)连接OH交DF于G，若HGOG=23，OA=1，求AF的值．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交成的锐角为60°．若AC=10,BD=8，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图②，是某公园的圆形空地，O为圆心，AB为⊙O直径，AB=200m，规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点D和点E，点G和点F分别关于AB对称，DF与GE交于点C，且DF⊥EG，四边形DEFG为牡丹园，设AC的长为xm，牡丹园DEFG的面积为Sm2．
①求S与x之间的函数关系式；
②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？
3．（2025·云南曲靖·二模）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，点D为AB的延长线上一点，连接CD，过点O作OE⊥AB交DC的延长线于点E，交AC于点P，CE=EP．
(1)若∠D=α，求∠APO（用含α的式子表示）；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)过点C作CH∥AB交OE于点H，作CF∥OE交AB于点F，若CF=4,OF=3，求PH的长．
4．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是ABC⏜的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG，∵M是ABC的中点，∴MA=MC，又∵∠A=∠C，∴△MAB≌△MCG，∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，∴BD=DG，∴AB+BD=CG+DG，即CD=DB+BA
(1)【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB=10,BC=16，点M是ABC的中点，MD⊥BC于点D，求BD的长；
(2)【变式探究】如图3，若点M是AC中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、BD、AB之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=12，⊙O的半径为10，求AD长．
5．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】
（1）如图①，点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为3，OA长度为5，根据PA≥OA−OP，得到点P到点A的最短距离为_____________；
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边BC，CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P．求点P到点C的最短距离．
【问题解决】
（3）如图③，某老小区有一个矩形ABCD活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在BC上取一点E，在AE上留一条小路与小路BD交于点F，并将AF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，FG与CD交于点H，连接AH，AH与BD交于点K，在△AKF处建一个人工湖，已知AB=400m，AD=300m，BD=500m．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的△AKF？若存在，求△AKF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
1）圆中角度定理都有一个大前提--在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的
1）遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线
①作同弧所对的两个圆周角；
②作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角；
③连接多个半径，构造等腰三角形.
2）圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明.
3）圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.
4）在同圆中，已知弧中点是最常见的给等弧的方式.
【基础模型】在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD与点E
图示：
模型结论：CE=DE，
【模型进阶】①AB过圆心O；②CD⊥AB；③AB平分CD（CD不是直径）④AB平分.
模型结论：若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称“知二得二”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：
1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE,弦长CD，拱高BE四个量知二推二.
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
1）熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给条件求得.
2）当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式
3）圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个.

1）求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．
1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.
2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”.
3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”.
4）运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度
1）如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，所以PA=PB，此外还一块得到以下结论：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；
2）切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．