第06讲 二次函数与实际问题（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

这是一份第06讲 二次函数与实际问题（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测，共173页。PPT课件主要包含了大考点，大重难突破，二次函数与实际问题，收集整理数据，拓展应用等内容，欢迎下载使用。
1大中考命题点 10题型探究
1）审：仔细审题，理清题意；2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
【典例1】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
答：至少需要购进B款纪念品200个；
求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边.
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【活动任务】【方案二】乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
【变式2】（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
【典例3】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元
(1)求花坛所在抛物线的函数表达式；
(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由．
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
判断货车能否安全通过隧道的方法:1）固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高(相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小).2）固定货车的高，看抛物线形的隧道是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小).
【典例5】（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
【变式1】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
（2）解：能安全通过，理由如下：如图，
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习
（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下：
(2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式；
(1)求最外层水柱所在抛物线的函数表灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒达式；
【变式2】（2025·山西晋城·三模）
球类运动与抛物线息息相关，如球的运动轨迹、速度变化等.因此可构建适当的函数模型，并运用抛物线的相关性质解决实际问题.
【典例7】（2025·江苏盐城·中考真题） ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
【典例7】（2025·江苏盐城·中考真题）
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
【典例7】（2025·江苏盐城·中考真题
【变式1】（2025·贵州·中考真题）
【变式2】（2025贵州省模拟）综合实践：怎样才能命中篮筐活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
(1)写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？(2)该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号)(3)在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？
(1)写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？
∴仔浩初次投篮时不能命中篮筐．
(2)该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号)
(3)在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？
【变式3】（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处
【变式3】（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
(3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
【典例8】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
解：【猜想】：描点，连线，画图：
【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
根据上述数据回答下列问题：(1)小球的速度最大时，弹簧的长度为_____ cm"，小球下落至最低点时，弹簧的长度为_____ cm；(2)求小球的速度y( cm /s )和弹簧被压缩的长度x(cm )(0≤x≤6)的函数表达式；(3)小航说：“当小球的速度为15/4 " cm"/"s" 时，弹簧被压缩的长度为3 cm．”请判断他的说法是否正确，并说明理由．
根据上述数据回答下列问题：(1)小球的速度最大时，弹簧的长度为 cm，小球下落至最低点时，弹簧的长度为 cm；
根据上述数据回答下列问题：(2)求小球的速度y( cm /s )和弹簧被压缩的长度x(cm )(0≤x≤6)的函数表达式；
根据上述数据回答下列问题：(3)小航说：“当小球的速度为15/4  cm/s 时，弹簧被压缩的长度为3 cm．”请判断他的说法是否正确，并说明理由．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
【模型应用】（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？（3）已知该演出主办方要求：①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【模型应用】（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
【变式1】（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【模型应用】（3）已知该演出主办方要求：①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【变式2】（2025·山西·中考真题）综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
【变式2】（2025·山西·中考真题）综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
【变式2】（2025·山西·中考真题）综合与实践
【变式3】（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
【典例1】（2025·广西·中考真题）
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】项目主题：无人机灌溉研究
变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】项目主题：无人机灌溉研究
【变式1】（2025东莞市一模）综合与实践【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化．
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分：为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
【解决问题】(1)直接写出y与x的关系式；
(2)现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
【变式1】（2025东莞市一模）综合与实践
【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
【建立模型】任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段AC的长度为_____cm；任务2：①求小球在粗糙轨道（射线CB对应部分）上运动时，速度v(cm⁄s )与时间t(s )之间的函数关系式．②求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线CB上）是否存在一节长为9.75"cm" 的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践
【建立模型】任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段AC的长度为_____cm；
任务2：①求小球在粗糙轨道（射线CB对应部分）上运动时，速度v(cm⁄s )与时间t(s )之间的函数关系式．
②求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．
【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线CB上）是否存在一节长为9.75cm 的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）
【变式3】（2025喀什地区三模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
(1)直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围）(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？(3)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
(3)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？