浙江省部分学校2025-2026学年高二下学期5月阶段性质量检测试卷数学试题（含答案）

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12.400 13.√2 + 1 14.[√2 ，
15【答案】(1)由射影定理知a = b . cOSC + c . cOSB，
∴B = …………………………………………………………………………………………5 分
∵锐角∆ABC，∴A ∈ ,
∴a + c ∈ (2√3 ，4]，
∴∆ABC周长的取值范围是(2√3 + 2 ，6].…………………………………………………13 分16【答案】(1)取AD中点M ，∆AEM中，AE = 3 ，AM BAD = 60，
∆ACD中，CM ⊥ AD，∴AD ⊥ 平面CME，
(2)作CH ⊥ AB于H，作DI ⊥ AB于I ，HC与ID所成角即为所求角，记为θ ,
_→ ___→ __→ __→ ___→ 2 ___→ 2 __→ 2 __→ 2 ___→ __→
∴AD ⊥ CE.……………………………………………………………………………………6 分_→ __→
CD = CH + HI + ID，平方得|CD | = |CH | + |HI | + |ID | + 2|CH | . |ID | . (__cOSθ)，其中 cOS
∴二面角C __ AB __ D的余弦值为 .…………………………………………………………15 分
17【答案】(1)由题意√(x __ 1)2 + y 2 = |x __ 4| . ，
两边平方得x2 __ 2x + 1 + y 2 = (x2 __ 8x + 16)，
化简得；………………………………………………………………………………4 分(2)(i)设lAB ：x = ky + 1(k ≠ 0)，设A(x1 ，y1) ，B (x2 ，y2)
与椭圆联立得(3k2 + 4)y 2 + 6ky __ 9 = 0 ，y1 + y2 = ，y1y2 = 线段AB的垂直平分线方程为y = __k
∴P的坐标为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
D
B
B
A
C
C
C
ABC
ABC
BD
设√k 2 + 1 = t ，t > 1
f (t) = ，f, (t) = < 0，∴f(t)单调递减，
∴SΔPAB ………………………………………………………………………………10 分(ii)若存在，由图形对称性知点Q在x轴上，
由相交弦定理知，|FA| . |FB| = |FQ| . |FP| ，Q在F右侧，
∴Q的坐标是(4 ，0)……………………………………………………………………………15 分
18【解析】(1) ，0 ， ； ………………………………………………………………………3 分
(2)设n次球之后，球在甲手中的概率是an，在乙手中的概率是bn，在丙手中的概率是1 __ an __ bn，
{a2k，化简得{a
∴an EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 13(数),是偶数)……………………………………………………………………13 分
(3)E (x) = Σ1 ai，
当n是偶数时，E
当n是奇数时，E ……………………………………………………17 分
19【答案】(1)设切点(a ，a3 __ 3alna) ，a > 0 ，f, (x) = 3x2 __ 3lnx __ 3， ∴切线斜率k = 3a2 __ 3lna __ 3，
∴切线方程是y = (3a2 __ 3lna __ 3)(x __ a) + a3 __ 3alna，
(0 ，√2)代入化简得2a3 __ 3a + √2 = 0，即
∴a ln……………………………………………………………………4 分(2)x 3 __ 3xlnx = kx + m，
法一：参变分离得k = x 2 __ 3lnx ，记g(x) = x 2 __ 3lnx __ ，即求m的最小值，使得g(x)在定义域内单调且值域为R
分子记为h(x) = 2x3 __ 3x + m，在单调递减，单调递增，
∴h(x) ∈ [m __√2 ，+∞)，∴m的最小值为√2，
此时g, (x) ≥ 0即g(x)单调递增，且 即g的值域为R
法二：参变分离得m = x 3 __ 3xlnx __ kx，记A(x) = x 3 __ 3xlnx __ kx，即对于任意实数k，求A(x)中x与y一一对应的值域
A, (x) = 3x2 __ 3lnx __ 3 __ k在(0 ， 单调递减，单调递增，
当k ln时，A (x)单调递增，值域为R，此时m ∈ R；
当k > ln2 __ 时，设A, (x) = 3x2 __ 3lnx __ 3 __ k的两个零点为x1 ，x2 (x1 < x2)
∴A(x)在(0 ，x1)单调递增，(x1 ，x2)单调递减，(x2 ， + ∞)单调递增∴m > A (x1)恒成立或者m < A(x2)恒成立
A (x1) = __2xEQ \* jc3 \* hps15 \\al(\s\up 4(3),1) + 3x1 ∈ (0 ，√2)，∴m ≥ √2
A (x2) = __2xEQ \* jc3 \* hps15 \\al(\s\up 4(3),2) + 3x2 ∈ (__ ∞, √2) ，m无解
综上，m ≥√2………………………………………………………………………………10 分
(3)∵lnx ≤ √2 (x __ + ln ，∴g(x) ≥ x 3 __ 3√2x 2 + (3 + ) x
令x 解得x 另一方面，lnx lnln ln，
即__lnx ≤ __ √2) + ln√2 ， ∴g(x) ≤ x 3 + x + ，
令x 解得x
∴x3 __ x……………………………………………………………………17 分