2025-2026学年山西省阳泉市第二中学等校高一（下）期中数学试卷

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1.化简=（ ）
A. B. 0C. D.
2.已知向量与的夹角为，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
3.复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（ ）.
A. 60°B. 60°或120°C. 30°D. 30°或150°
5.已知圆柱的底面半径为1，体积为3π，则该圆柱的侧面积为（ ）
A. πB. 2πC. 3πD. 6π
6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，4sinA-3sinB=0，则csA=（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，，点E是CD的中点.设，，则=（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A. 复数z的虚部等于-2iB.
C. D. 若a是实数，z+a是纯虚数，则a=1
10.已知向量=（1，-2），=（-1，m），则（ ）
A. 若与垂直，则m=-1B. 若∥，则的值为-5
C. 若m=1，则|-|=D. 若m=-2，则与的夹角为60°
11.在△ABC中，若（a-ccsB）sinB=（b-ccsA）sinA，则△ABC的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为35π，则该圆台的体积为 .
13.已知，，，则向量在方向上的投影向量为 .
14.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知||=4，||=8，与的夹角是120°．
（1）计算|4-2|；
（2）当k为何值时，（+2）⊥（k-）？
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,满足.
（1）求角A；
（2）若，b=2，求边c及△ABC的面积；
17.(本小题15分)
如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点.
（1）求证：BD1∥平面AMC；
（2）若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面BND1.
18.(本小题17分)
在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知.
（1）求角B的值；
（2）若a：b=tanA：tanB，判断△ABC的形状；
（3）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC的面积S的取值范围.
19.(本小题17分)
如图所示正四棱锥S-ABCD，SA=SB=SC=SD=2，AB=，P为侧棱SD上的点.且SP=3PD，求：
（1）正四棱锥S-ABCD的表面积；
（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】CD
10.【答案】BC
11.【答案】AC
12.【答案】52π
13.【答案】
14.【答案】6π
15.【答案】解：由已知，=4×8×（-）=-16．
（1）∵|4a-2b|2=16a2-16a•b+4b2
=16×16-16×（-16）+4×64
=3×162
∴||=16．
（2）若（）⊥（k），则（）•（k）=0，
∴k+（2k-1）-2=0．
16k-16（2k-1）-2×64=0，
∴k=-7．
16.【答案】；
3；．
17.【答案】证明：（1）设AC∩BD=O，连接OM，

∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，
∴O是BD中点，∵M是DD1的中点，
∴OM∥BD1，
∵BD1⊄平面AMC，OM⊂平面AMC，
∴BD1∥平面AMC；
（2）∵N为CC1的中点，M为DD1的中点，
∴CN∥D1M，
∴CN=D1M，
∴四边形CND1M为平行四边形，
∴D1N∥CM，
又∵MC⊂平面AMC，
∵D1N⊄平面AMC，
∴D1N∥平面AMC，
由（1）知BD1∥平面AMC，
∵BD1∩D1N=D1，BD1⊂平面BND1，D1N⊂平面BND1，
∴平面AMC∥平面BND1．
18.【答案】解：（1）由题意，，
由正弦定理得，
即（a-b）（a+b）=c（a-c），
整理得a2+c2-b2=ac,
由余弦定理得，
因为0°＜B＜180°，
所以B=60°；
（2）由a：b=tanA：tanB及正弦定理，
可得，
即csA=csB，
由A，B为三角形内角，可知A=B，
又B=60°，
所以△ABC为等边三角形；
（3）因为A+C=120°，c=2，
由正弦定理，得，
所以，
因为△ABC为锐角三角形，则30°＜C＜90°，
从而，
所以．
19.【答案】 在侧棱SC存在点E，使得BE∥平面PAC，