2025-2026学年河南省郑州市二七区树人外国语学校八年级（下）第一次月考数学试卷

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1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若m＞n,则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. 2m＞2nB. C. m+3＞n+3D. am＞an
3.已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A. ③④①②B. ③④②①C. ①②③④D. ④③①②
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为（ ）
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
6.如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A. 18
B. 20
C. 28
D. 36
7.政务区银泰百货商场促销，真真将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为x元，真真妈妈根据信息列出了不等式0.8（2x-150）＜1200，那么真真告诉妈妈的信息是（ ）
A. 买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不超过1200元
B. 买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不超过1200元
C. 买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不到1200元
D. 买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不到1200元
8.如图，一次函数y=kx+b与y=-2x+1的图象相交于点P（a,3），则下列说法错误的是（ ）
A. k＞0
B. b＞0
C. 关于x的方程kx+b=3的解是x=-1
D. 关于x的不等式kx+b＜-2x+1的解集是x＜3
9.如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.命题“如果a=b，那么|a|=|b|”的逆命题是 （填“真命题“或“假命题”）．
12.如图，在△ABC中，∠CAB=72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的度数为 ．
​​​​​​​
13.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=50°，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，求∠EAF的度数______．
14.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
15.如图，等边△ABC中，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG=120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，则下列四个结论：
①OD=OE；
②BD=CE；​​​​​​​
③S△ODE=S△BDE；
④四边形ODBE的面积是个定值．
其中正确的是 （写出序号）．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.解不等式组：，并写出所有的整数解.
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）2（1+x）＜3；
（2）≥.
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△ABC的顶点坐标分别为A（-3，2），B（0，4），C（0，2）.
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°得到△A1B1C，请画出△A1B1C；
（2）平移△A1B1C，使点A的对应点A2的坐标为（-3，-4），请画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若△ABC绕某一点P旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标.
19.(本小题8分)
如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
​（1）求证：EF=BC；
（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数.
20.(本小题9分)
如图，已知函数＝2x+b和＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
21.(本小题9分)
某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费88元．
（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；
（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
22.(本小题8分)
【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB=12，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是______．
A．SAS B．SSS C．AAS D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=4，EC=3，求线段BF的长．
【灵活运用】
如图③，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】假命题
12.【答案】36°
13.【答案】23°
14.【答案】a≥1
15.【答案】①②④
16.【答案】-2≤x＜3，整数解为-2，-1，0，1，2．
17.【答案】x＜ x≤8
18.【答案】见解答；
见解答；
（-3，-1）．
19.【答案】（1）证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF=BC；
（2）解：∵AB=AE，∠ABC=65°，
∴∠BAE=180°-65°×2=50°，
∴∠FAG=∠BAE=50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=28°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．
20.【答案】解：（1）∵将点P （-2，-5）代入y1=2x+b，
得-5=2×（-2）+b，
解得b=-1，
将点P （-2，-5）代入y2=ax-3，
得-5=a×（-2）-3，
解得a=1，
∴这两个函数的解析式分别为y1=2x-1和y2=x-3；
（2）∵在y1=2x-1中，令y1=0，得x=，
∴A（，0）．
∵在y2=x-3中，令y2=0，得x=3，
∴B（3，0）．
∴AB=3-=，
∴S△ABP=AB×5=××5=．
（3）由函数图象可知，​​​​​​​当x＜-2时，函数＝2x+b的图象在＝ax﹣3的图象的下方，
即当x＜-2时，2x+b＜ax-3．
​​​​​​​故不等式2x+b＜ax﹣3的解集是x＜-2.
21.【答案】解：（1）设购进A品牌文具袋的单价为x元，B品牌文具袋的单价为y元，
，得
答：购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；
（2）①由题意可得，
w=（12-8）x+（23-16）（100-x）=-3x+700，
即w关于x的函数关系式为w=-3x+700；
②∵所获利润不低于进货价格的45%，
∴-3x+700≥[8x+16（100-x）]×45%，
解得，x≥33，
∵x为整数，w=-3x+700，
∴当x=34时，w取得最大值，此时w=598，100-x=66，
答：购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最大利润是598元．
22.【答案】【问题情境】
解：（1）在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选：A；
（2）由（1）得：△ADC≌△EDB，
∴AC=BE=6，AD=DE,
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
即12-6＜2AD＜12+6，
∴3＜AD＜9，
故答案为：3＜AD＜9；
【初步运用】
解：延长AD到M，使AD=DM，连接BM，如图②所示：
∵AE=EF．EF=4，
∴AC=AE+EC=4+3=7，
∵AD是△ABC中线，
∴CD=BD，
∵在△ADC和△MDB中，，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM=AC，∠CAD=∠M，
∵AE=EF，∴∠CAD=∠AFE，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠BFD=∠CAD=∠M，
∴BF=BM=AC=7；
【灵活运用】
解：线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2=EF2．理由如下​：
延长ED到点G，使DG=ED，连结GF，GC，如图③所示：
∵ED⊥DF，
∴EF=GF，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG，
∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵△DBE≌△DCG，
∴BE=CG，∠B=∠GCD，
∴∠GCD+∠ACB=90°，
即∠GCF=90°，
∴Rt△CFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2，
∴BE2+CF2=EF2．