初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）2.1 锐角的正弦和余弦课文内容课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）2.1 锐角的正弦和余弦课文内容课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了学习目标，正弦的概念，合作探究，于是AC4，A30，正弦的简单应用，BCck，ACch，特殊角的正弦值，解原式等内容，欢迎下载使用。
1. 理解并掌握锐角三角函数中正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点)2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点)
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使 出水口的高度达到 35 m，需要准备多 长的水管？
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB.
根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”，可知∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则 成立吗？为什么？
因为∠A =∠D = α，∠C =∠F = 90°，
所以△ABC∽△DEF，
在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
这就证明了下面的命题：
如图，在 直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫作∠A 的正弦，记作 sin A ，即
例如，当∠A ＝30° 时，由前面的分析可知
(2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16.
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5. （1）求 sin A 的值；（2）求 sin B 的值.
解：(1)∠A 的对边 BC = 3，斜边 AB = 5，于是
1. 如图，判断对错：
sin A = 0.6 ( )
sin B = 0.8 ( )
2. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值 ( ) A. 扩大 100 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定
例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．
在 Rt△APO 中，由勾股定理得
方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
3. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于 ( )
A. B.C. D.
提示：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积.
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，AB = c，则
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，BC = a，则
4. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sin A = ，AB = 6， 那么 BC =_____.
例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
解：由 sin A = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm.
即 24x = 24，解得 x = 1.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
∴ △ABC 的周长为 BC + AC + AB = 7 + 24 + 25 = 56 (cm).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.
问题1：如何求 sin 60° 的值？
如图，画一个 Rt△ABC，使∠B = 90°，∠B = 60°，则∠A = 30°，从而 .
根据勾股定理得 AC2 = AB2 - BC2 = AB2 -
问题2：如何求 sin 45° 的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 45°.
于是∠B = 45°.
从而 AC = BC．
根据勾股定理，得AB2 = AC2 + BC2 = BC2 + BC2 = 2BC2.
于是 AB= BC.
30°、45°、60° 角的正弦值如下表：
例5 计算：sin230°－ sin45°＋sin260°
通常我们把 (sin30°)2 简记为sin230°
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定
2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sin A 的值为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 △ABC 的面积.
解：作 BD⊥AC 于点 D． ∵ sin A = ，
又∵ AB = AC，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6，∴ S△ABC = AC · BD÷2 = 12.
6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示?
解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°． ∴∠ACD = ∠B = 90°－∠A．
(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.
解： 由 (1) 知，