中考数学一轮复习 难点与新考法06 关于二次函数系数、几何变换、最值等问题 练习（2份，原卷版+解析版）

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题型一：关于二次函数系数a、b、c的结论判断问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确．
【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意；
②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意；
③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意；
综上所述，①②③结论正确，符合题意．
故选：D．
【变式1-1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.
【详解】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，
∴，
故③正确；
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
【变式1-2】难点判断需变形的关于a、b、c的关系式
（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴,
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在、0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
∵抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
∴．故④错误．
综上，①③正确，共2个．
故选：B．
【变式1-3】难点引入其他参数的相关结论判断
（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
∵、是抛物线上不同的两个点，
∴关于对称，
∴即故④不正确
正确的有②③
故选：B
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．(为任意实数)
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键；
由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D．
【详解】解：A、抛物线开口往下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
抛物线的与x轴的交点是：和1,0
∴对称轴为，
，
，
，故选项A错误．
∵，
∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）．
，，
∴，故选项C错误．
抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
当时，函数值最大为，
当时，，
，
，故选项D正确．
故选：D．
2．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：观察图象，可知，
∴，故①符合题意；
∵该抛物线的对称轴为直线，，
∴，，
∴点，点，
∴当时，，即，故②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，即，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③符合题意；
当时，函数有最大值，
由，可得，
若m为任意实数，则，故④不符合题意，
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
3．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点，对称轴为直线x=2．则下列结论正确的有（ ）
①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点Px1,y1和Qx2,y2，若且，则
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线，时，，
时，，
，故②正确；
由可得方程的解，，
抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
抛物线与轴另一个交点为，
方程的两个根为，6，
，，
，
而若方程的两个根为，，
则，，故③错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，
则点到对称轴的距离小于到直线的距离，
，故④错误．
故选：D．
4．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间；②；③；④关于x的一元二次方程有实数根．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性，掌握二次函数的图象及性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．根据二次函数的对称性可判断①，根据该抛物线与x轴的另一个交点在点和，并结合图像可知，当时，，可判断②，根据抛物线的顶点坐标为，可得抛物线与直线有唯一一个交点，进而可得方程有两个相等的实数根，由可判断③，由抛物线顶点坐标得到，即可得到直线与抛物线没交点，即一元二次方程没实数根，进而可得判断④．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与x轴的一个交点在点和之间，
该抛物线与x轴的另一个交点在点和，故①不符合题意；
该抛物线与x轴的另一个交点在点和，
当时，，故②符合题意；
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与直线有唯一一个交点，
方程有两个相等的实数根，
，
，故③符合题意；
抛物线的开口向下，顶点坐标为，
，
直线与抛物线没有交点，
一元二次方程没有实数根，故④不符合题意；
综上所述，正确的结论是②③，
故选：．
5．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.故①错误；
对称轴是直线，点和点都在抛物线上，
而，
.故②错误；
当时，，
当时，函数取最大值，
∴对于任意实数有：
，
∴，故③正确；
，
.
当时，，
.
，即，
故④正确.
综上所述，正确的有③④.
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.
6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④．
【详解】解：∵抛物线的图象经过点，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的图象交x轴于点、，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，
∴；
∵、，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
当时，则由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）；
同理当时，可得；
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；
当时，，则，
如图所示，取点，连接，则，

∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，由勾股定理得，故④正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
7．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤；
【详解】解：①抛物线开口向上，，，
∴当时，，故①不符合题意；
②∵抛物线过点，
∴函数的最小值，
∴有两个不相等的实数根；
∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；
③∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合题意；
④∵抛物线过点，
∴，
∵x=−1时，，
即，
当时，，
∴，
∴，
∴，故④符合题意；
⑤∵，，
∴，
由根与系数的关系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合题意；
故选：C．
8．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数a、b、c所满足的关系，结合不等式的性质逐个进行判断即可．
【详解】解：①∵由抛物线的开口向下，
，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即．
，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
，
，
∴①正确；
②如图，当时，，
∴②正确；
③对称轴为，即，
，
，即，
∴③错误；
④当时，，
又，
，即．
∴④正确，
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
9．（2024·湖北·模拟预测）抛物线，对称轴为．下列说法：①一元二次方程有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式恒成立；③抛物线经过点；④若，且，则．正确的有 （填序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题的关键．
①根据二次函数对称轴是直线得出并结合条件得出，然后通过判断一元二次方程的符号解答即可；②通过分解因式得出，利用 解答；③把代入解答即可；④通过对分解因式得出结合条件判断即可．
【详解】∵中，对称轴为，
，
，
，
，
一元二次方程中，，
，
，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故①正确；

，
，
，故②错误；
，
，
把代入 得，
∴抛物线经过点，故③正确；
，
，

，
，
，
，故④正确；
∴正确的有①③④，
故答案为：①③④．
10．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
∴，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
∴，
当时，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴
由图象可得：当时，，
∴，即，故②正确，符合题意；
③∵直线是抛物线的对称轴，
设两点横坐标与对称轴的距离为，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴，故③错误，不符合题意；
④如图，
∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④
题型二：二次函数与一元二次方程关系
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为，依题意，，根据题意抛物线开口向下，当时，，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解．
【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为
依题意，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，，即
∴，故A选项正确，符合题意；
若对称轴为，即，
而，不能得出对称轴为直线，
故B选项不正确，不符合题意；
∵抛物线与坐标轴有2个交点，
∴方程有两个不等实数解，即，又
∴，故C选项错误，不符合题意；
无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
【变式2-1】（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】
【分析】由题意得，根据可以判断；令求出，，由可以判断；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断，利用两点间的距离可以判断．
【详解】解：由题意得，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∴与交点为，故正确，
当时，，解得，
∴，
当时，，解得，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则有：，
∵，
∴，故正确；
∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），
∴，，
解得：或，或，
由得，
∴，
当时，，或当时，，
∴，故错误；
由得：，解得，
∵在的左侧，在的左侧，
∴，，，，
∵，
∴，整理得：，
∴，
∴由对称性可知：，两点关于对称，故正确；
综上可知：正确，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式2-2】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
(1)求的值；
(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
∴．
【变式2-3】难点二次函数图象与 y=m 的交点问题
（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可；
（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大；
Ⅱ：问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；当，，故当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点，当或时，抛物线与直线在时没有交点，即方程无解；
Ⅲ： 可求点P、Q关于直线对称，当，，当时，，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，故①当，由题意得：，则；②当，由题意得：，则，综上：或．
【详解】（1）解：∵，
∴将，代入，
得：，
解得：，
∵，
∴将，代入
得：，
解得：；
（2）解：Ⅰ，∵，
∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为：
当时，，对称为直线，开口向上，
∴时，y随着x的增大而增大；
当时，，，
∴时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：或；
Ⅱ，∵，
∴，在时无解，
∴问题转化为抛物线与直线在时无交点，
∵对于，当时，
∴顶点为，如图：
∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点，
∴当时，抛物线与直线在时没有交点；
当，，
∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点，
∴当时，抛物线与直线在时没有交点，
∴当或时，抛物线与直线在时没有交点，
即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解；
Ⅲ：∵，
∴，
∴点P、Q关于直线对称，
当，，当时，，
∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，
∴①当，如图：
由题意得：，
∴；
②当，如图：
由题意得：，
∴，
综上：或．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．
【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示：
∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，
∴，，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∵抛物线的顶点为，
∴，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
2．（2024·山西大同·模拟预测）已知，若关于x的方程 的解为，关于x的方程 的解为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，
∵，若关于的方程的解为，关于的方程的解为，
∴，，，分别是的横坐标，
∴根据图象可知：，
故选：．
3．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数是常数且的图象与x轴的交点坐标是，当时，，当时，，则（ ）
A．至少有一个大于B．都小于
C．至少有一个小于D．都大于
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
设抛物线的交点式，表示出p和q，进而求出，进而求解．
【详解】解：令，
从而，
，
，
，
(使等号无法取到)，
因此至少有一个小于．
故选：C．
4．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（ ）
A．方程有3个根，则
B．
C．关于的一元二次方程的两根为，，且，则
D．抛物线的顶点坐标为
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点．
把点C的坐标代入中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断D选项．根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断B选项．方程的解，是抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质即可判断C选项．画出函数的图象，根据数形结合的思想即可判断A选项．
【详解】解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线为，即，
∴抛物线的顶点坐标为．故D选项正确；
把代入函数中，得，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵抛物线的开口向上，
且抛物线上的两点，中，，
结合的图象知，，
∴．故B选项正确；
将抛物线向下平移m个单位长度，得到，
该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在点的右侧，
∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确．
∵方程有3个根，
∴函数的图象与直线有3个交点，
∵函数的图象与x轴的交点为，，
如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即
此时把点代入函数中，得到，
解得，
当时，，
如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点
∴对于方程可化为，即，
∴，
解得，
综上所述，或．故A选项错误．
故选：A．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）如图，已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线，A点坐标为，若此抛物线又与直线交于两点，且为正三角形，则可求得此抛物线与轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据抛物线顶点，A点坐标为可设二次函数的解析式为，设，，，则，过点A作，则，，根据为正三角形，得，根据A点坐标为得，抛物线的解析式为，将点代入计算得，则，当时，进行计算即可得；掌握二次函数的图象与性质时解题的关键．
【详解】解：∵抛物线顶点，A点坐标为，
∴可设二次函数的解析式为，
设，，，
∴，
如图所示，过点A作，
则，，
∵为正三角形，
∴，
∵A点坐标为，
∴，
∵抛物线的解析式为，将点代入得，
，
，
∴，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
故答案为：．
6．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程求出，，，坐标．
根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据正方形得到列出关于的方程，解方程求出的值．
【详解】解：抛物线的顶点为点，
，
抛物线与轴分别交于点，（点在点左侧），
，抛物线开口向上，
当时，，
整理得：，
解得，
点在点左侧，
，，
，
抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为，
，
，
∵四边形是正方形，
∴，
则，
，
经检验，是方程的解，也符合题意，
故答案为：．
7．（2024·浙江宁波·二模）二次函数 与坐标轴的交点个数为 个．
【答案】1
【分析】本题考查的是抛物线和坐标轴的交点，分与轴和轴有无交点讨论求解即可．
【详解】解：函数与轴交点： 令，则，故与轴交于一个点0,3；
与轴交点：令，则，此时，方程无解，故与 轴无交点，
综上，二次函数与坐标轴只有一个交点．
故答案为：1．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有 （填正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，对称性求出对称轴判断①，无法确定的符号，判断②，根据对称性确定抛物线与轴的另一个交点的位置判断③；设直线的解析式为，当时，联立抛物线，根据直线与抛物线只有一个交点，得到判别式为0，进行求解，当时，分析是否满足题意即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴对称轴为直线；故①正确；
无法确定的符号，故②错误；
若两点在抛物线上，且，则抛物线与轴的一个交点的横坐标的范围为，
∵对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标的范围为：，
∴方程有一根满足；故③正确；
设过点的直线的解析式为：，
当时，令，
整理，得：，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得：，
∴，
当时，，
∵，
∴当时，，
∴与只有一个交点，满足题意，
综上：过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，故④正确；
故答案为：①③④．
9．（2024·湖南·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的“零点”．
(1)请完成以下两个小题：
①下列函数中，是“零点函数”的为（ ）
A． B． C．
②请写出下列函数的“零点”：一次函数的“零点”是 ，二次函数的“零点”是 ；
(2)已知二次函是“零点函数”（a，b，c是常数，）．
①若，函数的“零点”是，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式；
②若一次函数与二次函数相交于点和，“零点函数”满足下列条件：①，②，试确定线段长度的取值范围．
【答案】(1)①A②，；
(2)①或②
【分析】（1）①根据“零点函数”的定义进行逐项分析，即可作答；
②结合“零点”的定义进行分析，即可作答；
（2）①先得出，因为函数的“零点”是，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，则，得，因为，所以，得，因为与y轴的交点在正半轴上，得，则，故或；
②先得，则因为，所以，再结合，即，整理，因为一次函数与二次函数相交于点和， ，把，分别代入化简得，再令，则，令，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：①A选项：依题意，令，则，
∴；
∴函数与x轴的交点坐标是，即函数是“零点函数”，是该函数的“零点”；
B选项：令，则，方程无解，
∴函数不是“零点函数”；
C选项：令，则，
∴，
此时方程无解，
∴函数不是“零点函数”；
故选：A．
②依题意，令，则，
∴；
∴一次函数与x轴的交点坐标是，
∴一次函数的“零点”是；
令，则，
∴；
∴二次函数的“零点”是；
故答案为：，；
（2）解：①依题意，把代入，得出，
∵函数的“零点”是，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，
∴，
则，
∴，
∵是函数的“零点”，
∴
即，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴，
则，
∴
∴或；
②∵一次函数与二次函数相交于点和，
∴，
则，
整理得，
∴
∵“零点函数”满足，
∴，
∵，
∴，
则，
即，
即，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数与二次函数相交于点和，
∴
∴
依题意，
，
∵
∴，
∵，
∴，
令，则，
∵，
∴，
令，
∵，
∴开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左边时，随的增大而减小，
则把代入，
解得，
把代入，
解得，
∴在中，的最大值为，最小值为，
∴，，
则，，
∴线段长度的取值范围为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的图象性质，两点间的距离公式，完全平方公式，平方差公式，一次函数与二次函数的综合，新定义，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，作出图象，结合二次函数图象与性质，由得到、和，解不等式即可得到的取值范围；
（2）根据题意，由一元二次方程根与系数关系得到，从而求出新抛物线的表达式，作出图象，数形结合，可知，当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，求出此时的值；当直线与抛物线只有一个交点，求出此时的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的开口向上，点 和点 是该抛物线与轴的交点，，如图所示：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，的取值范围为；
（2）解：令，则，
由一元二次方程根与系数关系可得，
，
，解得，
，则，即，
解得或，
抛物线与轴的交点为，
现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，如图所示：
抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折后得到的抛物线表达式为，
根据抛物线关于轴对称时，，则此时抛物线的表达式为，
当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，
将代入，解得；
联立方程组 ，消去得，
将直线向上平移，根据直线与新抛物线恰好有3个交点，
直线与抛物线只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，解得，则，
，
综上所述，当直线与新得到的函数图象至少有三个交点时，的取值范围为 ．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线的图象与性质、由函数图象确定值符号解不等式、抛物线与坐标轴交点、一元二次方程根与系数关系、直线与抛物线交点问题、一元二次方程根的情况求参数等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
题型三：二次函数图像的平移
【中考母题学方法】
【典例3】（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围．
此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得，
∵与x轴有公共点，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
【变式3-1】（2024·福建泉州·模拟预测）二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧），平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ．
【答案】2或6
【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与性质，由题意先求出，再求出，根据对称性表示出点E坐标并代入表达式计算即可，注意分情况讨论．
【详解】解：由题意，令，
，
，
将该图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧），
，
由题意得，平移前后的函数图象相交于点，若，
当点E在x轴上方时，如下图：
由对称性得：，
点纵坐标为，横坐标为，
点在二次函数的图象上，
，
解得：（不合题意舍去）；
当点E在x轴下方时，
同理：点纵坐标为，
，
解得：（不合题意舍去）；
故答案为：2或6．
【变式3-2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值为：
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵的对称轴为直线，而，
∴函数最小值为：，
当时，，
当时，，
∴函数值的范围为：；
（3）解：∵，
当时，，
∴，
当时，
解得：，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，
∴，
∴直线为，
∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为，
∴，
∴在直线上，
如图，过作于，连接，过作于，
∵，，
∴，，
∵对称轴与轴平行，
∴，
∴，
∴，
由抛物线的对称性可得：，，
∴，
当三点共线时取等号，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式3-3】难点将抛物线沿斜直线平移转化为2次沿坐标轴平移
（2024·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将沿轴水平向右平移，平移过程中当点再次落在抛物线上的位置记作，求的坐标和的值；
(3)动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
【答案】(1)
(2)，
(3)，最小值
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出，，证明是等腰直角三角形，得出，把代入求出，，得出，过点作于，连接，求出，得出，根据三角函数的定义求出．
（3）过点作轴，垂足为，求出，求出，根据二次函数的性质，求出结果即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
则，
解得：，
抛物线表达式为；
（2）解：在中令，得，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴，
把代入得：
，
解得：，，
，
过点作于，连接，如图所示：
，
解得，
∵，
∴，
．
（3）解：如图，过点作轴，垂足为，
则是等腰直角三角形，由题意可知，
，即，
又，
，
，
当、其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
∴，
即
，
当时，四边形的面积取得最小值．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求角的正切值，勾股定理，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合，作出辅助线．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，先配方得到，然后由沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位即可得到新解析式为，熟练掌握抛物线的平移规律：左加右减，上加下减是解决此题的关键．
【详解】∵，
又∵抛物线沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，
∴平移后得新抛物线解析式为，
故选：D．
2．（2024·云南曲靖·一模）将抛物线平移得到，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
的顶点坐标为，
抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到．
故选：B．
3．（2024·广东惠州·模拟预测）函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为，
故答案为：．
4.（2024·贵州贵阳·一模）二次函数 的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最短距离为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及勾股定理，先把的顶点坐标找出来，即，再结合经过平移，其顶点恰好为坐标原点，得出平移的最短距离为，即可作答．
【详解】∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为
∵平移后图象的顶点恰好为坐标原点，
∴平移的最短距离为
故答案为：5
5．（2024·湖南·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线(a，b，c为常数，且)与x轴交于，B两点，与y轴交于点C0,−3，且抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作轴，垂足为M，交直线于点N．若的面积为，试求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新的抛物线，如图2，点E为新抛物线上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
(3)存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线的函数解析式为，根据题意得到也是等腰直角三角形，由，求出，进而得到，即可求出答案；
（3）根据平移法则得到抛物线的解析式为，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将点，C0,−3分别代入，
得，
解得．
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）可得点B的坐标为．
由点，C0,−3可求得直线的函数解析式为．
∵，，
∴是等腰直角三角形．
又∵轴，
∴也是等腰直角三角形，
∴．
∵的面积为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，即点M的坐标为，
∴点P的横坐标为，
∴点P的纵坐标为，
∴点P的坐标为．
（3）解：存在．理由如下：
∵点，点C0,−3，
∴，，
∴．
∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，
∴抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当为对角线时，如图1，
∴，解得，
此时点E的坐标为．
②当为对角线时，如图2，
∴，解得，
此时点E的坐标为；
③当为对角线时，如图3，
∴，解得，
此时点E的坐标为．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解答是解题的关键．
6．（2024·重庆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数，），与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线于点F，过点P作，垂足为D．求周长的最大值以及此时点P的坐标；
(3)将抛物线（a，b是常数，），沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)时，的周长有最大值，最大值为，
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，则，则，，，求出，，，由，得到， 求出，由，得出，进一步得到的周长，利用函数的性质求解即可；
（3）由，得到，可设将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线；连接交x轴于点D，过点C作轴的平行线交抛物线于点F，求出直线的解析式，联立抛物线与直线分别求解即可．
【详解】（1）解：将点和点代入，
得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；
（2）解：抛物线的函数表达式为：，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为：，
，
当时，的周长有最大值，最大值为，
此时，；
（3）解：，
，
将抛物线（a，b是常数，），沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
设抛物线向右平移n个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线，
，
解得：或（舍去），
抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线，
；
连接交x轴于点D，过点C作轴的平行线交抛物线于点F，
，，
，
，即，
，
，
，
，
或，
当时，点D与点B重合，
，
，
（与题意矛盾）
（舍去）；
当时，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立抛物线与直线得：，
解得：或，
此时，点的坐标为或；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，等腰三角形的性质，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
7．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A−4,0，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新到抛物线，新抛物线与直线交于点，（在的左侧），是新抛物线上一动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时，点的坐标为
(3)或
【分析】（1）将A−4,0，代入，利用待定系数法即可求解；
（2）由，可知，根据A−4,0，，求得直线的解析式为，可知，，过点作，可知，，求得，过点作，交于，进而可知，再证，可证得，得，设，则，可知，进而求得，结合二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移得新到抛物线，求得，，得，在上取，证，进而可知，分两种情况：在下方取，且轴，根据，可知在直线与抛物线的交点即为点，再证，求得，得直线的解析式为，联立抛物线与直线可得即可求得；在上方取，且轴，同理，可求得．
【详解】（1）解：将A−4,0，代入，
可得，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）对于，当时，或，
∴，
设直线的解析式为，将A−4,0，代入其中，
得，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A−4,0，，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∵，则，
∴，
过点作，则，，
则为等腰直角三角形，
∴，则，
过点作，交于，则，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时，点的坐标为，
综上，的最大值为，此时，点的坐标为；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新到抛物线，
即：将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，
得新到抛物线，
联立抛物线与直线可得：，
解得：或，即：，，
∴，
∵A−4,0，，
∴，即，
在上取，
∵，，
∴，
∴，
则，
在下方取，且轴，
∵，
∴在直线与抛物线的交点即为点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将，代入其中，
可得，解得：，
∴直线的解析式为，
联立抛物线与直线可得：，解得：或，
此时；
在上方取，且轴，
同理，可求得；
综上：点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数与线段的综合问题，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，分类讨论是解题关键．
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点坐标为，，补图见解析
(3)、、、
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据平行线的性质可得，求得，进而分别求得，，根据可得，设直线交轴于点，则，．进而可得，的解析式为，，连接交抛物线于，连接交抛物线于，进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解．
（3）①以BD为对角线，如图作BD的垂直平分线交BD于点交直线于，设，根据两点距离公式可得，根据中点坐标公式可得，②以BD为边，如图以为圆心，BD为半径画圆交直线于点，；连接，，根据勾股定理求得，进而得出，，根据平移的性质得出，，③以BD为边，如图以点为圆心，BD长为半径画圆交直线于点和，连接，，则，过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，则、，根据，可得，过点作，过作，和相交于点，的中点．根据中点坐标公式可得；
【详解】（1）解：∵把点，代入得
，
解得，
∴．
（2）存在．
理由：∵轴且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
过点作于点，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
设直线交轴于点，
，，
∴，．
连接交抛物线于，连接交抛物线于，
∴，的解析式为，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
综上所述，满足条件的点坐标为，．
（3）、、、．
方法一：
①以BD为对角线，如图作BD的垂直平分线交BD于点交直线于
∵，D1,4，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
．
②以BD为边
如图以为圆心，BD为半径画圆交直线于点，；连接，，
过点作，过点作，和相交于点，同理可得
，D1,4，
，
．
过点作直线于点，则；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
，，
③以BD为边
如图以点为圆心，BD长为半径画圆交直线于点和，
连接，，则，
过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三点共线，
过点作，过作，
和相交于点，
∵、，
的中点．
D1,4，点为的中点，
．
综上所述：、、、．
9．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，， 两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接，过点作交于点，求线段长的最大值及此时的坐标；
(3)在（）中线段长取得最大值的条件下，过点作的平行线，交轴于点，将该抛物线向左平移个单位长度，再向上平移 个单位得到抛物线，点为上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，将线段沿直线翻折得到线段，当点在轴上时，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)，
(3)或，过程见解析
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（2）由得，，设直线的解析式为，把、代入得到直线的解析式：，过点作直线的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，的长最大，由，得到，平行线的解析式为，与抛物线联立，得到，设直线的解析式为，把、代入，得到直线的解析式：，由，
设直线的解析式为，把代入得，直线的解析式为，与直线的解析式联立得到，根据两点间距离公式，即可求解，
（3）由（2）得，解析式为，，由，根据平移变换得到，根据翻折的性质得，作，轴，根据角平分线的性质得到，由轴，，得到，，即：，设，则，，，，代入，解得：或或，依次得到点坐标，长度，长度，长度，即可求解，
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由得，，
设直线的解析式为，把、代入得，，解得：，
∴直线的解析式为，
过点作直线的平行线，设平行线的解析式为，
当直线与抛物线只有一个交点时，的长最大，
由得，，
∵，
∴，
∴平行线的解析式为，
由，解得，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
由，解得，
∴，
∴，
故答案为：，，
（3）解：由（2）得，解析式为，
∴，
∵，
根据题意得，
当点在轴上时，由翻折的性质可得，
作，垂足为点，轴，垂足为点，
∴，
∵轴，，
∴，
∵，，，
∴，即：，
设，则，
∴，，，
∵，
∴或，解得：或或，
∴，，或，
∴，或，或，
∴，或，
，或，
∴或．
【点睛】本题考查了，求抛物线解析式，两点间距离公式，翻折的性质，平移变换及解直角三角形，解题的关键是：通过翻折的性质得到，进而得到．
10．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，B4,0两点（点A在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，点直线上方抛物线上（不与重合）的一动点，过点作交轴于点，轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物，点为新抛物上轴左侧的一动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)有最大值，此时P的坐标为
(3)
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再求出直线的解析式为，即：；然后证明四边形是平行四边形可得；设，则可得；如图：过作，即，，证明可得，进而得到，则，最后根据二次函数的性质求最值即可；
（3）先求出平移后的解析式为，再证明四边形是正方形可得；设、可得，进而得到可得，进而确定点的坐标即可．
【详解】（1）解：把，B4,0代入抛物线解析式得：，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：∵抛物线的表达式为，
∴，即，
∵B4,0，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：，解得：，
∴设直线的解析式为，即：
∵，，
∴,，
∴四边形是平行四边形，
∴,
设，则，
∴，
如图：过作，即，,
∴,
∴,即，解得：,
∴，
∴，
当时， 有最大值，此时P的坐标为．
（3）解：抛物线的解析式，
∵将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物，
∴将原抛物线向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物，
∴到新抛物的解析式为，
∵将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在坐标轴上，
∴垂直平分,
∴,
∵，,
∴，,，
∴四边形是正方形，
∴
设，，
∴,
∵，
∴，解得：或0（舍弃），
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求函数解析式、一次函数与二次函数的综合、二次函数与几何图形的综合、平行四边形的性质、正方形的性质等知识点，根据题意正确画出图像成为解题的关键．
11．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，点是直线上方的抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线上轴左侧的一动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标，并选择一个点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)８，
(3)存在，，过程见解析
【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可；
（2）过点P作轴交直线于点F，设，则，则，,解答即可．
（3）分点在y轴，x轴的负半轴上，根据平移，正方形的性质，三角函数的应用解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
∴，
解得，
∴的解析式为，
过点P作轴交直线于点F，
设，则，
则，
∴
，
∴,
,
∴当时，此时，四边形面积最大，最大值为8．
（3）解：根据题意，得，平移了个单位，
且，
故将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，
故抛物线，
设，根据题意，轴，轴，C0，2,
∴，
当落在y轴正半轴上时，根据对称性质得四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
解得舍去，
∴，
∴，
此时；
当落在y轴负半轴上时，根据对称性质得四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
解得舍去，
∴，
∴，
此时；
当落在x轴负半轴上时，根据对称性质，得，，
，
∴，，
，
延长交x轴于点G，
则，
∴，
∴，
解得，
∴，
此时；
综上所述，存在点，且分别为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，确定平移要求，构造面积的二次函数运用抛物线的最值计算，正弦函数的应用，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
12．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，B0,3．直线经过点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为平移后的抛物线与轴负半轴的交点，将点向下平移一个单位得到点，在直线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为，点P的坐标为
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出直线和的解析式，然后过点P作轴，交，于点G，F，设点P的坐标为，表示出，的值，利用三角函数计算即可解题；
（3）根据题意得到即抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，即可得到的解析式，然后求出点E的坐标，当点Q在点A右侧时，根据计算；当点Q在点A左侧时，根据对称性计算解题．
【详解】（1）解：把，B0,3代入可得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，把，B0,3代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为：，
解方程组得，
∵，B0,3，，
∴，，，
∴，，
∴，，
过点P作轴，交，于点G，F，
则，
∴，，
设点P的坐标为，则，，
∴，，
∴，
，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大为，这时点P的坐标为；
（3）解：，
由题意可得：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，即抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，
∴平移后，
令，则，
解得：，，
∴点D的坐标为，
∵将点向下平移一个单位得到点，
∴点的坐标为，
∴直线的解析式为，
设点Q的坐标为，
如图，当点Q在点A右侧时，由于，
则，
∴，即，
解得：，（舍去），
∴点Q的坐标为；
当点在点A左侧时， 则，
设直线交y轴于点H，过B作于点K，
则点H坐标为，
∴，，
∵，
∴，
根据点Q的解法同理可得点的坐标，
根据可得点的坐标为，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数与线段和特殊三角形的综合，勾股定理，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
13．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)的最大值为，
(3)点G的坐标为或．
【分析】（1）将、两点的坐标代入抛物线的解析式，求得，，进一步得出结果；
（2）作于，设，可求得，的值及的解析式，根据得，进而求得，根据得出，从而表示出，进一步得出结果；
（3）作于，可求得，，进而得出轴，从而求得符合条件的，作关于的对称点，作射线，作轴于点，可求得，从而得出的解析式为，进一步得出结果．
【详解】（1）解：由题意得，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，
作于，设，
由得，
，，
，
，
设的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
时，的最大值为，
当时，，
；
（3）解：如图2，
作于，
，
，，
，
，，
，，
，即，
，
，
，
如图3，
，
轴，
，
新抛物线与轴右交点满足条件，
由得，
，（舍去），
，
作关于的对称点，作射线，作轴于点，
，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，，，
，
，，
，，
，
的解析式为：，
由得，
（舍去），，
当时，，
，
综上所述：点G的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
14．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为；；
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可；
（3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴C0,−3，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，C0,−3，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．
15．（2024·重庆开州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A−2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1：P是直线上方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上一动点，作直线交所在的直线于点D，是否存在点Q满足条件，若存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)四边形面积的最大值为6，此时点P的坐标
(3)点Q的坐标为或
综上所述，Q点的坐标为或或或．
【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、二次函数综合题、二次函数图像的平移、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）先求得，再根据图形可得，要求的最大值，只需求得的最大值即可；再求出直线的解析式为；如图：过P作轴交于D,设，则，易得，进而得到，然后根据二次函数的性质即可解答；
（3）先求出平移后的函数解析式为，当Q点在x轴下方时，
是的平分线，设C点关于x轴的对称点为，直线与抛物线的交点为Q点的坐标；当Q点在x轴上方时，设直线与直线交点为N，是等腰三角形，设，根据等腰三角形的性质求出，则直线BN与抛物线的交点为Q．
【详解】（1）解：将A−2,0，B4,0代入可得：
，解得: ,
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴,即，
∵B4,0，
∴，
∴，
∵,
∴要求的最大值，只需求得的最大值即可，
设直线的解析式为，
则有：，解得：，
∴直线的解析式为，
如图：过P作轴交于D,设，则，
∴，
∴，
∴当时，此时，有最大值2，即有最大值6，
∴四边形面积的最大值为6，此时点P的坐标．
（3）解：∵，
∴，，
∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴抛物线沿x轴正半轴方向平移2个单位长度，沿y轴正半轴方向平移2个单位长度，
∵
∴平移后的函数解析式为，
当Q点在x轴下方时，
∵,
∴，
∴是的平分线，
设点C关于x轴的对称点为,
设直线的解析式为,
∴,解得：,
∴直线BD的解析式为,
∴当时，解得：或
∴Q点横坐标为或，
∴纵坐标为或
∴点Q的坐标为或；
当Q点在x轴上方时，设直线与直线交点为N，
∵,
∴是等腰三角形，
∴，,
设，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴直线BN的解析式为，
当时，解得：或，
∴Q点横坐标为或，
∴Q点纵坐标为或，
∴点Q的坐标为或．
综上所述，Q点的坐标为或或或．
题型四：二次函数图像的对称
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．求得抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，求得，根据抛物线开口向下，即可求解d的取值范围，据此即可判断．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
∵，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴或，
观察四个选项，d的值可能为，，4，不可能是，
故选：B．
【变式4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线经过和两点，则值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线经过和两点可得抛物线对称轴为直线，进而求解．
【详解】解：∵抛物线经过和两点
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得．
故答案为：5．
【变式4-2】根据局部对称后求交点个数
（2024·湖南常德·一模）将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，即可得解．掌握抛物线与轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换．
【详解】解：对抛物线，
当时，得：，
解得：或，
∴抛物线与轴的交点为、，
∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，
∴新图像中当时，解析式为，即，如图，
当直线经过点时，此时直线与新函数图像有个交点，
把代入直线，解得：，
将直线向下平移时，有个交点，
当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图像有个交点，
整理得：，
∴，
解得：，
综上所述，新图像与直线有个交点时，的取值范围是．
故选：C．
【变式4-3】根据对称特征确定参数值
（2024·吉林·二模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A和 (点A在点 B的左侧)，与y轴相交于点
(1)求此抛物线的解析式．
(2)点 D为抛物线的顶点，点P在抛物线的对称轴上(不与点D 重合)，将线段绕点P 顺时针旋转，点 D 恰好落在抛物线上的点Q处．
①点 D的坐标为 ．
②求点 Q的坐标．
(3)如图②，将图①中抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，与原抛物线在x轴上方的图象组成新的图象．
①当时，图象所对应的解析式为 ．
②再将新图象沿x轴向左平移m个单位长度，若平移后的图象在范围内，y随x的增大而增大，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)①；②或
【分析】（1）利用待定系数法，将B、C两点的坐标代入抛物线方程，求出系数a、c,即可求得其解析式；
（2）根据旋转前后点D、Q与点P距离不变，得到各点坐标间关系，将Q点代入抛物线方程即可求解；
（3）①抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，原来解析式中x不变，而y则相反，即可求出解析式；②根据新图象的特点，分别讨论在段和点B的右侧落在范围内，进而求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点、
分别代入抛物线，
得方程组：
解得：，
故抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线方程可整理为
．
设点，
,
，即，
将其代入抛物线方程，，
整理得，
或，
或．
又∵点P不与点D重合，
，
；
（3）①抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，原来解析式中x不变，而y则相反，
，即；
②∵当时，或5，
．
根据图象，在段和点B的右侧，y随x的增大而增大，新图象向左平移m个单位后，．
∵平移后的图象在范围内，y随x的增大而增大，
，，
，
当B点右侧平移到范围内时，有，即，
∴或．
【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求法及其性质、与x轴的交点和图象的几何变换等，综合性较强，有一定难度，计算量不小，要求学生有一定的分析推理能力．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
我
A．当时，函数的最大值是4
B．函数值随的增大而增大，则
C．关于的方程的所有实数根的和为4
D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知的对称轴为直线，根据函数的性质可知当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线与的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解．
【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误；
由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误；
如图，
由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确；
如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误；
故选C．
2.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，已知抛物线（a是常数，且a＜0），直线过点且垂直于y轴．当时，沿直线将该抛物线在直线上方的部分翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为，且当时，函数的最大值与最小值之差小于7，则n的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数顶点坐标和二次函数的翻折，解题关键是准确理解题意，列出不等式．
先求得顶点M的坐标，然后根据轴对称的性质求得对称点的坐标，再求出时函数值，确定最大值和最小值，根据最大值与最小值之差小于7，列不等式即可．
【详解】解：，
当时，，
抛物线的顶点，
直线轴且过点，
点M关于直线的对称点，
抛物线y1的对称轴为直线，且自变量x的取值范围为，
当时的值与当时的值相等，为，
由题意得函数的最大值为n，
若，即时，的最小值为，
∵函数的最大值与最小值之差小于7，
，即，
，
若，即时，的最小值为，
∵函数的最大值与最小值之差小于7，
即，
，
综上，，
故答案为：．

3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
当时，，
∴二次函数的图象与y轴的交点为0,2，
∵，
当点在对称轴的左侧时，；
当点在对称轴的右侧时，，且，
解得：；
综上所述，k的取值范围为或．
故答案为：或．
4．（2024·四川达州·二模）如图，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一新函数图象．若一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，先求出原抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，再求出翻转后的函数解析式为，然后求出当函数恰好经过点时，当函数与抛物线只有一个交点时m的值即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，解得或，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为；
设是抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折后的图象上一点，则是抛物线图象上一点，
∴，即，
∴翻转后的函数解析式为，
当函数恰好经过点时，则，解得，
当函数与抛物线只有一个交点时，
联立得，
当时，，
∴由函数图象可知，当时，一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，
故答案为：．
5．（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】根据得抛物线的对称轴为直线，，抛物线变形为，把代入得；把代入，得到，解答即可．
本题考查了抛物线的对称轴的意义，图象于点的关系，对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是抛物线图象上的点，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴抛物线变形为，
把代入得；
把代入，得，
∴．
故答案为：．
题型五：确定自变量取值范围内的二次函数最值
【中考母题学方法】
【典例5】（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
(1)求这两种粽子的进价；
(2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值．
【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元
(2)或，当时，取得最大值为1000元
【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题．
（1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可；
（2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元
由题意得：
解得：
经检验：是原方程的解且符合题意
∴
答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元．
（2）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则
∵，，
∴当时，取得最大值为1000元．
【变式5-1】（2024·四川眉山·二模）若函数；当时，此时该函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，根据函数的取值范围确定函数最小值出现在哪个函数上，然后再根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．
【详解】解：∵函数，
∴当时，函数的最小值在函数上，
∴当x=2时，该函数的最小值是3，
故选：A．
【变式5-2】难点求已知对称轴和自变量取值范围的含参二次函数最值
（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知二次函数的图象过三点
(1)求函数的解析式；
(2)问是否存在m，n()，使函数在范围内的最小值是，最大值是？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，关键是分情况讨论和根据特征点解题．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况讨论，分别根据二次函数的图像与性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过，
∴，
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
对于，对称轴为直线，
∴①当时，函数在范围内，随增大而减小，
∴当时，，时，，
∴，，
两式相减得：，
∴或，均不符合题意，舍；
②当时，函数在范围内，随增大而增大，
∴当时，，时，，
∴，，
解得：或；或，
∴满足题意得话：，；
③当时，
此时当时，，
解得：，不符合题意，舍，
综上所述：，．
【变式5-3】难点通过含参二次函数中参数的取值范围确定最值范围
（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_________，点的坐标是_________；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】(1)①②或
(2)
(3)
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
②，
列表如下：
画出函数图像如下：

由图可知：当时，或；
（2）∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．

【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
【中考模拟即学即练】
1.（2024·安徽蚌埠·模拟预测）函数的最小值是
【答案】
【分析】本题考查了二次函数求最值，二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点，利用换元法求解是解题本题的关键．
先将函数化为，令，则，那么化为求最值即可．
【详解】解：
，
令，
∴，
∴，
即，
可求函数的对称轴为直线：，
∵，
∴当时，函数取得最小值为：，
∴函数的最小值为，
故答案为：．
2．（2024·湖北·模拟预测）近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)700元
(3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元
【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量每个房间的利润列出函数关系式即可求解；
（2）把9600代入中，求解即可；
（3）根据利润=房间个数每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可；
本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，（，且x为整数）
．
（2）由题意得，
∴，
解得，，
∵民宿尽最大可能让利游客，，
∴每个房间的定价为（元）．
答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元．
（3），
∵，
∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）．
答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元．
3．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；
(2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值．
【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式
(2)3
【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式；
（2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：在中，
令，则，
点C的坐标为，
令，则，
即，
解得：或，
点A在点B的左侧，
点A的坐标为，点B的坐标为，
设线段所在直线的函数表达式为，
将点代入，得，
解得：，
线段所在直线的函数表达式为；
（2）解：点P在抛物线上，
设点P的坐标为，
轴交于点N，
点N的坐标为，
点P在线段上方的抛物线上，
且，
，且，
当时，有最大值，线段长的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题．
4．（2024·山东·模拟预测）某服装店购进一批衬衣，成本价每件元，若售价为元，则每月能售出件．经调查发现，售价每增长一元，则销量将减少件．
(1)求出月销售利润（元）与售价（元/件）之间的函数关系式．
(2)试问：当每件衬衣售价为多少元时，服装店所获月利润最大，并求最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)当价格为元时，才服装店所获月利润最大，并求最大利润为元
【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，确定与之间的函数关系式是解题的关键．
（1）按照等量关系“每月获得的利润＝（销售价格﹣进价）×销售件数”列出二次函数；
（2）根据二次函数的性质求得最值
【详解】（1）解：根据题意得：
，
∴与的函数关系式为：；
（2）∵，
又∵，
∴当时，有最大值，的最大值为，
答：当每件衬衣售价为元时，服装店所获月利润最大，最大利润为元．
5．（2024·新疆克孜勒苏·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)判断的形状，并证明你的结论；
(3)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)直角三角形，证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）把点代入可求出，即可得出抛物线解析式，配方即可得出顶点坐标；
（2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点的坐标，根据勾股定理的逆定理即可得结论；
（3）先根据、坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，用表示出点坐标及的长，求出二次函数取得最大值时的值，代入即可得答案．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
∵，
∴顶点．
（2）∵抛物线与轴交于点，
∴当时，，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，点，
∴，
∴，，
∴点B4,0，
∴，，，
∵；；，
∴，
∴是直角三角形．
（3）存在，理由如下：
过点作轴，交于，
设直线的解析式为，
∵B4,0，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴，
∴点．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，待定系数法求解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值求法及勾股定理的逆定理是解题关键．
题型六 ：已知自变量的取值范围和最值,求参数
【中考母题学方法】
【典例6】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
【变式6-1】（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数．
(1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当时，的最大值为4，求的值．
(3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案；
（2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案；
（3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案；
【详解】（1）解：该抛物线经过点
解得
顶点坐标为
（2）解：
对称轴为，函数图象开口向上
，
当时，取最大值4
解得，
（3）解： 当，
当时，
当交点在线段之间时，当时，
解得；
当时，
解得；
综上，或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式6-2】（2024·云南昆明·模拟预测）已知二次函数（b，c是常数）．
(1)写出一组b，c的值，使函数的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；
(2)若，，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证：；
(3)当时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求b的值．
【答案】(1)，(答案不唯一)；
(2)见解析
(3)b的值或．
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）由题意得，，计算得到，据此求解即可；
（3）将代入得，对称轴为直线，以对称轴的位置分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵函数的图象与x轴有两个不同的交点，
∴，即，
∴取，则(答案不唯一)；
（2）解：将，代入得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
当时，，此时，，不合题意，舍去；
∴；
（3）解：将代入得，对称轴为直线，
当即时，如图，
当时，最小值为，即，
解得，
∴b的值；
当即时，如图，
当时，最小值为，即，
解得，
∴b的值；
当即时，如图，
当时，最小值为，即，
解得或(都不符合题意)，
综上：b的值或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，配方法求函数的极值，待定系数法和配方法是解决此类问题常用的方法．
【变式6-3】新考法新定义阅读理解题型
（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
(2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】(1)①8；②2
(2)4
(3)5或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键．
（1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解；
（2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解；
（3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解；
【详解】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或−2．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且．
(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解∶当时，
即，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
当时，．
∵，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）由题意可知， ，
∵将函数图象平移后，顶点坐标为，
∴平移后的函数解析式为，
∴平移后的函数的对称轴为直线．
当，时函数取得最大值，
即，解得或，均不符合题意，舍去；
当，时函数取得最大值，
即，解得，符合题意．
综上所述，的值为．
2．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，c是常数）经过点，且对称轴为直线，动点P在抛物线上，其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P到y轴的距离小于3，求点P的纵坐标的取值范围；
(3)若抛物线位于点P右侧（包含点P）部分的函数值最小为，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的性质等等：
（1）先由对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求出，再由可求出点P纵坐标的最小值，再求当和时的函数值即可得到答案；
（3）分两种情况，一是当时，，则；二是当时，，则，解方程求出符合题意的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为直线，
∴抛物线经过，
∴，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：∵点到轴的距离小于3，
，
，
当时，；
当时，则；
当时，则，
，
点的纵坐标的取范围是；
（3）解：如图2，当时，，
，
解得（不符合题意，舍去）；
如图3，当时，，
，
解得，（不符合题意，舍去），
综上所述，的值为．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b和c是常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且，．
(1)求b，c的值；
(2)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点（不与点B，C重合），过点P作轴于点D，与交于点Q．若，求点P的坐标；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为3，求此时m的值．
【答案】(1)，c的值分别为，
(2)
(3)m的值为或2
【分析】此题是二次函数和一次函数综合题，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）求出，C0,−3，进一步即可求出b，c的值；
（2）由（1）知抛物线的解析式为．设，则．求出直线的解析式为，则，得到，．根据得到方程，解方程即可求出答案；
（3）求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．当时，，当时，．根据m的取值范围分段进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，C0,−3，
．
把代入，
得，
解得，
，c的值分别为，
（2）由（1）知抛物线的解析式为．
设，则．
由，C0,−3，
设直线直线BC的解析式为，
则
解得
∴直线的解析式为，
，
，．
，
，
整理，得，
解得，（舍去）．
当时，，
，
即当时，点P的坐标为．
（3）由（1）知抛物线的解析式为，
则该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
当时，，
当时，．
当，即 时，函数的最小值是，函数的最大值是，
，解得；
当时，函数的最小值是，函数的最大值是，
，解得；
当时，函数的最小值是，函数的最大值是，
，解得（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值是，
，解得（舍去）或（舍去）；
综上所述，此时m的值为或2．
4．（2024·云南·一模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，都是和谐点．
(1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．当时，函数的最小值为，最大值为0，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数与一次函数的关系，一次函数与一次函数交点问题：
（1）根据和谐点定义得到点在上，联合求解即可得到答案；
（2）根据和谐点联立二次函数与一次函数求解即可得到答案；
【详解】（1）解：点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，
和谐点都在上，，
解得，
图象上的和谐点为；
（2）解：二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
∴，即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
②，
联立①②，得，，
，
其顶点坐标为，则最小值为，
根据对称轴可知，当时，，
根据函数图象可知，当时，函数的最小值为，最大值为0，
实数的取值范围为．
5．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，若b是正数，直线与y轴交于点A；直线与y轴交于点B；抛物线的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
(1)若，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设，点分别在l，a和L上，且是的平均数，求点与点D间的距离；
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数．
【答案】(1)，L的对称轴与的交点
(2)最大值为1
(3)
(4)时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个
【分析】（1）算出，把代入L求解即可；
（2）由，得到L的顶点，由于点C点l下方，于是得到结论；
（3）由题意得到，即，得解得或．但，取，得到右交点．于是得到结论；
（4）①当时，抛物线解析式直线解析式，“美点”总计4040个点，②当时，抛物线解析式，直线解析式，“美点”共有1010个．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
∵，而，
∴，
∴．
∴，
∴L的对称轴，
当时，，
∴L的对称轴与a的交点为；
（2）解：∵，
∴L的顶点，
∵点C在l下方，
∴C与l的距离为，
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）解：由题意得，即，
得，
解得或．
但，取，
对于L，当时，，即，解得，
∵，
∴右交点．
∴点与点D间的距离为．
（4）解：①当时，抛物线解析式为，
直线解析式，
联立上述两个解析式可得：，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且和2021之间(包括和)，共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，∴总计4042个点，
∵这两段图象交点有2个点重复重复，
∴“美点”的个数：(个)；
②当时，
抛物线解析式，
直线解析式，
联立上述两个解析式可得：，
∴当x取整数时，在一次函数上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，
在二次函数图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，
可知到之间有1009个偶数，并且在和之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个．
故时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个．
【点睛】本题考查了二次函数几何综合，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．

题型一：关于二次函数系数a、b、c的结论判断问题
题型二：二次函数与一元二次方程关系
题型三：二次函数图像的平移
题型四：二次函数图像的对称
题型五：确定自变量取值范围内的二次函数最值
题型六：已知自变量的取值范围和最值,求参数
一、二次函数与a、b、c的关系
关系
符号
图象特征
a决定抛物线的开口方向
a>0
开口向上
|a|越大，抛物线的开口小．
a0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
左同右异
ab0
抛物线与y轴交于正半轴
c0
抛物线与x轴有两个交点
b²-4ac=0
抛物线与x轴有一个交点
b²-4ac＜0
抛物线与x轴没有交点
二、引入其他参数的相关结论判断
1.引人的参数为点坐标,常常考虑结合坐标轴求解;
2.引入的参数是与系数a,b,c结合的不等式,常常将该参数视为抛物线上点的横坐标,结合最值求解;
3.引人的参数在一元二次方程中,常常把该方程看成抛物线与直线的交点问题,根据交点个数求解
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系
二次函数与x轴交点个数
一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况
b2-4ac>0
2个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
1个交点
有一个不相等的实数根
b2-4ac0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m);
(2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:
平移方式（n＞0)
一般式y=ax2+bx+c
顶点式y＝a(x–h) 2＋k
平移口诀
向左平移n个单位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n个单位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右减
向上平移n个单位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n个单位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下减
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b2a的差的绝对值相等；
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b2a对称；
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.
自变量取值范围
图象
最大值
最小值
全体实数
a>0
无
当x=−b2a时，二次函数取得最小值4ac−b24a
a0
当x=x2时，二次函数取得最大值y2
当x=−b2a时，二次函数取得最小值4ac−b24a
当x=x1时，二次函数取得最大值y1
当x=−b2a时，二次函数取得最小值4ac−b24a
当x=x2时，二次函数取得最大值y2
当x=x1时，二次函数取得最小值y1
1
3
4
5
0
0
5
分类讨论对称轴位置
抛物线对称轴已知,自变量的取值范围含参,分类讨论取值范围在对称轴的哪一侧,分别确定最大值和最小值:
抛物线对称轴含参数,自变量的取值范围已知,分类讨论对称轴与自变量取值范围端点的位置关系结合最值求解.