中考数学一轮考点复习学案：4.1 角 相交线与平行线（2份，原卷版+教师版）

这是一份中考数学一轮考点复习学案：4.1 角 相交线与平行线（2份，原卷版+教师版），共4页。试卷主要包含了1 角 相交线与平行线， 角与角平分线，角的表示方法， 角的单位及换算关系， 角的平分线等内容，欢迎下载使用。
4.1 角 相交线与平行线
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
考点1. 角与角平分线
1. 角的概念
有________-的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2.角的表示方法
(1)角通常用个字母及符号“∠”来表示，如图中角可以表示为∠AOB或∠BOA，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点.
(2)当顶点处只有一个角时，可用一个________表示角，这个字母应标在顶点上. 如图的角可以表示为∠O.
(3)用一个数字表示一个角，如图的角可以表示为∠1.
(4)用一个字母(希腊字母α、β、γ等)表示一个角，如图的角可以表示为∠α.
注意：（3）（4）这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角
3. 角的单位及换算关系
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，
如：∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α=__________.
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其它度量角的单位制.例如，我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等.
4.角的分类及余角补角的定义
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为________.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为________.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）余角和补角的性质: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角也相等.
注意：对余角、补角问题可以利用下面表格加深理解
5. 角的平分线.一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_______的角的射线，叫做这个角的平分线.
OB是∠AOC的平分线
∵OB是∠AOC的角平分线，
∴∠AOB＝∠BOC=∠AOC
∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC
6．方位角.以______、________方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
考点2. 相交线与平行线
（一）相交线的理论基础
1．邻补角
（1）定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
（2）邻补角的性质：邻补角______。
2．对顶角
（1）定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的________，像这样的两个角互为对顶角。
（2）对顶角的性质：对顶角_______。
3．垂线
（1）定义：两条直线相交成_______时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
（2）垂线的性质：
性质1：过一点有且只有_______直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_______最短。
4．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角定义：∠1与∠5像这样具有_________关系的一对角叫做同位角。
（2）内错角定义：∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。
（3）同旁内角定义：∠3与∠6像这样的一对角叫做同旁内角。
注意：对三线八角的认识
直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．
（二）平行线的理论基础
1.平行线概念：在同一平面内，两条_________的直线叫做平行线。记做a∥b
如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
2.两条直线的位置关系：_______和_______。
3.平行线公理及其推论
（1）公理：经过已知直线外一点，有且只有条直线与这条直线平行；
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线________.
4.平行线的判定
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，_______相等，两直线平行；
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，________相等，两直线平行；
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，_________互补，两直线平行.
补充平行线的判定方法：
（1）平行于___一条直线的两直线平行。
（2）垂直于___一条直线的两直线平行。
5.平行线的性质
性质1：两直线平行，_______相等。
性质2：两直线平行，________相等。
性质3：两直线平行，_______互补。
【易错点提示】解决相交线与平行线难点问题添加辅助线要领
1.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.如图，以下三种情况.

2.除了基本模型外，还经常会遇到一些平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图所示。
考点3. 平行线性质求角度
1.理解熟记平行线的性质（能灵活用数学语言表达文字语言至关重要）
2. （1）利用性质1求角度的思路
例如：如图，直线，，，则______.
思路：设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，根据平行的性质1得到∠1=∠4=100°，再根据三角形的外角和定理 即可求解．本题考查了平行线的性质1、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质1是解答本题的关键．
（2）利用性质2求角度的思路
例如：如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ．
思路：根据平行线的性质2得出∠B＝∠BCD＝26°，根据角平分线定义求出∠ECD＝2∠BCD＝52°，再根据平行线的性质2即可得解．
本题考查了平行线的性质2、平分线定义、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质2是解答本题的关键．
（3）利用性质3求角度的思路
例如：如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于___________．
思路：由题意得，∠2＝60°，由平角的定义可得∠5＝70°，再根据平行线的性质即可求解．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°（性质3）
∵∠1+∠2+∠3＝240°，
∴∠2＝240°﹣（∠1+∠3）＝60°，
∵∠3+∠2+∠5＝180°，∠3＝50°，
∴∠5＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠4＝∠5＝70°．
【易错点提示】用下图理清平行线的判定与性质之间关系的模糊认识
考点1. 角与角平分线
【例题1】（2024甘肃威武）若，则的补角为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024云南一模）下列关于角的说法正确的是( )
A.由两条射线组成的图形叫做角
B.角的边画得越长，角越大
C.在角一边延长线上取一点
D.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
【变式练2】（2024江西一模）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于( )
A.45° B.60° C.90° D.180°
【变式练3】（2024陕西一模）如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是 ．
【变式练4】（2024福州一模）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（ ）
A．35° B．70° C．110° D．145°
考点2. 相交线与平行线
【例题2】 （2024广西）已知与为对顶角，，则______°．
【变式练1】（2024上海一模）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【变式练2】（2024北京一模）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5
【变式练3】（2024•金华一模）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【变式练4】（2024哈尔滨一模）如图，下列条件中能判定直线的是( )
A. B.
C. D.
考点3. 平行线性质求角度
【例题3】（2024福建省）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024山东东营一模）如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式练2】（2024广西贵港一模）如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ．
考点1. 角与角平分线
1. （2024广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. （2024江苏常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A. 与一定相等B. 与一定不相等
C. 与一定相等D. 与一定不相等
4. （2024河南省） 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ）
A. B. C. D.
考点2. 相交线与平行线
1. （2024内蒙古包头）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. （2024黑龙江大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）
A. 纸带①、②的边线都平行
B. 纸带①、②的边线都不平行
C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
考点3. 平行线性质求角度
1. （2024深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024湖北省）如图，直线，已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. （2024江苏苏州）如图，，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4. （2024四川资阳）如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. （2024黑龙江绥化）如图，，，．则______．
6.（2024内蒙古赤峰） 将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
7. （2024广州）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为______．
考点1. 角与角平分线
1. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
2.如图，已知射线OC在∠AOB的内部，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度数;
(2)探究∠MON与∠AOB的数量关系.
3. （2022湖北宜昌）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
考点2. 相交线与平行线
1.下列语句错误的有（ ）个.
（1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；
（2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；
（3）如果两个角相等，那么这两个角互补；
（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列图形中，∠1和∠2是同位角的有（ ）
A.(1)，(2) B.(3)，(4)
C.(1)，(2)，(3) D.(2)，(3) ，(4)
3. 如图，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
4．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度 B．线段CM的长度 C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
5．如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．
6. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，若，则______°.
7. 如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
8.如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数。
考点3. 平行线性质求角度
1．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
2．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（ ）
A．70°B．60°C．75°D．80°
3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（ ）
A．132°B．128°C．122°D．112°
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 角与角平分线
☆☆
数学中考中，有关本专题的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题的形式考查，也有极少数省市在解答题出现。复习需要学生熟练掌握平行线判定和性质定理及其应用，这类问题比较容易，是深入学习几何知识的基础，通常结合角平分线概念，三角形内角和定理来解决。
考点2 相交线与平行线
☆☆☆
考点3 平行线性质求角度
☆☆☆
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°