中考数学一轮考点复习学案：3.3 反比例函数（2份，原卷版+教师版）

这是一份中考数学一轮考点复习学案：3.3 反比例函数（2份，原卷版+教师版），共4页。试卷主要包含了3 反比例函数， 反比例函数的图象与性质， 反比例函数的图象及其性质，一次函数和反比例函数中求证问题等内容，欢迎下载使用。
3.3 反比例函数
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础
考点1. 反比例函数的图象与性质
1. 反比例函数定义
一般的，形如______(是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴.y轴永不相交 ．
2. 反比例函数的图象及其性质
反比例函数y＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成_______的，它的位置和性质受k的符号的影响.
考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
1. 求反比例函数的解析式方法
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把反比例函数图像上已知一点的一对x，y的值代入_______，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出_______；
（4）将所求得的待定系数k的______代回所设的函数解析式即可．
2. 反比例函数的k的几何意义
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为______.
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.
【易错点提示】已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题
1. 反比例函数与一次函数的综合问题基础分析
（1）涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
（2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的_____来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的______的解的情况．
2. 反比例函数与一次函数的综合问题命题思想分析
一次函数和反比例函数是全国各省市中考的热点内容，也是中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
（1）一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须理解熟记.
（2）这个考点多数省市在解答大题里出现，难度属于中等偏上，分值8—10分左右。
（3）运用综合知识解题，所以希望毕业班学生结合下面常出现考题类型复习相关知识点，各个击破。
类型1.一次函数与反比例函数中由面积求点坐标
类型2.一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题
类型3.一次函数和反比例函数与不等式综合问题
类型4.一次函数和反比例函数中求三角形面积问题
类型5.一次函数和反比例函数中求证问题
类型6.一次函数和反比例函数中求线段长问题
类型7.利用反比例函数的图象和性质探究平移问题
考点4. 反比例函数与几何图形结合
解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值.
这类型的题目主要包括：
类型1. 反比例函数与三角形的综合问题
类型2.反比例函数与平行四边形的综合问题
类型3.反比例函数与矩形的综合问题
类型4.反比例函数与菱形的综合问题
类型5.反比例函数与正方形形的综合问题
类型6.反比例函数与圆的综合问题
考点5. 反比例函数的实际应用
反比例函数在工程问题、运动问题、化学等领域都有广泛应用。在物理学中也有重要应用。
解答反比例函数实际应用问题基本步骤：
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
【易错点提示】反比例函数的实际应用需要注意的地方
解决反比例函数的实际问题时，先确定______，再利用_________找出解决问题的方案，特别注意______的取值范围。实际问题中的两个变量往往都只能取_____值；作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单位长度______相同。
考点1. 反比例函数的图象与性质
【例题1】（2024福建省）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______．
【变式练1】（2023阜新一模）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A．（4，2）B．（1，8）C．（﹣1，8）D．（﹣1，﹣8）
【变式练2】（2024陕西一模）已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣3，2）
B．图象分别位于第二、四象限内
C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大
D．x≥﹣1时，y≥6
【变式练3】（2024内蒙古呼和浩特一模）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
【变式练4】（2024西藏一模）反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小
考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
【例题2】（2024深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________．

【变式练1】（2024福建一模）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣
【变式练2】（2024青岛一模）反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达
式为 ．
【变式练3】（2024深圳一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【变式练4】（2024大连一模）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且AB＝BC，连接OA．已知△OAC的面积为12，则k的值为 ．
考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题
【例题3】（2024山东威海）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______．
【变式练1】（2024山东滨州一模）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【变式练2】（2024湖南益阳一模）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
考点4. 反比例函数与几何图形结合
【例题4】（2024江苏苏州）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024黑龙江齐齐哈尔一模）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=_______．
【变式练2】（2024山西一模）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
考点5. 反比例函数的实际应用
【例题5】（2024河北省）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若x减小，则y也减小D. 若x减小一半，则y增大一倍
【变式练1】（2024湖北宜昌一模）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【变式练2】 （2024山西一模）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
考点1. 反比例函数的图象与性质
1. （2024广西）已知点，在反比例函数的图象上，若，则
有（ ）
A. B. C. D.
2.（2024广州） 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号）
3. （2024贵州省）已知点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
1. （2024湖南省）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________．
2. （2024江苏连云港）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________．
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______．
4. （2024江苏扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____．
5. （2024黑龙江绥化）如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则______．
考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题
1. （2024黑龙江大庆）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象
为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024山东枣庄）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求、的值，并补全表格；
（2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围．
3. （2024湖北省）一次函数经过点，交反比例函数于点．
（1）求；
（2）点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围．
4. （2024四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
（1）求的值及点的坐标．
（2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．
5.（2024甘肃威武） 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
6. （2024江苏连云港）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图像直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
7.（2024甘肃临夏）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
（1）求，的值；
（2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
考点4. 反比例函数与几何图形结合
1. （2024四川宜宾）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024江西省）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
（1）点B的坐标为______；
（2）求所在直线的解析式．
3. （2024江苏苏州） 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．

（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
4. （2024山东烟台）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求n的值及的面积．
5. （2024江苏盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
考点5. 反比例函数的实际应用
1. （2024吉林省）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为时，求此时的电流I．
考点1. 反比例函数的图象与性质
1．已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
2.若点A（1，1）、B（2，2）是双曲线上的点，则1 2（填“＞”，“＜”或“=”）．
3.若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
1．如图，矩形OABC的面积是4，点B在反比例函数的图象上．则此反比例函数的解析式为 ．
2. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝_______．
3. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
4. 如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
5．已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣
考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题
1. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
（1）求k与m的值；
（2）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
5. 如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．
考点4. 反比例函数与几何图形结合
1．如图是反比例函数y＝的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）
A．1B．C．2D．
2．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．
考点5. 反比例函数的实际应用
1．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．
（1）求密度关于体积的函数解析式；
（2）当时，求该气体的密度．
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 反比例函数的图象与性质
☆☆
数学中考中，有关反比例函数的部分属于中考必考内容，每年考查1~2道题,分值为3~12分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。对于这部分内容的复习需要学生熟练掌握考点分布的5个考点知识内容，掌握每个考点解题要领，形成解题规律，这样在中考时才能快速高效解决问题。比如考点3：若在选择题出现，一般3分，在解答题里出现则8—12分，考查知识综合性强，要用到数形思想，所以要加强该类型题训练。
考点2 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
☆☆☆
考点3 一次函数与反比例函数的综合问题
☆☆☆
考点4 反比例函数与几何图形结合
☆☆☆
考点5 反比例函数的实际应用
☆☆
y＝eq \f(k,x)
(k为常数，k≠0)
k>0
k