2025-2026学年广东省实验中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省实验中学高一（下）期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足（i是虚数单位），则|z|=（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
2.将水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则边AB的实际长度为（ ）
A.
B. 6
C. 5
D.
3.已知a=20.4，b=lg0.42，c=tan43°，则（ ）
A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. c＞b＞aD. a＞c＞b
4.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，=（ ）
A.
B.
C. 2
D.
5.在△ABC中，，D是BC上的一点，若AD是∠BAC的角平分线，AD=3，则△ABC面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若圆锥的高为3，体积是3π，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A. B. C. 6πD. 9π
7.若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（ ）
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ②④
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则（ ）
A. f（x）在R上单调递增B. f（x）的值域为R
C. D. f（x）的零点小于
10.下列四个命题中错误的是（ ）
A. 如果a,b是两条直线且a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面
B. 如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行
C. 如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α，b⊄α，那么b∥α
D. 如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，点Q在线段CC1上，则下列结论正确的是（ ）
A. PQ∥平面ADD1A1
B. 若Q，M，N，P四点共面，则
C. 过点Q有且仅有一条直线与DB1，AA1都相交
D. 点F在侧面BB1C1C上（包括边界），且A1F∥平面APQ，则三棱锥F-APQ的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是 .
13.已知函数，若f（x）在区间上的值域为，则实数m的取值范围是 .
14.已知平面向量，，，对任意实数x,y都有，成立.若，则的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数，且恒成立.
（1）求f（x）的解析式；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且f（B）=0，a=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
16.(本小题15分)
如图所示，在扇形AOB中，∠AOB为锐角，四边形OMPN是平行四边形，点P在弧上，点M，N分别在线段OA，OB上，，，记∠POB=θ.
（1）当时，求；
（2）请写出阴影部分的面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S取得最小值.
17.(本小题15分)
如图，在棱长都为4的直三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F，G，H分别为BC，BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点.
（1）求直三棱柱A1B1C1-ABC的体积；
（2）证明：E，F，G，H四点共面，且此平面与A1D平行；
（3）证明：EG，FH，AA1三线共点.
18.(本小题17分)
已知在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，O为△ABC的外心，△AOC、△BOC、△AOB的面积分别记S△AOC、S△BOC、S△AOB满足
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求x+y的最大值.
19.(本小题17分)
已知i为虚数单位，定义xn=1的解称为n次单位根或单位根，这n个单位根分别为.复数单位根相关领域都有广泛的应用.例如在平面几何中，记对应的复数为z1=r（csα+i•sinα），将绕原点O逆时针旋转得到，则对应的复数为.
（1）方程x2+x+1=0在复数域上的两根为z1，z2，将z1，z2对应的向量，逆时针旋转后得到，，记，对应的复数为z3，z4，求z1，z2，z3，z4（用代数形式表示）；
（2）若把平面直角坐标系中的点P（x0，y0）绕原点O逆时针旋转θ弧度后得到点Q（x,y），请用x0、y0、θ分别表示出x、y；（其中x0、y0、x、y均为实数）
（3）定义在整数集上的函数，若，其中x1，x2，x3∈{0，1，…，9}，令n=100x1+10x2+x3求f（n）的所有可能取值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】10π
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】；
．
17.【答案】 证明：E，F分别为BB1，CC1的中点，且四边形BB1C1C是矩形，
所以EF∥B1C1，且EF=B1C1．
又G，H分别为A1B1，A1C1的中点，
所以GH∥B1C1，且GH=，
所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点共面；取B1C1的中点Q，连接A1Q，DQ，分别交GH，EF于点M，N，则点M，N分别是A1Q，DQ的中点，
连接MN，则MN∥A1D，
因为MN⊂平面EFGH，A1D⊄平面EFGH，
所以A1D∥平面EFGH； 证明：由（2）知EF∥GH，且EF=2GH，
所以四边形EFGH是梯形，所以直线EG与FH是两条相交直线，记EG∩FH=P．
因为平面ACC1A1∩平面ABB1A1=AA1，
又EG⊂平面ACC1A1，FH⊂平面ABB1A1，
所以P∈平面ACC1A1，P∈平面ABB1A1，所以P∈AA1，
所以EG，FH，AA1三线共点
18.【答案】因为O为△ABC的外心，所以外接圆半径R=OA=OB=OC，
又圆心角为圆周角的两倍，所以：
，
，
，
由于，
所以，
因为△ABC为锐角三角形，且，所以，
则sin2B=1，所以，
，
所以由化简得：
，
所以
19.【答案】，， x=x0csθ-y0sinθ，y=x0sinθ+y0csθ 1