广东省实验中学2025-2026学高一下学期期中考试数学试题（含答案）

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【试题详解及解答题参考评分标准】
4．解：连接AC，设AC交BE于0，连接0F，
因为PA||平面EBF ，0F C平面BEF，
且PA ，0F C平面PAC，所以PA||0F，
在平行四边形ABCD ，E为AD的中点，所以
所以 选 B
7 ． 解： 圆锥底面积 ， 母线长为 ， 侧面展开图扇形面积为πrl = 23 × 3π = 6π 。选 B
8．解：正方体中，A ，B为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，在图④中，AB ∩ PB = B ，PB C平面PMN ，惠 AB ∩平面PMN = B，
故④不能得出AB||平面MNP ．故选：C．
11．解：对于A，因为平面BCC1B1 ||平面ADD1A1 ，PQ C平面BCC1 B1，所以PQ||平面ADD1A1，故 A 正确；
对于B，作直线MQ，分别交DD1,DC延长线于点E, F，
再连接EN并延长交DA延长线于点G，连接GF交BC于点P，
因为M, N, P分别是棱C1 D1，AA1，BC的中点，可作正方体截面MNP为正六边形，它们交于各棱中点，所以Q为CC1 中点，CQ = 1，故 B 错误；
对于C，由平面ACC1A1 ∩平面BDD1B1 = XY，则XY ∩ B1 D = 0，
因为Q0, AA1 都在平面ACC1A1 内，所以由图可得Q0必与AA1相交，
根据以上作图可得唯一交点0，所以Q0直线是唯一与AA1 和B1D相交
的直线，故 C 正确；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
C
C
D
C
题号
9
10
11
12
13
14
答案
BC
ABD
ACD
10π
Γ π π 1
Ll 6 ，2 」l
1
4
对于 D，由A1 F||平面APQ，
则VF__APQ = VA!__APQ = VP__A!AQ = VP __A!AC = VB__A!AC = VA!__BAC = = 故 D 正确；故选：ACD．
12．解：显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面
积，设圆柱的底面半径为r，高为ℎ,则2rℎ = 10，所以圆柱的侧面积为2πrℎ = 10π .
13．解：由题意得fsinxCsx + cs 2 x sin2x
= sin2x + Cs2x = sin (2x + , x ∈ [ __ , m]时，2x + ∈ [__ , 2m + ，由sin ( __ = sin = __ ， sin = 1，
结合正弦函数的单调性，可知：若f(x)的值域为[ __ , 1]，则 ≤ 2m+ ≤ , 解得 ≤ m ≤ , 实数m的取值范围为 , ．故答案为： , ．
14．解：如图，设 = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(___→),MA) ，EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),b) = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(___→),MB) ，EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2147483647(_→),C) = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(___→),MC)，
若对任意实数x ， __ x EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),b)| __ EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),b)| ， __ y EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 0(_→),C)| __ EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 0(_→),C)|成立，
OD
AC
则B ，C在以MA为直径的圆上，过0作 ，交MC于E，交圆于D，
EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),b) = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(___→),MB)在0D上的射影最长为|ED| ，EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),b) . (EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2147483647(_→),C) __ = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),b) . EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(___→),AC) = |DE| . |AC|，
设∠AMC = θ,则|ACsinθE sinθ ,
则当sin时，EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),b) . (EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2147483647(_→),C) __ 有最大值为．
15．解：（1）由f (0) = 2sinφ = 3 ，得 sin ，而 0 < φ< ，则 ， （2 分） 由 f ≤ f 恒成立，得 f sin 即sin ⑴ > 0 ， （3 分） 因此 kπ, k ∈ N ，解得 ⑴ = 12k +1, k ∈ N ，而 0< ⑴< 2 ，则 ⑴ = 1 ， （5 分）所以 f (x) 的解析式为 f = 2sin （6 分）
（2）由（1）得，f = 2sin ，Bkπ ,k ∈ Z ，而0 < B < π ,解得B （8 分）
由 S acsinB x 4csin ，解得 c = 2 ， （10 分）
由余弦定理得b （12 分）
_→ __→ __→ __→
所以 ΔABC的周长为6+27 ． （13 分）
16．解：(1)根据题意，OA . OB = |OA ||OB |csLAOB = 2√ 3 × 2√ 3 × csLAOB = 6 ， （1 分）所以csLAOB ，因为 LAOB为锐角，所以，LAOB （2 分）当时，因为四边形OMPN是平行四边形，
所以，△ OPM为等腰三角形，且OP = 2√ 3，OM = ON = 2， （4 分）
EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),O)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),P) . EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(___→),NB) = |EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),O)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),P)| . |EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(___→),NB)|Cs = 2√ 3 × (2√ 3 __ 2) × = 6√ 3 __ 6; （6 分）
(2)由题可知，在△ PMO中，OP = 2√ 3，LPM LMPO = θ , LMOP （7 分）则由正弦定理得：
可得： （9 分）故可得：OM = 4sinθ, PM = 4 sin ， （10 分） S△PMO = × OM × MP × sinLPMO，= × 4sinθ × 4 sin × √ 3sinθsin( __ θ)，
= 4√ 3sinθ (sin Csθ __ Cs 2θ + ) __ √ 3，(0 < θ < ， （12 分）所以，S = S扇形AOB __ S平行四边形OMPN = 2π __ 4√ 3 sin (2θ + + 2√ 3 ，(0 < θ < ， （13 分）由0 < θ < ，得 < 2θ + < ，所以 < sin (2θ + ≤ 1 ， （14 分）
惠当θ = 时，sin (2θ + = 1，此时S取得最小值，最小值为： 2π __ 2√ 3． （15 分）
(学生可以在求出LAOB后建系处理)
17．解：（1） V直三棱柱ABC-A1B1C （2 分）证明：(2)如图，连接EF 、GH，
E ，F分别为BB1 ，cc1 的中点，则B1 E||c1F，且B1 E = c1F，则四边形EFc1B1是平行四边形，
则EF||B1 c1，且EF = B1 c1 ， （3 分）
G ，H分别为A1 B1 ，A1 c1 的中点，则GH是 Δ A1 B1 c1 的中位线，则有GH||B1c1，且GH B1 c1 ，（4 分）
故有EF||GH，且EF = 2GH ， （5 分）
故E ，F ，G ，H四点共面． （6 分）
取B1 C1 中点D1 ，连DD1交 EF 于 M ， 连A1 D1交 GH 于 N，连 MN，则MN是 Δ A1 D1 D的中位线，（7 分）则有A1 D||MN， （8 分）
又 MNC平面 EFGH，A1 D 丈平面 EFGH， （9 分）
所以A1 D||平面 EFGH （10 分）
(3)由(1)的结论，EF||GH，且EF = 2GH，则四边形EFHG是梯形，
EG和FH是梯形的两腰，即EG和FH必定相交，设其交点为P ， （12 分）则P ∈ EG，而EG C平面BAA1 B1，则P ∈平面BAA1 B1 ， （13 分）
同理，P ∈平面CAA1 C1，又由平面BAA1 B1 ∩平面CAA1 C1 = AA1 ， （14 分）则P ∈ AA1，故EG ，FH ，AA1三线共点． （15 分）
（法二，利用 G、H 是中点，全等，交点为同一点也得分）
18．解：因为csB B∈（0,π) ,所以B = ， （1 分）因为点0为 Δ ABC的外心，所以LA0C = 2B
LB0C = 2A, LB0A = 2C A （2 分）
_→ __→ __→
设三角形ABC的外接圆的半径为R，则|0A| = |0B | = |0C | = R，
代入SΔBOC . EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),A) + SΔAOC . EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),B) + SΔBOA . EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__→),0C) = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),0)
_→ __→ __→ _→
得 0B + sin2A . 0A __ cs2A . 0C = 0． （4 分）
(2) 2R R=1 （5 分）
(法一) |3EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),B) + 2 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),A) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__→),0C)| = |(3cs2A + 1)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(___→),0C) + (2 __ 3sin2A)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),A)|
（6 分）
因为三角形ABC为锐角三角形，且B ，所以 ，可得 < A < ，
2A tan sin （7 分）
：sin(2A 一φ) ∈ (sinφ,1]，即 sin(2A （8 分）
即|3EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),B) + 2EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),A) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__→),0C)|的取值范围是3 一 5, 22 ) （9 分）
_→ __→
（法二）延长0A至M，使得|0M| = 2，则0M = 20A，以0M, 0C为邻边作矩形0CNM，
_→ ___→ __→ __→ __→
则0N = 0M + 0C = 20A + 0C，
且|EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),N)| = √ 1 + 4 = √ 5，
延长0B至P，使得|0P| = 3|0B| = 3，则EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__→),0P) = 3EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__→),0B)，如图 (没有图扣 1 分)：
_→ __→ __→ __→ ___→
所以|3 0B + 2 0A + 0C | = |0P + 0N| ， （5 分）
所以当N, 0, P三点共线时， |3EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),B) + 2 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),A) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__→),0C)| = |EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),P) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_),0)_EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),N)|取最小值，最小
值为3 __ √ 5， （6 分）
因为三角形ABC为锐角三角形，且B = ，所以 ，可得 < A < ，
所以∠B0C = 2A ∈ , π) ， （7 分）
当∠B0C
当∠B0C =
（8 分）
所以|EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),P) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),N)| ∈ 3 一 5, 22 )，即|3EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),B) + 2EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(_→),A) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2(__→),0C)|的取值范围是3 一 5, 22 ) ． （9 分）
_→ __→ __→
（3）设三角形ABC的外接圆的半径为R，则|0A| = |0B | = |0C | = R，
_→ __→
即0A ⊥ 0C ，0A . 0C = 0，
_→ __→ __→ __→ __→ __→ __→ __→
（法一）因为B0 = XBA + yBC，所以B0 = X (0A __ 0B) + y(0C __ 0B)，
_→ __→ __→
所以X0A + y0C = (X + y __ 1)0B ， （10 分）
由 得x2 R2 + y2 R2 + 2xy2 R2 ， （11 分）所以x2 + y2 = (x + y __ 1)2，所以xy = x + y （12 分）因为xy ，当且仅当x = y时，等号成立， （13 分）
所以x + y ，即(x + y)2 __ 4(x + y) + 2 ≥ 0 ， （14 分）
得(x + y __ 2)2 ≥ 2，得x + y ≥ 2 + √ 2或x + y ≤ 2 __ √ 2． （15 分）因为三角形ABC为锐角三角形，其外心必在三 角形ABC内，
_→ __→ __→
由B0 = xBA + yBC可知x > 0, y > 0，
再由xEQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),A) + yEQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__→),0C) = (x + y __ 1)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),0)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),B)可知x + y < 1， （16 分）所以x + y ≥ 2 + √ 2应舍去，所以x + y ≤ 2 __ √ 2，
所以x + y的最大值为2 __ √ 2． （17 分）
(法二)以OC、OA 为x、y 轴建系，LB0C = 2A，则 C(R,0)，A(0,R) ，B(Rcs2A, __Rsin2A) ， （10 分）
（没图扣一分）
_→ __→ __→
由B0 = (__Rcs2A, Rsin2A)，BA = (__Rcs2A, R + Rsin2A)，BC = (R __ Rcs2A, Rsin2A)， （11 分）
由EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__),B)_EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(_→),0) = xEQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__→),BA) + yEQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(__→),BC)(x > 0, y > 0)，得
__Rcs2A = x (__Rcs2A) + y(R __ Rcs2A)，Rsin2A = x (R + Rsin2A) + yRsin2A， （12 分）即(x + y __ 1)Rcs2A = yR ，(x + y __ 1)Rsin2A = __xR < 0，可得x + y __ 1 < 0 ， （13 分） (x + y __ 1)2 = x 2 + y2 ，所以xy = x + y __ （14 分）
因为xy ，当且仅当x = y时，等号成立， （15 分）
得(x + y __ 2)2 ≥ 2，得x + y ≥ 2 + √ 2或x + y ≤ 2 __ √ 2,又x + y __ 1 < 0 （16 分）
所以x + y ≤ 2 __ √ 2，所以x + y的最大值为2 __ √ 2． （17 分）
19．解：（1）对于 x2+x+1 ＝0，它的两个根为
不妨设z cs isin cs isin （1 分）
从而z3 = cs isin （2 分）
z4 = cs isin （3 分）
（2）设点 P(x0,y0)对应的复数为 z0 =x0+y0i ，点 Q(x,y)对应的复数为 z=x+yi （4 分）
由题意 z＝z0（csθ+isinθ) （5 分）
得（x0+y0i）•（csθ+isinθ) =x0csθ __y0sinθ+（x0sinθ+y0csθ) i=x+yi （6 分）
所以 x=x0csθ __y0sinθ, y=x0sinθ+y0csθ （7 分）
（3）由题意