2024-2025学年广东省实验中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省实验中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z=1+4i(i为虚数单位)，则iz+2z的虚部是( )
A. 3B. 3iC. 4D. −4
2.下列各组向量中，能作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,1)B. e1=(1,2)，e2=(−2,1)
C. e1=(−3,4)，e2=(35,−45)D. e1=(2,6)，e2=(−1,−3)
3.已知a=e0.1，b=ln13，c=sin2，则a,b,c的大小关系是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>a>b
4.已知sinα−csα=15，则sin2α=( )
A. 1225B. −1225C. 2425D. −2425
5.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( )
A. 33πB. πC. 2πD. 3π
6.在▵ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，若S▵ABC= 34a2+b2−c2(其中S▵ABC表示▵ABC的面积)，且ABsinC+ACsinB⋅BC=0，则▵ABC的形状是( )
A. 有一个角是30°的等腰三角形B. 等腰直角三角形
C. 有一个角是30°的直角三角形D. 等边三角形
7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2, AA1=3，若点P在平面ACC1A1上运动，则PB+PB1的最小值为( )
A. 2+ 13B. 11+ 2C. 17D. 2 2
8.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinωt.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数y=Asinωt中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是( )．
A. 函数f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯+1100sin100x具有奇偶性
B. 函数f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x在区间−π8,π8上单调递增
C. 若声音甲对应函数近似为f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x，则声音甲的响度不一定比纯音ℎ(x)=12sin2x的响度大
D. 若某声音乙对应函数近似为g(x)=sinx+12sin2x，则声音乙一定比纯音ℎ(x)=12sin3x更低沉
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 一个棱柱至少有六个面B. 棱台的各侧棱延长后交于一点
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
10.设z，z1，z2均为复数，则下列命题中正确的是( )
A. 若复数z1=z2，则z⋅z1=z⋅z2B. 若|z|=1，则z+i的最大值为2
C. 若z12+z22=0，则z1=z2=0D. 若|z+1|=|z−1|，则z为纯虚数
11.定义：a,b两个向量的叉乘a×b=a⋅b⋅sina,b，则以下说法正确的是( )
A. 若a×b=0，则a→/\!/b→
B. λa×b=(λa)×b
C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于AB×AD
D. 若a×b= 3,a⋅b=1，则a+b的最小值为 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−2,3−λ)，b=(1,λ)，若a//b，则b= ．
13.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的
直观图，其中O′A′=3，O′C′=1，则原图形面积是 ．
14.已知等腰▵ABC中，AB=AC=1，点D满足AD⊥CD，且BC=2AD，则BD的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,00，所以csA=0，所以A=90°．
(2)由(1)可得，A=90°，所以▵ABC三个内角A,B,C都小于120°，
则由费马点的定义可知：∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，
设PA=x,PB=y,PC=z，由S▵PAB+S▵PAC+S▵PBC=S▵ABC，
得12xy⋅ 32+12xz⋅ 32+12yz⋅ 32=12×6，整理得：xy+xz+yz=4 3，
所以PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA=xy⋅−12+yz⋅−12+xz⋅−12=−12×4 3=−2 3；
(3)由费马点的定义可知：∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，
设|PB|=m,|PC|=n,|PA|=p,m,n,p>0，则PA=−pPBm+PCn，
又PA=xPB+yPC，所以由平面向量基本定理有x=−pm,y=−pn．
由余弦定理可得：|BC|2=m2+n2−2mncs120°=m2+n2+mn，
|AB|2=p2+m2−2mpcs120°=p2+m2+pm，|AC|2=p2+n2−2npcs120°=p2+n2+pn，
因为A=90°，所以|BC|2=|AB|2+|AC|2，
所以有m2+n2+mn=p2+m2+pm+p2+n2+pn，化简可得：mn=pm+pn+2p2，
将m=−px,n=−py代入上式，化简得2xy−x−y−1=0．
因为xy≤x+y22，当且仅当x=y结合2xy−x−y−1=0解得x=y=1− 32时等号成立，
设x+y=t，所以t22−t−1≥0，解得t≥1+ 3或t≤1− 3，
因为x