广东河源市河源中学等校2025-2026学年高二年级下学期4月份学情调研数学试题

这是一份广东河源市河源中学等校2025-2026学年高二年级下学期4月份学情调研数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A20262C20262=（ ）
A．12B．2C．12026D．2026
2．曲线f(x)=ex在点(0,f(0))处的切线方程为（ ）
A．x+2y+2=0B．x+2y−2=0C．x−2y+2=0D．x−2y−2=0
3．设f'(x)是f(x)的导函数，已知f(x)=3f'(1)x−2lnx，则f'(1)=（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
4．甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标A，且地标B,C,D的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（ ）
A．360种B．720种C．1440种D．2160种
5．学校图书馆有4个不同的借阅窗口（编号为1,2,3,4），现将3本完全相同的图书放到这4个窗口展示，每个窗口可放多本也可不放，则不同的摆放方法共有（ ）
A．12种B．16种C．20种D．24种
6．函数f(x)=10|x|ln|x|x3的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知三次函数f(x)=x3−4x2+4x，若不等式f(x)≤m的解集为{x∣x≤m}，则实数m的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
8．设a=e12026,b=20272026,c=e12027，则（ ）
A．a>c>bB．b>c>aC．c>a>bD．a>b>c
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m，n均为正整数，且m1)D．1n−mAnm+1=Anm
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（ ）
A．四名同学的报名情况共有34种
B．每个项目都有人报名的情况共有36种
C．四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种
D．恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种
11．已知函数f(x)=sinx3+csx，则（ ）
A．f(x)为奇函数B．f(π+x)=f(x)
C．f(π−x)=−f(x)D．f(x)在0,π2上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)，则f'(3)= .
13．已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有 种（用数字作答）
14．某Livehuse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有 种不同的颜色搭配方案．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．现有4名男生、3名女生站成一排拍照留念，在下列不同条件下，求不同的站法总数．（结果用数字作答）
（1）要求女生互不相邻；
（2）若甲、乙是这7人中的2人，则要求甲不站在排头，乙不站在排尾.
16．已知函数f(x)=x3+x+2x.
（1）判断f(x)的单调性；
（2）若关于x的方程f(x)=m只有1个实数解，求实数m的取值范围.
17．某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一个项目．
（1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
（2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安排方案？
18．已知函数f(x)=ax−3+1x+1(a∈R).
（1）当a=1时，求f(x)的极值；
（2）若3x−2≥f(x)对∀x∈[0,+∞)恒成立，求a的取值范围；
（3）若a=3，证明：当0≤xf(x).
19．已知函数f(x)=ax3+2x2+2x(a∈R) ，且x=1为f(x)的极值点.
（1）求a的值；
（2）过原点(0,0)作曲线y=f(x)的切线，求切线方程；
（3）过点(0,m)(m∈R) 作曲线y=f(x)的切线，讨论切线的条数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A20262C20262=2026×20252026×20252×1=2026×2025×22026×2025=2．
故答案为：B
【分析】本题考查排列数与组合数的计算公式，核心是利用公式化简求解比值。
2．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为f(x)=ex=ex2，所以f'(x)=12ex2，所以f'(0)=12，又f(0)=1，
所以曲线f(x)=ex在点(0,f(0))处的切线方程为y−1=12(x−0)，
即x−2y+2=0.
故答案为：C
【分析】本题考查导数的几何意义，解题核心是先求函数在点x=0处的导数值（切线斜率）和函数值，再用点斜式写出切线方程。
3．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由f(x)=3f'(1)x−2lnx，求导得f'(x)=3f'(1)−2x，则f'(1)=3f'(1)−2，解得f'(1)=1.
故答案为：A
【分析】本题考查导数的运算，核心思路是先对函数求导，再将x=1代入导函数，建立关于f'(1)的方程求解。
4．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一个介绍的是地标A，则只需要排列剩下7个文化地标，
先将B,C,D这三个地标捆绑，再和其他4个地标排列，共有A55A33=720种．
故答案为：B
【分析】本题考查排列组合中的捆绑法，解题核心是先固定第一个元素，再将相邻元素捆绑，分步计算排列数。
5．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：分3种情况讨论：①3本书放在同一个窗口，有C41=4种摆放方法；
②3本书放在2个窗口，一个窗口放2本，另一个窗口放1本，有C41C31=4×3=12种摆放方法；
③3本书放在3个窗口，每个窗口各放1本，有C43=4种摆放方法，
所以不同的摆放方法共有4+12+4=20种．
故答案为：C
【分析】本题考查隔板法或分类讨论法，解题核心是根据3本相同图书的不同分配方式，分情况计算摆放方法数。
6．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数f(x)=10|x|ln|x|x3的定义域为{x∣x≠0}，且f(−x)=10|−x|ln|−x|(−x)3=−10|x|ln|x|x3=−f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，B错误；
当x>0时，f(x)=10xlnxx3=10lnxx2，则f'(x)=10x−20xlnxx4=10(1−2lnx)x3，由f'(x)>0，得00，f'(x)>0，f(x)单调递增，D正确。
故答案为：AD。
【分析】A：利用奇函数定义f(−x)=−f(x)验证；B、C：代入诱导公式计算f(π+x)、f(π−x)，与f(x)或−f(x)对比；D：通过求导判断导数符号，分析函数单调性。
12．【答案】2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题可得f'(x)=(x−2)(x−3)+(x−1)(x−3)+(x−1)(x−2)，
则f'(3)=0+0+(3−1)(3−2)=2.
故答案为：2
【分析】本题考查多因式乘积的求导法则，解题核心是利用乘积求导公式求导后代入计算。
13．【答案】144
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步，优先排丙，只能排第四、五、六名，共有3种；
第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2种；
第三步，剩下四个人排剩下四个位置，共有A44=24种，
利用分步计数乘法原理可得：总共可能的排名情况有：3×2×24=144种，
故答案为：144.
【分析】本题是排列组合问题，解题核心是分步计数，优先安排特殊元素，再安排普通元素。
14．【答案】260
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选，
若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选；
若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选，
所以该舞台灯区共有5×4×(1×4+3×3)=260种不同的颜色搭配方案．
故答案为：260
【分析】本题是环形排列的染色问题，解题核心是分步分析每个灯区的颜色选择数，并根据第 3 个灯区与第 1 个灯区是否同色分情况讨论。
15．【答案】（1）解：先排4名男生，有A44=24种排法，
在4名男生产生的空隙中插入3名女生，有A53=60种排法，
所以女生互不相邻的不同站法总数为24×60=1440种.
（2）解：7人站成一排有A77=5040种不同的站法，
甲站在排头的站法有A66=720种，
乙站在排尾的站法有A66=720种，
甲站在排头且乙站在排尾的站法有A55=120种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的不同站法有5040−720−720+120=3720种.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 利用插空法解决女生不相邻问题：先排男生，再在男生形成的空隙中插入女生；
(2) 利用间接法（容斥原理），先算全排列，再减去不符合条件的情况，最后加上重复减去的部分。
（1）先排4名男生，有A44=24种排法，
在4名男生产生的空隙中插入3名女生，有A53=60种排法，
所以女生互不相邻的不同站法总数为24×60=1440种.
（2）7人站成一排有A77=5040种不同的站法，
甲站在排头的站法有A66=720种，
乙站在排尾的站法有A66=720种，
甲站在排头且乙站在排尾的站法有A55=120种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的不同站法有5040−720−720+120=3720种.
16．【答案】（1）解：因为f(x)=x3+x+2x=x2+2x+1,x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
所以f'(x)=2x−2x2=2x3−1x2，
则当x0,f(x)单调递增，
所以f(x)在(−∞,0),(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.
（2）解：f(x)=x2+2x+1,x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
由（1）知当x0，得x0，
所以f(x)在(−∞,−2)上单调递增，在(−2,−1),(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)的极大值为f(−2)=−6，极小值为f(0)=−2.
（2）解：由3x−2≥f(x)，得3x−2≥ax−3+1x+1，
化简得(3−a)x−1x+1+1≥0，
设g(x)=(3−a)x−1x+1+1,x∈[0,+∞)，
则g'(x)=3−a+1(x+1)2，
当3−a≥0，即a≤3时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)≥g(0)=0，符合题意；
当3−a3时，当x→+∞时，g(x)→−∞，不满足g(x)≥0对∀x∈[0,+∞)恒成立，不符合题意.
综上，a的取值范围为(−∞,3].
（3）证明：若a=3，则由（2）得当0≤xf(x)，可证tanx>3x−2.
令ℎ(x)=tanx−3x+2,x∈0,π2，
则ℎ'(x)=1cs2x−3=1−3cs2xcs2x=(1+3csx)(1−3csx)cs2x，
令ℎ'(x)=0，得1−3csx=0，则csx=33，
设csx0=33,x0∈0,π2，
则当0≤x0,ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)≥ℎx0=tanx0−3x0+2 ，
因为csx0=33,x0∈0,π2，
所以tanx0=1−cs2x0csx0=20.
则ℎ(x)>0，即tanx−3x+2>0，
所以tanx>3x−2得证，
所以当0≤xf(x).
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 当 a=1 时，对 f(x) 求导，根据导数的正负判断单调性，进而求出极大值和极小值；
(2) 将不等式 3x−2≥f(x) 整理为 g(x)=(3−a)x−1x+1+1≥0，分析 g(x) 在 [0,+∞) 上的单调性与取值，确定 a 的范围；
(3) 结合(2)的结论，先证明 tanx>3x−2，再利用 3x−2≥f(x) 间接证明 tanx>f(x)。
（1）当a=1时，f(x)=x−3+1x+1,x≠−1，
则f'(x)=1−1(x+1)2=x(x+2)(x+1)2，
令f'(x)0，可得−130，可得−130,g(x)单调递增；
当00,g(x)单调递增，
所以当x=0时，gx取到极大值g(0)=0，
当x=13时，gx取到极小值g13=−227，
因此当m0时，g(x)的图象与直线y=m有且仅有1个交点；
当m=−227或m=0时，g(x)的图象与直线y=m有2个交点；
当−227