中考数学一轮复习考点题型分类训练专题27 矩形的性质与判定【十四大题型】（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习考点题型分类训练专题27 矩形的性质与判定【十四大题型】（2份，原卷版+解析版），文件包含第二十二章能源与可持续发展初中物理九年级全一册同步教学课件人教版2024pptx、第二十二章能源与可持续发展同步练习含答案解析docx、第二十二章能源与可持续发展同步练习docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共52页， 欢迎下载使用。
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\l "_Tc5584" 【题型1 利用矩形的性质求角度、线段长、面积、坐标】 PAGEREF _Tc5584 \h 2
\l "_Tc2080" 【题型2 矩形的判定定理的理解】 PAGEREF _Tc2080 \h 3
\l "_Tc10998" 【题型3 根据矩形的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc10998 \h 4
\l "_Tc15191" 【题型4 根据矩形的性质与判定求面积】 PAGEREF _Tc15191 \h 5
\l "_Tc11509" 【题型5 根据矩形的性质与判定求线段长】 PAGEREF _Tc11509 \h 6
\l "_Tc1926" 【题型6 根据矩形的性质与判定求最值】 PAGEREF _Tc1926 \h 7
\l "_Tc25222" 【题型7 与矩形有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc25222 \h 8
\l "_Tc26267" 【题型8 根据矩形的性质与判定解决多结论问题】 PAGEREF _Tc26267 \h 9
\l "_Tc23437" 【题型9 与矩形有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc23437 \h 11
\l "_Tc30680" 【题型10 矩形有关的动点问题】 PAGEREF _Tc30680 \h 12
\l "_Tc30084" 【题型11 与矩形有关的折叠问题】 PAGEREF _Tc30084 \h 13
\l "_Tc30979" 【题型12 矩形与一次函数综合】 PAGEREF _Tc30979 \h 15
\l "_Tc23663" 【题型13 矩形与反比例函数综合】 PAGEREF _Tc23663 \h 16
\l "_Tc32286" 【题型14 矩形与二次函数综合】 PAGEREF _Tc32286 \h 18
【知识点 矩形的性质与判定】
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
3）对角线互相平分且相等；
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.
【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.
矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形.
【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．
【题型1 利用矩形的性质求角度、线段长、面积、坐标】
【例1】（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【变式1-1】（2023·甘肃武威·统考三模）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式1-2】（2023·江苏南通·统考二模）如图，矩形ABCD中，点E，点F分别在边AB,BC上，线段AF与线段DE相交于点G，若AB=4,BC=6,AE=BF=3，则FG的长度为 ．
【变式1-3】（2023·天津河东·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是BD的中点.若AB=OB=23，则点C的坐标是（ ）

A．（3，3）B．−3,−3C．(3，3）D．(−3,−3)
【题型2 矩形的判定定理的理解】
【例2】（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB∥CDB．AD=BCC．∠A=∠BD．∠A=∠D
【变式2-1】（2023·山东青岛·统考三模）如图，△ABC和△ACF都是等边三角形，AE、FD分别是BC、AC边上的中线，连接ED并延长交AF于G，连接CG．
(1)求证：△ADG≌△CDE；
(2)求证：四边形AECG是矩形．
【变式2-2】（2023·北京·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．

(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)AE=BE，AB=2，tan∠ACB=12，求BC的长．
【变式2-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，△ABC中，D是BC中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．请从以下三个条件：①AB=AC；②FB=AD；③E是AD的中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形AFBD为矩形．

(1)你添加的条件是 ；（填序号）
(2)添加条件后，请证明四边形AFBD为矩形．
【题型3 根据矩形的性质与判定求角度】
【例3】（2023·河北承德·统考二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD,∠OAD=55°，则∠OAB的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【变式3-1】（2023·吉林·吉林省第二实验学校校考模拟预测）概念提出
若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
(1)下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)初步应用
在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
(3)深入研究
在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【变式3-2】（2023·河南新乡·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点D、E分别在边BC、AB上，BD=2，DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D'、E'，当A、D'、E'三点共线时，∠EBE'的度数为 ．
【变式3-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，AD=BC．

(1)在CD上求作一点E，使得∠AED=∠CDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接DE，CE，AE，若∠ECA=2∠CAB，求∠CAB的大小．
【题型4 根据矩形的性质与判定求面积】
【例4】（2023·山东威海·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AD=3，CD=2．连接AC，过点B作BE//AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC=2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）

A．5B．25C．6D．213
【变式4-1】（2023·广西梧州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（ ）
A．6B．12C．24D．48
【变式4-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，且S△AOC=8，则正六边形ABCDEF的面积为（ ）

A．18B．24C．30D．随着点O的变化而变化
【变式4-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）已知矩形ABCD，点E在AD边上，DE90°沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠ADB，得到如图2所示的△DB'C，连接AC，BB'，∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB'；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④BB'=3AB．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【变式8-2】（2023·山东临沂·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=32,AD=6，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点，现给出以下结论：①∠AEG与∠GFB一定相等；②点G到边AB，BC的距离一定相等；③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边DC的距离的最小值为3，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

【变式8-3】（2023·广东东莞·塘厦初中校考二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为234﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型9 与矩形有关的规律探究问题】
【例9】（2023·湖南永州·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,CB=4，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1相似于矩形；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2相似于矩形ACC1B1；……按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作S1，矩形ACC1B1的面积记S2，矩形AC1C2B2的面积记作S3，……，则S2024的值为 ．

【变式9-1】（2023·辽宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE=DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到ΔEF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到ΔEF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到ΔEF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则ΔEFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）

【变式9-2】（2023·广西南宁·三模）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF=2AF，点E1是CB边的中点，连接E1F，E1D，得到△E1FD；点E2是CE1的中点，连接E2F，E2D得到△E2FD；点E3是CE2的中点，连接E3F，E3D，得到△E3FD；…按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于6，则△E2023FD的面积是 ．
【变式9-3】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，点P1、Q1、H1分别在边AB、AC、BC上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1:P1B=2:3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2:P2H1=2:3，……按此规律操作下去，则线段CQ2023的长度为 ．

【题型10 矩形有关的动点问题】
【例10】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=6，AD=15，点E在边BC上．且∠AED=90°，P是射线ED上的一个动点．若△AEP是等腰直角三角形，则CP的长为 ．
【变式10-1】（2023·广东清远·统考二模）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=8,AD=6,F是BC边上一动点，O是AC的中点，OE⊥OF交AB于E，连接EF、OB．若OB将△OEF的面积分成1:2的两部分，则BF的长为 ．
【变式10-2】（2023·河南南阳·校联考一模）【初步探究】
（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空： △EB'M △B'AN（“≌”或“∽”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE,DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为 ．
【变式10-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）在矩形ABCD中，E是边CD上一点．

(1)如图1，点D，F关于直线AE对称．平移线段DE，使点E与点F重合，设点D的对应点为G．画出示意图，判断四边形DEFG的形状并证明；
(2)如图2，若DE=k⋅DC(k为常数)，H是矩形内的动点，且满足EH=ED，若点H在运动的过程中，存在线段BH长度最小时，点D，H恰好关于直线AE对称的情形，请探究矩形ABCD的边AD与CD满足的数量关系．（用含k的式子表示）
【题型11 与矩形有关的折叠问题】
【例11】（2023·黑龙江·统考中考真题）矩形ABCD中，AB=3,AD=9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 ．
【变式11-1】（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM﹐同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE=1，则MN=（ ）

A．32B．1C．233D．2
【变式11-2】（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点0