河北省玉田县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份河北省玉田县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．30C．D．
4．将5个不同的字母a，b，c，d，e排成一列，要求a必须排在b的左侧（不一定相邻），则不同的排法共有（ ）
A．24种B．60种C．96种D．120种
5．一物体做变速运动，其位移s随时间t的变化关系为指数复合函数：（其中为自然对数的底，单位：s为米，t为秒），求当秒时，该物体的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
6．已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（ ）
A．0.6B．0.8C．0.75D．0.5
7．若不等式对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
8．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列关于排列组合的说法，正确的是（ ）
A．
B．
C．6个人排成一排，在甲、乙相邻且乙、丙不相邻的排法有192种
D．把5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则有150种不同放法
10．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为B．展开式中各项的系数之和为1
C．展开式中二项式系数最大的项为第4项D．展开式中有理项共有6项
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．当时，函数有且仅有1个极值点
C．当时，不等式在上恒成立
D．若函数有两个极值点，，则
三、填空题
12．某文艺小组有7人，其中：3人只会唱歌，2人既会唱歌又会跳舞，2人只会跳舞．现从中选出2人，1人唱歌，1人跳舞，共有________种不同的选法．
13．的展开式中，含项的系数为________．
14．若不等式，对恒成立，则正实数a的取值范围是________．
四、解答题
15．已知函数
(1)求在处的切线方程．
(2)求的单调区间．
(3)求在区间上的最值．
16．从数字0，1，2，3，4，5这6个数字中任选3个不同的数字，组成一个三位数
(1)可以组成多少个不同的三位数？
(2)可以组成多少个不同的三位偶数？
(3)可以组成多少个能被5整除的三位数？
(4)若将所有组成的三位数按从小到大的顺序排列，求第50个是多少？
17．某学校进行体能测试，共有A，B两个项目，根据以往数据：学生通过A项目的概率为0.6，在通过A项目的前提下通过B项目的概率为0.8，在未通过A项目的前提下通过B项目的概率为0.4．设随机变量X表示一名学生通过项目的个数．
(1)求一名学生通过A项目但未通过B项目的概率．
(2)求随机变量X的分布列的期望和方差．
(3)现从全校随机抽取一名学生，若已知他至少通过了一个项目，求他通过A项目的概率．
18．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256．
(1)求正整数n的值．
(2)求展开式中含的项的系数．
(3)求展开式中系数最大的项．
19．已知函数
(1)讨论的单调性
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围
(3)若有两个不同的极值点，，且，求证：
参考答案
1．D
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
2．D
【详解】由图象可得，在上单调递减，故在恒成立，在上是先增后减再增，
故其导函数在上的函数值是先正后负再正，只有D选项符合题意.
3．A
【详解】的展开式中,含项为六个括号中五个取还有一个括号取常数相乘得到.
故含的项的系数为
4．B
【详解】首先，5个不同字母的全排列数为，
在所有全排列中，对于任意一个排列，要么位于的左侧，要么位于的右侧，
两类排列一一对应，数量相等，因此满足排在左侧的排法共有种.
5．C
【详解】根据导数的物理意义，做变速运动的物体的瞬时速度为位移函数对时间的导数，
，则，
将代入导函数得，
即秒时，物体的瞬时速度为米每秒.
6．C
【详解】记甲击中目标为事件，记乙击中目标为事件，则，，
记击中目标为事件，则，
所以，
又，所以.
7．A
【详解】令，则.
当时，，此时在上单调递增，且，此时不满足对任意实数恒成立.
当时，，不满足对任意实数恒成立.
当时，令，得.
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，.
要使对任意实数恒成立，则，即.
令，，令，则.
当，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.
，因此，当且仅当时，，即成立.
综上，实数的取值范围是.
8．B
【详解】，.
当时，，在上单调递增，此时最多只有一个零点，不符合题意.
当时，令，得
当.
要使函数有三个不同的零点，则，解得.
综上，实数的取值范围是.
9．ACD
【详解】，故A正确，
，故B错误，
甲、乙相邻共有种，甲、乙相邻且乙、丙相邻共有种，
故目标排法共有种，故C正确，
把5个球分成3组，按分组共有种，按分组共有种，故总分组数有种，
故把5个不同的小球放入3个不同的盒子有种，故D正确.
10．ABC
【详解】选项A，，，
则，解得，
则常数项为，A正确.
选项B，设，则，即各项系数之和为，B正确.
选项C，该展开式共项，为偶数，
根据二项式系数的性质，二项式系数最大的为中间项，即第4项，C正确.
选项D， ，
有理项要求的指数为整数，的指数为，
则取到的整数时指数均为整数，故有理项共项，D错误.
11．ACD
【详解】当时，，，
令，解得，即在上单调递增，
因为，选项A正确；
当时，，
，令，
，
令，，单调递增，
令，，单调递减，
所以在处取得最大值
又因为，，
所以在上有一个零点，在上有一个零点，
即有两个变号零点，函数有两个极值点，选项B错误；
在单调递减，且，
所以当，，在单调递减，
所以，不等式在上恒成立，选项C正确；
若函数有两个极值点，，
即有两个不同的根，有两个不同的根，
，两式相减得，即，
要证，即证，
令，则，
即证，
即证，
令，，
所以在上单调递增，
，即，
所以，选项D正确.
12．
【详解】情况一：从只会唱歌的3人选取1人唱歌，再从其余的4人中选取1人跳舞，共有种选法.
情况二：从既会唱歌又会跳舞的2人中选取1人唱歌，再从其余的3人中选取1人跳舞，共有种选法.
根据分类加法计数原理，共有种选法.
13．
【详解】展开式的通项公式为.
，.
的展开式中，含项系数为.
14．
【详解】由题可知，对恒成立，
令，
则，，
即求，对恒成立时，正实数a的取值范围
因为，
则当时，
在上单调递增，
又因为当时，，
所以对恒成立，
则，
令，，
令，解得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
所以.
15．(1)切线方程为；
(2)单调递减区间为，单调递增区间为；
(3)最小值为，最大值为.
【详解】（1）函数的定义域为，，
所以，即切点为，，
由点斜式得切线方程为，即.
（2）将导函数整理为，
令，解得，令，解得，
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，
计算端点与极值点的函数值：
比较大小：，因此：最小值为；最大值为.
16．(1)100
(2)52
(3)36
(4)321
【详解】（1）百位不能为0，三位数共有个.
（2）末位为0的三位偶数有个；
末位为2或4， 共 种选法，百位不能为0且与个位不同，共 种选法，十位从剩余4个数字选1个，共 种选法，此类共个.
总个数为.
（3）能被5整除的三位数要求个位为0或5，分两类：
当末位是0时，百位从1~5选1个（5种），十位从剩余4个数字选1个（4种），共个；
当末位是5时，百位不能为0且不为5，共 种选法，十位从剩余4个数字选1个，共 种选法，此类共个.
由分类加法计数原理，总个数为.
（4）按从小到大排序，逐位确定：
① 百位为1时，十位有5种选择、个位有4种选择，共个；
② 百位为2时，同理共20个；
此时已排个，第50个在百位为3的数中，且是第个.
③ 百位为3时，按从小到大排列：
十位为0时，个位可选1、2、4、5，共4个，对应第41~44个；
十位为1时，个位可选0、2、4、5，共4个，对应第45~48个；
十位为2时，第49个为320，第50个为321.
故第50个三位数是321.
17．(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）设事件表示“学生通过A项目”，事件表示“学生通过B项目”，
由题意得：，，.
所求为通过A项目但未通过B项目的概率，由乘法公式得：
.
（2）随机变量的可能取值为：
① ；
② ；
③ .
所以 .
计算，
由方差公式，代入得： .
（3）设事件表示“该学生至少通过一个项目”，则，故.
所求为条件概率，由条件概率公式： ，
由于发生时必有至少1个项目通过，即，故，代入得： .
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）二项式展开式所有项的二项式系数之和为，由题意得，解得.
（2）由得二项式为，其展开式通项为： Tk+1=C8k⋅(x)8−k⋅(−2x)k=(−2)kC8kx8−3k2(k=0,1,2,…,8) ，
令，解得，不满足，故展开式中不含的项，对应系数为.
（3）设第项的系数为，
当为奇数时，不可能为最大值，仅需比较为偶数时的系数大小.
令（），相邻偶数项的系数比值为： ，
当时比值大于1，系数递增；当时比值小于1，系数递减，
故即时系数最大.
将代入通项得： ，即系数最大的项为.
19．(1)当时，时， 单调递减；当时， 单调递增，
当时，在上单调递减；在上单调递增，
当时， 在单调递减，
当时，时， 单调递减；
当时， 单调递增；
当时， 单调递减.
(2)
(3)有两个不同的极值点，，由（1）知，
又，，
，，
又当时， 在单调递减，
.
【详解】（1）已知函数，定义域为，求导得，
令，
当时，，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，对称轴，，则仅有唯一的正根为，
故在上，单调递减；在上，单调递增，
当时，①，即，对称轴，令，解得，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
②，即，，单调递减，
综上，当时，时， 单调递减；当时， 单调递增，
当时，在上单调递减；在上单调递增，
当时， 在单调递减，
当时，时， 单调递减；
当时， 单调递增；
当时， 单调递减.
（2）由题意得在上恒成立，，
令，得，
令，则，，
，故在上单调递增，，
故实数a的取值范围为.
（3）略
极大值
极小值