2027届高考数学一轮总复习第61讲 排列与组合（课件）

这是一份2027届高考数学一轮总复习第61讲 排列与组合（课件），共95页。PPT课件主要包含了排列与组合的概念，一定的顺序，◆知识聚焦◆，排列数与组合数，不同排列，题组一常识题，◆对点演练◆，题组二常错题，探究点一排列问题，探究点二组合问题等内容，欢迎下载使用。
通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
不同组合
常用结论1.排列的常用方法：（1）相邻问题——捆绑法；（2）不相邻问题——插空法；（3）定序问题（或相同元素）——用除法处理；（4）分排问题——直排法.
（3）六个不同的小球的分三组结论：
1.［教材改编］某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名参加校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有___种.
2.［教材改编］某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条.学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为____.
◆ 索引：不能正确区分排列与组合;不能正确运用捆绑法致误;部分均匀分配问题不明白原理;分类标准不清致误.
4.从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有___种选法;若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案种数为_____;若甲不参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为____.
5.已知4个男生，3个女生站成一排，若3个女生必须排在一起，则有_____种不同的排法；若甲、乙2人之间恰好有3个人，则有_____种不同的排法.（用数字作答）
6.有五位志愿者参加三项志愿活动，每人至少参加一项，每项活动至少一人参加，则不同的参加方式种数为_____.
A.8种B.14种C.18种D.24种
［思路点拨］按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解.
（2）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有( )
A.42种B.72种C.78种D.120种
［思路点拨］思路一：根据题意，按甲同学的排名分两种情况讨论，求出每种情况下的可能排名数目，由分类加法计数原理计算可得答案；思路二：首先考虑没有任意限制条件的所有排名方法，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案.
[总结反思]求排列问题的注意点（1）有些排列的问题，可以根据机会均等的关系或每个元素出现的机会所占整个问题的比例关系使问题得到解决.（2）间接法是解决排列问题的常用方法，即遇到直接进行解题步骤多, 不易计算时，可以考虑先计算出总的情况数,然后计算出不满足要求的情况数,最后用总的情况数减去不满足的情况数即得最后答案.（3）求解排列问题往往有多个不同的思路，若选择方法得当，则求解过程简单，容易让人接受，否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误，因此，可借助分类讨论思想来求解.
变式题（1）已知4张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，8.将这4张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为( )
A.384B.360C.120D.368
（2）电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为_____（用数字作答）.
例2（1）某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为( )
A.84B.90C.96D.100
［思路点拨］思路一：直接法，即分1男2女，2男1女两种情况求解；思路二：间接法，即先求出无任何限制条件的选法，然后减去全是男生和全是女生的选法.
A.12B.24C.28D.36
[总结反思]解决组合问题的注意点（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.（3）成双成对的元素一般是先取双再取单.
变式题（1）[2025·天津十二区重点学校二联]将5个颜色互不相同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A.3种B.4种C.10种D.25种
（2）[2025·辽宁辽南协作体三模]将9本不同的书平均分成三摞，如图所示，现将这9本书全部取走，且每次只能从其中一摞的上面取1本，则不同的取法有( )
探究点三 排列与组合的综合应用
角度1 相邻、相间及特殊元素（位置）问题
A.12种B.24种C.36种D.48种
（2）甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法共有( )
A.144种B.168种C.192种D.216种
［思路点拨］分类讨论甲坐的位置，然后根据分类加法计数原理求解即可.
[总结反思]（1）对于有限制条件的排列组合问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）有限制条件的排列问题的常用方法：相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法.
变式题（1）某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有( )
A.16种B.12种C.8种D.6种
（2）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻（仅包括正前后或左右），则不同的站法种数为( )
A.24B.36C.42D.48
A.120B.160C.240D.360
[总结反思]定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.
变式题 一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有( )
A.12种B.20种C.30种D.42种
角度3 相同元素分配问题
例5 [2025·江苏泰州姜堰区二调]2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为( )
A.210B.35C.40D.120
［思路点拨］根据给定条件，选择一个分会场获取5个名额，再将余下的6个名额利用隔板法分到另外三个分会场即可.
变式题 《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题.现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有( )
A.715种B.572种C.312种D.286种
例6 [2025·安徽合肥A10联盟模拟]甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有( )
A.120种B.150种C.180种D.300种
［思路点拨］将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解.
变式题 [2025·湖南娄底质检]长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，当地美食也独具特色.某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为( )
A.90B.120C.150D.180
【备选理由】例1是排列问题，能够加深排列问题的注意点；
例1 ［配例1使用］将六个数0，1，2，9，19，20按任意次序排成一行，拼成一个八位数，则产生的不同的八位数的个数是( )
A.498B.516C.534D.546
例2 ［配例2使用］[2026·山西长治质检]某游戏在山西的取景地共27处，包括长治市的崇庆寺、观音堂，大同市的云冈石窟等，具体分布如下：
某游客计划从中选5处景点游玩，其中长治、晋城的景点各选1处，大同的景点选2处，且云冈石窟必选，则不同的选法有( )
A.26种B.450种C.480种D.1440种
【备选理由】例2考查组合问题的实际应用；
例3 ［配例3使用］把除颜色外完全相同的5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻排在一起的不同排法种数为____.（用数字作答）
【备选理由】例3考查相邻问题，体现整体思想的应用；
例4 ［配例4使用］为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为( )
A.120B.360C.180D.90
【备选理由】例4考查定序问题，强化对有顺序与无顺序的理解；
A.4B.19C.125D.144
【备选理由】例5考查相同元素分配问题，加深对隔板法的应用，同时也考查了不同元素分配问题；
例6 ［配例6使用］将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中每个老师都必须去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有( )
A.240种B.360种C.390种D.420种
【备选理由】例6考查分组分配问题及分类讨论思想的应用.
A.2B.3C.2或5D.3或4
2.[2025·江苏盐城五校联盟月考]对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么四位数的“渐升数”共有( )
A.126个B.91个C.84个D.125个
3.有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生都要有，则不同的选法共有( )
A.135种B.150种C.165种D.270种
4.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6节课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，则不同的排法种数是( )
A.192B.144C.124D.216
5.有4名男生、5名女生排成一行，甲不在正中间也不在两端的排法种数为( )
A.336B.7200C.40 320D.241 920
6.（多选题）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是( )
A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有56种不同的选法B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法C.将这8名学生排成一排，3名女生排在一起的排法共有4320种D.8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有356种排法
7.在不超过20的质数中任取三个不同的数，则其和是偶数的取法有____种.
8.4名男生和2名女生排成一排，若女生必须相邻，则有_____种不同的排法.（用数字作答）
9.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，则不同的分法种数为( )
A.70B.99C.110D.165
A.68种B.98种C.100种D.120种
11.（多选题）由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的四位数，则下列说法错误的是( )
A.该四位数中是奇数的有108个B.该四位数中能被5整除的有108个C.该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个D.若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142
12.现有登山运动员10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需分配到2人，那么不同的分组方法有____种.
13.如图，3根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球个数依次为2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有_____种.（用数字作答）
14.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号.已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有___种.
A.67 000B.67 200C.68 800D.68 880
16.（多选题）有6个红球、3个蓝球和3个黄球.将这些球放在一条直线上按序排列，假设同色球没有区别,则下列说法中正确的有( )
A.将这12个球全排列，不同的排法共有9240种B.蓝球和黄球不相邻的排法有2562种C.同色球不相邻的排法有100种D.不考虑球的顺序，将12个球分为两组（两个组拥有的球的数量可以不同），要求每一组内红球与蓝球的个数之和大于或等于3，则不同的分法有24种