2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国Ⅰ卷含解析（高考真题）

这是一份2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国Ⅰ卷含解析（高考真题），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．样本数据6,8,4,5,12的中位数为( )
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】将数据从小到大排列：4,5,6,8,12，可知中位数为6.
2．己知平面向量a,b不共线，且2a+yb=xa−3b，则( )
A．x=2, y=−3
B．x=−2, y=3
C．x=2, y=3
D．x=−2,y=−3
【答案】A
【详解】由题意可得2−xa+y+3b=0.
因为向量a,b不共线，所以2−x=0,y+3=0, 解得x=2, y=−3.
故选A.
3．己知集合A=sin7π6,cs5π3,tan5π4, B=−32,−12，1，则A∩B=( )
A．−32,−12 B．−32,1 C．−12,1 D．−32,12，1
【答案】C
【详解】sin7π6=−12,cs5π3=12,tan5π4=1, 故A=−12,12,1;
B=−32,−12,1,故A∩B=−12,1.故选C.
4．曲线y=5x+8lnx在点1,5处的切线方程为( )
A．y=3x+2 B．y=5x
C．y=8x−3 D．y=13x−8
【答案】D
【详解】函数求导得y'=5+8x, y'1=5+8=13, 则切线斜率k=13，
切线方程：y−5=13x−1，即y=13x−8. 故选D.
5．已知抛物线C:y2=2p1xp1>0和C2:x2=2p2yp2>0均经过点4，8,则C1的焦点与C2的焦点之间的距离为( )
A．12 B．45 C．6 D．652
【答案】D
【详解】点4,8在C1上，可得82=2p1⋅4⇒p1=8, 故C1的焦点F1=4,0;
点4,8在C2上，可得42=2p2⋅8⇒p2=1, 故C2的焦点F2=0,12.
两点距离F1F2=4−02+0−122=16+14=652.故选D.
6．三角函数fx=x+2ex+a的最大值为1,则a=( )
A．12B．1C．32D．2
【答案】B
【详解】fx=x+2ex+a, f'x=ex+a-x+2exex+a2=a-x+1exex+a2.
若在极值点x0处取到最大值1，则a=x0+1ex0.
代回函数值：fx0=x0+2ex0+x0+1ex0=x0+2x0+2ex0=1ex0.
最大值为1，故e-x0=1,即x0=0,从而a=0+1e0=1.
7．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市,以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩,该塔群共有108座塔,依山势自上而下排成12行,将第i行中塔的座数记为aii=1,2,⋯,12,其中a1=1,a2=a3=3,a4=a5=5．a6…a12是一个首项为7,公差为2的等差数列,将a1…a12分为6组,每组2个数,使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为dd>0的等差数列,则d=( )
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】由题意可知a1+a12=7, 且ai为公差为2的等差数列，
故ai+a13－i=a1+a12=7i=1，2，...，6.
将12个数两两配对相加，得到6个7，构成的等差数列为7−d,7,7+d(每个各出现两次)，其公差为d.
又因原数列公差为2，故2d=4, 解得d=4. 故选B.
8．U=x1,x2,x3∣x6∈{-2-1,1,2},t=1,2,3为空间中64个点构成的集合,点P{1,1,1}．记样本空间Ω=∁U{P}．从Ω中随机取一个点．定义随机变量X如下:对Ω的每个点Ax1,x2,x3,令X(A)=x1+x2+x3．则X的数学期望为( )
A．-121B．-163C．0D．17
【答案】A
【详解】由题意得，全集U=x1,x2,x3∣xi∈-2,-1,1,2,i=1,2,3,共43=64个点. 点P1,1,1∈U.
样本空间Ω=CU{P}, 即去掉P后余下63个点.
随机变量XA=x1+x2+x3.
欲求EX=163A∈Ω​x1+x2+x3.
考虑全集U上所有点的坐标和之和.
由对称性，每个坐标分量独立取值于{-2,-1,1,2}, 且每个值出现次数相等，
对第一个分量x1, 在U中总和为：
每个取值出现42=16次，故
U​x1=16×-2+-1+1+2=16×0=0.
同理U​x2=0,U​x3=0.
因此U​x1+x2+x3=0.
去掉点P1,1,1, 其坐标和为3，故
Ω​x1+x2+x3=0-3=-3.
则EX=-363=-121.
故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分、有选错的得0分.
9．设z=3+2i．则( )
A．z=3-2iB．z=5
C．z2=5+12iD．z+3z-i∈R
【答案】ACD
【详解】z=3+2i=3−2i, 故A正确：
z=32+22=13≠5, 故B错误：
z2=3+2i2=9+12i−4=5+12i, 故C正确：
z+3z−i=6+2i3+i=6+2i3−i3+i3−i=20−2i10=2−15i∈R, 故D正确.
故选ACD.
10．在空间中，A,B为两个定点,动点C到直线AB的距离为2,动点D到直线AB的距离为1,若二面角C-AB-D为60∘,则( )
A．∠CAD≥60∘
B．CD≥3
C．当AB⊥CD时,CD⊥平面ABD
D．当AB⊥平面ACD时,AC⊥AD
【答案】BC
【详解】以AB为z轴，过A作x轴 且AC在xOz平面内，建立空间直角坐标系.
设A0,0,0, B0,0,b, C2,0,z1, Dt,1,z2.
已知C,D到直线AB的 距离分别为2和1，且C,D在直线AB的两侧，
二面角C−AB−D=60∘,即AC与AD的 夹角为120∘.由条件可取z1=z2=0.
则C2,0,0, Dt,1,0.
所以∠CAD=120∘>60∘, 故A错误；
CD=t−22+1≥1, 当t=1时取最小值1=3/3, 故CD≥3, 故B正确：
当AB⊥CD时，AB=0,0,b,CD=t−2,1,0,AB⋅CD=0⇒b=0.
此时AB⊥平面ACD, 而AB与平面ABD相交，故CD⊥平面ABD, 故C正确：
若AB⊥平面ACD, 则AD只需在平面ACD内 ，不必垂直于AC, 不一定有AC⊥AD,故D错误，
故选BC.
11．已知圆C1:x+12+y2=1,圆C2:x-12+y2=1, 圆C3:x2+y-32=1, 直线l:y=kx+b与C1,C2,C3均有两个交点.记l被C1,C2,C3截得的弦长分别为s1,s2,s3则（ ）
A．k可以取任意实数
B．满足s1=s2=s3的直线l共有3条
C．满足s1+s2+s3=3的直线l多于3条
D．当b=0时，s1+s2+s3的最大值为2213
【答案】BC
【详解】三圆半径均为1，圆心分别为−1,0,1,0,0,3, 两两距离均为2，故C1,C2,C3两两外切. 直线l:y=kx+b与三圆均有两个交点，l与三圆的公共弦长分别为s1, s2, s3.
由对称性知直线l关于y轴对称的直线y=−kx+b也满足题意且对应的弦长相同，令l绕y轴旋转，三弦长之和s1+s2+s3不变
故k可取任意实数. 故A错误；
当直线l过三圆相切点的公共点0,32并垂直于y轴时，s1=s2=s3=3. 满足条件的直线l共有该直线及关于y轴对称的两条，故共有3条. 故B正确. 当l通过三圆公共点时，s1+s2+s3=33>3.
当l充分远离三圆时，s1+s2+s3→0.由连续性知存在直线满足s1+s2+s3=3, 且显然不止3条. 故C正确；
当b=0时，直线l过 原点，s1=s2=21−k2kk=1-pk
(ii)证明见详解
【详解】(1)当N=4,p=13时,可能的取值为1,2,3,4．
PX=1=13;
PX=2=23⋅13=29;
PX=3=23213=427;
PX=4=233=827.
(2)(i)当k≤N-1时,事件{X>k}表示前k次均未投中,故PX>k=1-pk．
(ii)当k+m≤N-1时,PX>k+m∣X>k=PX>k+mPX>k=1-pk+m1-pk=1-pm=PX>m.
证毕.
18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点F(−1,0)，离心率为12．
(1)求C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点F且斜率大于0的动直线l与C交于于P,Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一交点为R．
(i)若∆PQR的面积是∆PFO面积的3倍，求l的方程；
(ii)求tanPQR 的最小值．
【答案】见详解
【详解】(1)由F-1,0, 得c=1. 又e=ca=12, 所以a=2,b2=a2-c2=3, 故C:x24+y23=1.
(2)设l:y=kx+1k>0,Px1,y1,Qx2,y2,其中x1>x2. 由y=kx+1与C联立，得3+4k2x2+8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=-8k23+4k2, x1x2=4k2-123+4k2. 椭圆关于原点对称，所以R-x1,-y1,且y1=kx1+1,y2=kx2+1.
(i)由坐标面积公式，SsPQR=kx1-x2,SPPO=y12=kx1+12.
由SBPQRSBPPO=3, 得2x1-x2=3x1+1,即x1+2x2=-3.
令u=k2, 由x1+x2=-8u3+4u与x1+2x2=-3, 得x1=9-4u3+4u, x2=-9+4u3+4u.
代入x1x2=4u-123+4u, 得
9-4u-9-4u3+4u2=4u-123+4u, 解得u=54.
故k=52, 所以l:y=52x+1.
(ii)直线QR的斜率为-y1-y2-x1-x2=kx1+x2+2x1+x2=-34k.
于是tan∠PQR=k+34k1-34=4k+3k≥43.
当k=32时取等号，故tan∠PQR的最小值为43.
19．已知函数fx的定义域为R，且当xfx0．
(1)若当x≥0,fx=1−x, 求D−1;
(2)若fx是奇函数，fx1≤fx2,且x1x2≠0,证明：Dx2⊆Dx1;
(3)fx满足：①若fx1≤fx2，则Dx2⊆Dx1;②当0