2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国Ⅱ卷 含解析（高考真题）

这是一份2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国Ⅱ卷 含解析（高考真题），共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．1-3i2=（ ）
A．-8+6iB．-8-6iC．8+6iD．8-6i
【答案】B
【详解】根据复数的乘法运算，1-3i2=12-2⋅1⋅3i+3i2=1-6i-9=-8-6i．
2．已知集合A={0,1,3,6,9},B={x∣x=x},则A∩B=（ ）
A．{0,1}B．{3,6}C．{0,1,9}D．{0,3,9}
【答案】A
【详解】由题意需先满足x≥0,且x=x⇒x2=x⇒xx-1=0,
所以x=0或x=1,即B={0,1},从而A∩B={0,1,3,6,9}∩{0,1}={0,1}．
3．已知向量a,b满足a+b=1,a-b=3,则a⋅b=（ ）
A．12B．13C．-13D．-12
【答案】D
【详解】将已知条件平方，得a+b2=a2+2a⋅b+b2=1,a-b2=a2-2a⋅b+b2=3．
两式相减得4a⋅b=1-3=-2⇒a⋅b=-12．
4．双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0过点1,0和72,3，则C的渐近线方程是( )
A．y=±32xB．y=±23xC．y=±36xD．y=±26x
【答案】B
【详解】将点1,0代入双曲线方程，得1a2=1 ⇒ a=1．
将点72,3代入，得7221-32b2=1
解得b2=12⇒ b=23．
双曲线的渐近线方程为y=±23x．
5．棱台上下底面均有一个内角为60∘的菱形，上、下底边长分别为2和3，该棱台的高为3,则该棱台的体积为（ ）
A．1912B．196C．194D．192
【答案】D
【详解】上底面面积为S1=22sin60∘=23,
下底面面积为S2=32sin60∘=932．
棱台体积公式为V=13hS1+S2+S1S2．
其中S1S2=23⋅932=33．
代入h=3,得V=13323+932+33=13⋅32+92+3=192．
6．甲、乙、丙、丁等8人分成A,B两技术小组，要求每组4人，甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少种分组方案（ ）
A．10B．12C．16D．24
【答案】C
【详解】由于A,B两组是有标号的，我们先考虑甲、乙所在小组．
若甲、乙在A组，则A组还需选2人，且丙、丁不能同时在A组．
分两类：
丙在A组、丁在B组：从其余4人中选1人进入A组，有C41=4种；
丁在A组、丙在B组：同理有C41=4种．
故甲、乙在A组时共有8种方案．甲、乙在B组时同理也有8种方案，所以总数为8+8=16．
7．已知α为第二象限角，且3sin2αcsα=8sinαcs2α,则1+sinα2-csα=（ ）
A． 34 B．35 C．12 D．512
【答案】C
【详解】利用倍角公式sin2α=2sinαcsα,代入原式：32sinαcsαcsα=8sinαcs2α,
即6sinαcs2α=8sinαcs2α．
因为α为第二象限角，所以sinα>0,等式两边除以2sinα,得3cs2α=4cs2α．
又cs2α=2cs2α-1,于是3cs2α=42cs2α-1 ⇒5cs2α=4．
在第二象限中csα0,2a3=a2+a1,记前n项和为Sn,则（ ）
A．q=-12;B．Sn>2a13C．2Sn+2=Sn+1+SnD．k=1nSk>2na13
【答案】AD
【详解】由2a3=a2+a1得2a1q2=a1q+a1．
由于a1>0,约去a1,得2q2-q-1=0 ⇒2q+1q-1=0．
又q≠1,所以q=-12,
故A正确．
前n项和为Sn=a11--12n1+12=2a131--12n．
当n为偶数时，-12n>0,故Sn0,所以k=1nSk>2na13，D正确．
11．已知抛物线E:y2=8x,斜率kk>0的直线l过点-1,0,△ABC为等边三角形，A在y轴上，B,C在l上，则（ ）
A．抛物线准线方程为x=-2
B．l与y轴交点为(0，-k)
C．若l与E相交于唯一点B,则抛物线焦点在直线AB上
D．当k=2时，△ABC面积最小值为32
【答案】AB
【详解】对抛物线y2=8x,有2p=8,所以p=4,准线方程为x=-p2=-2,故A正确．
直线l过点1,0且斜率为k,方程为y=kx-1=kx-k,
令x=0,得与y轴交点为0,-k,故B正确．
若直线l与抛物线相切，则切点附近的直线不能直接推出焦点在AB上，C错误．题设中BC为定长弦时，△ABC面积的最小值并不等于选项所给数值，D错误．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．Sn为等差数列an的前n项和，若a1=-1,a4=5,则S6= ．
【答案】24
【详解】根据等差数列通项公式，a4=a1+3d→5=-1+3d→d=2．
求前6项和：S6=622a1+5d=3×-2+10=24．
13．若函数fx=2x+2-x-m有两个零点，则m的取值范围是 ．
【答案】2,+∞
【详解】令fx=0,得2x+2-x=m．
设t=2x>0,则方程化为t+1t=m．
对t>0,有t+1t≥2,
等号在t=1(即x=0)时成立．为了使原方程有两个不同实根，水平直线y=m必须与函数y=t+1tt>0有两个不同交点，因此m>2．
14．球O的体积为43π，A,B,C,D四点均在球O的球面上，△ABC为等边三角形，DA=DB=DC=2,则△ABC的面积为 ．
【答案】534
【详解】首先由球的体积求得外接球半径R:VO=43πR3=43π ⇒R=3．
由于DA=DB=DC=2且△ABC为等边三角形，四面体D-ABC为正三棱锥．设等边三角形ABC的外接圆半径为r,边长为r=a3．
则正三棱锥的高为h=DA2-r2=2-r2．
球心O在底面外接圆中心与顶点D的连线上，利用几何关系可得R2=r2+h±z02．
代入R2=3并化简，可得r2=53, ⇒a2=3r2=5．
因此S△ABC=34a2=534．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制如下的频率分布直方图．
频率分布直方图数据如下：
(1)求第一四分位数和中位数；
(2)设p为首次故障时间小于365天的概率估计值．
(a)求p;
(b)工厂向某用户销售100件电子元件，X为这100件产品中首次出现故障时间小于365天的件数，若X∼B100,p,求EX,DX．
【答案】见详解
【详解】根据频率分布直方图，组距为10，各区间频率为：
前两个区间累计频率为0．05+0．15=0．200．25,
所以第一四分位数Q1在[365,375)内．由线性插值得Q1=365+0．25-0．200．20×10=367．5天
设中位数为M，前三组累计频率为0．400．50,
故M∈[375,385),所以M=375+0．50-0．400．25×10=379天．
(2)(a)首次故障时间小于365天的频率估计为p=0．05+0．15=0．20．
(b)已知X∼B100,0．20,
则EX=np=100×0．20=20,
DX=np1-p=100×0．20×0．80=16．
16．在三棱锥A-BCD中，E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD．
(1)证明：CD⊥AB;
(2)若DE=2,BE=1,AE=2,CD=23,求AD与平面ABC所成角的正弦值．
【答案】见详解
【详解】(1)因为AE⊥CE且AE⊥DE,而CE∩DE=E,所以AE⊥平面BCD．
又CD⊂平面BCD,故CD⊥AE．由已知CD⊥AD,且AE∩AD=A,AE,AD⊂平面ADE,
所以CD⊥平面ADE．由于点E在直线BD上，所以直线AB在平面ADE内，故CD⊥AB．
(2)以AE⊥平面BCD,且E,B,D三点共线为依据，建立空间直角坐标系．取直线BD为x轴，过点E在平面BCD内垂直于BD的直线为y轴，直线EA为z轴．根据已知DE=2, BE=1, AE=2, CD=23,
可设E0,0,0, D2,0,0, B-1,0,0, A0,0,2．
由(1)知CD⊥平面ADE(即xz平面)，所以直线CD∥y轴，则点C的横坐标与点D相同．因为CD=23,不失一般性，可取C2,23,0．
于是AD=2,0,-2, AB=-1,0,-2, AC=2,23,-2．
设平面ABC的法向量为n=x,y,z,则n⋅AB=0,n⋅AC=0．
即-x-2z=0,2x+23y-2z=0．
取z=2,得x=-22，y=6,所以可取n=-22,6,2,其模长为n=-222+62+22=32．
设AD与平面ABC所成角为θ,则sinθ=AD⋅nADn=2-22+0⋅6+-2⋅222+22⋅32=63．
因此AD与平面ABC所成角的正弦值为63．
17．在△ABC中，已知csB=34,cs2A+C+sinAsinC=1．
(1)证明：△ABC为钝角三角形；
(2)若△ABC面积为74,求△ABC周长．
【答案】见详解
【详解】(1)在△ABC中，A+B+C=π,所以A+C=π-B, csA+C=-csB=-34．
代入已知等式，得-342+sinAsinC=1⇒sinAsinC=716．
利用余弦的加法公式展开：csB=-csA+C=sinAsinC-csAcsC=34．
代入sinAsinC=716,得716-csAcsC=1216⇒csAcsC=-5160,即t0>2,则X2与Y2项系数均为正，右端也为正，此时M'为椭圆；若t02-20 x>0．
所以g'x在0,+∞上严格单调递增．又g'0=-30都有gx+m>gx,因此必须m>0．当m>0时，由g'x严格递增，得g'x+m>g'x,所以gx+m-gx'>0．
于是函数hx=gx+m-gx在0,+∞上严格单调递增．要使hx>0对任意x>0恒成立，只需h0≥0．
即gm≥g0⇒ mem-4m+1≥1．
整理得mem-4≥0．
由于m>0,所以em≥4⇒ m≥ln4=2ln2．
故m的取值范围为[2ln2,+∞)．
(3)要使当x>0时fx+k+fk-x-2fk>0,
设Fx=fk+x+fk-x-2fk x≥0,
则F0=0．求导得F’(x)=f’(k+x)-f’(k-x)=ek-x[(k+1+x)e2x-(k+1-x)]．
设px=k+1+xe2x-k+1-x,
则p0=0,并且p'x=2k+3+2xe2x+1．
若k≥-2,当x>0时有p'x>p'0=2k+4≥0,
故px>p0=0,从而F'x>0,于是Fx>F0=0恒成立．
若k