2026年高考物理一轮复习精讲精练第55讲洛伦兹力与现代科技(讲义)(学生版+解析)

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考点一 质谱仪
基础过关
1.作用
测量带电粒子的质量和分离同位素。
2.原理(如图所示)
(1)加速电场：qU＝12mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝mv2r，l＝2r；
由以上式子可得r＝1B2mUq，m＝qr2B22U，qm＝2UB2r2。
【例1】（2025·广东·三模）质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造如图所示。粒子源S产生的各种不同正粒子束（速度可视为零），粒子质量为m、带电量为q，粒子重力不计，经电压为U的加速电场加速后，从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场，运转半周后到达照相底片上的M点。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子从小孔N垂直于磁感线进入匀强磁场的速度大小为
B．若粒子束q相同而m不同，则MN距离越大对应的粒子质量越小
C．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的比荷一定相等
D．进入匀强磁场中的粒子只要MN距离相同，则粒子的电荷量一定相等
【答案】C
【详解】A．粒子在加速电场中做加速运动，由动能定理得
解得
故A错误；
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有
可得
所以
若粒子束q相同而m不同，MN距离越大对应的粒子质量越大，故B错误；
CD．由
可知只要MN距离相同，对应的粒子的比荷一定相等，粒子质量和电荷量不一定相等，故C正确，D错误。
故选C。
【例2】（2025·辽宁·三模）质谱仪是用来分离和检测同位素的科学仪器。某种质谱仪的原理如下图，加速电场的电压为；速度选择器中磁感应强度为，两板电压为，两板间距离为；磁分析器在坐标系的第一、四象限中，其匀强磁场的磁感应强度为，各磁场方向如图中所示。一电荷量为的粒子从容器右侧小孔进入加速电场，恰能沿直线运动通过速度选择器，从小孔出来后，进入磁分析器中偏转，轨迹如图中虚线所示，到达轴上点时纵坐标为，不计粒子重力，整个装置处于真空中，求∶
(1)粒子经过小孔的速度；
(2)粒子的质量和刚进入加速电场时的初速度；
(3)粒子沿直线通过速度选择器后，若由于磁分析器漏气，粒子在磁分析器中受到与速率大小成正比的阻力，轨迹如实线所示，其运动到点时速度方向刚好沿轴正向，则粒子所受阻力与速率的比值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在速度选择器中，根据平衡条件，有
电场强度为
联立可得
（2）在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力，有
由图可知l=2r
联立可得
在加速电场中，根据动能定理，有
解得
（3）在磁分析器中，从O到Q，沿x方向根据动量定理有
其中在x方向，有
在y方向，有
代入可得
解得
【例3】（2025·天津滨海新·三模）放射性同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用。如图甲所示，将少量古木样品碳化、电离后，产生出电荷量均为q的12C和14C离子，从容器A下方的小孔S1进入加速电压为U的匀强电场中，其初速度可视为零。以离子刚射入磁场时的O点为坐标原点，水平向右为x轴正方向。x轴下方有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，离子在磁场中行进半个圆周后被位于原点O右侧x轴上的收集器分别收集。一个核子的质量为m，不考虑离子重力及离子间的相互作用。
(1)写出中子与发生核反应生成，以及衰变生成的两个核反应方程式；
(2)求收集器收集到的12C和14C离子的位置坐标x12和x14；
(3)由于加速电场的变化，可能会使两束离子到达收集器的区域发生交叠，导致两种离子无法完全分离。
①若加速电压在区间范围内发生微小变化，为使两种离子完全分离，应小于多少？
②若离子经过加速电压为U的特殊电场，从O点进入磁场时，与垂直x轴方向左右对称偏离，导致有一个散射角α，如图乙所示。为使两种离子完全分离，求最大散射角。
[已知，若，，则]
【答案】(1)；
(2)；
(3)①，②
【详解】（1）核反应方程；
（2）由动能定理得，
由洛伦兹力提供向心力得，
联立得，直径
和离子的位置坐标分别为；
（3）①加速电压越大，速度越大，则半径越大
12C离子的最大直径
14C离子的最小直径
为保证完全分离需满足
联立解得
②对于同一离子以相同大小的速度但方向不同进入磁场后，垂直于x轴射入时偏转距离x最大，向左向右偏离垂直入射的方向入射，其偏转距离都将减小，如图所示。
12C离子离开O点的最大距离
14C离子离开O点的最小距离
为保证两种离子完全分离
联立解得
【例4】（2025·北京东城·二模）在高能物理实验中，静电分析器或者磁分析器都可将比荷不同的带电粒子分离。已知质量为、电荷量为的正离子由静止释放，经过电压加速后分别进入静电分析器或磁分析器的细管中，该离子在细管中均做半径为的匀速圆周运动，如图甲、乙所示。静电分析器细管中的电场强度大小可认为处处相等，磁分析器中的磁场方向如图乙所示。不计离子重力。
(1)求静电分析器细管中的电场强度大小；
(2)求磁分析器中匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)为了分离和两种同位素，将它们都电离成三价正离子（离子），采用磁分析器分离。保持磁场不变，改变加速电压，接收器可以在不同的加速电压下分别接收到其中的一种同位素离子，如图丙所示。请分析判断图丙中的①、②哪条线对应的离子？
【答案】(1)
(2)
(3)②对应的离子
【详解】（1）由动能定理可得
解得
静电力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
（2）洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得
解得
（3）由（2）中的结果可知
当离子在磁分析器中做圆周运动的半径、以及磁感应强度大小一定时，比荷越大，则加速电压越大。根据图丙可知，加速度的线②对应的的离子。
【例5】（2025·吉林长春·模拟预测）质谱仪是分离和检测同位素的仪器，现有一价的钾39和钾41离子的混合物经同一电场由静止开始加速后，沿着与磁场边界垂直的方向进入匀强磁场中，如图所示。测试时设置加速电压大小为，但在实验过程中加速电压有较小的波动，可能偏大或偏小。为使钾39和钾41打在照相底片上的区域不重叠，不计离子的重力和离子间的相互作用，则应小于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设加速电压为U，磁场的磁感应强度为B，电荷的电荷量为q，质量为m，运动半径为R，则经过加速电场有
在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
由此式可知，在B、q、U相同时，m小的半径小，所以钾39半径小，钾41半径大；在m、B、q相同时，U大半径大；设钾39质量为，电压为时，最大半径为；钾41质量为，电压为时，钾41最小半径为，则可得
令，联立解得
故选A。
考点二 回旋加速器
基础过关
1.构造
如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。
2.原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙就被加速一次。
3.最大动能
由qvmB＝mvm2R、Ekm＝12mvm2得Ekm＝q2B2R22m，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。
4.运动时间的计算
(1)粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝EkmqU，粒子在磁场中运动的总时间t1＝n2T＝Ekm2qU·2πmqB＝πBR22U。
(2)粒子在各狭缝中的运动连在一起为匀加速直线运动，运动时间为t2＝vma＝BRdU。(缝隙宽度为d)
(3)粒子运动的总时间t＝t1＋t2＝πBR22U＋BRdU。
【例6】（2025·湖北武汉·三模）如图所示是一种改进后的回旋加速器示意图，狭缝MN间加速电场的场强大小恒定，且被限制在M、N板间。M、N板右侧延长线之间的真空区域无电场和磁场，M板上方和N板下方的D形盒内有垂直于纸面的匀强磁场。带正电的粒子从M板上的入口P点无初速进入电场中，经加速后进入磁场中做匀速圆周运动，回到电场再加速，如此反复，最终从D形盒右侧的出口射出。粒子通过狭缝的时间可忽略，不计粒子的重力，不考虑相对论效应的影响，忽略边缘效应，下列说法正确的是（ ）
A．狭缝间的电场方向需要做周期性的变化
B．每经过一次狭缝，粒子的速度的增加量相同
C．这种回旋加速器设置相同时，不同粒子在其中运动的时间相同
D．D形盒半径不变时，同种粒子能获得的最大动能与磁场的磁感应强度大小正比
【答案】C
【详解】A．由题意可知，带正电粒子始终从P点进入电场加速后进入磁场中做匀速圆周运动，回到电场再加速，因此，狭缝间的电场方向不需要做周期性的变化，故A错误；
B．粒子第一次加速，由动能定理得
粒子第二次加速，由动能定理得
整理得，
以此类推，可见，每经过一次狭缝，粒子的速度的增加量都不相同，故B错误；
C．设粒子到出口处被加速n圈，加速时间为t
由动能定理得
又由洛伦兹力提供向心力得
周期
联立得
可见，回旋加速器设置相同时，不同粒子在其中运动的时间相同,故C正确；
D．设D形盒半径为R
则有
又
联立可得
可见，R不变时，同种粒子能获得的最大动能与磁场磁感应强度平方成正比，故D错误；
故选C。
【例7】（2025·甘肃·模拟预测）回旋加速器的圆形匀强磁场区域以点为圆心，磁感应强度大小为，加速电压的大小为。核和核自图中处同时飘入加速电场。核在每次经过电场时均被加速（假设粒子通过电场的时间和粒子间相互作用可忽略）。核完成3次加速时的动能与此时核的动能之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据
可知，核和核的周期之比为1:3，则当核完成3次加速时，核完成1次加速，则根据
可知核完成3次加速时的动能与此时核的动能之比为3:1。故选D。
【例8】（2025·上海·一模）如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图。该加速器由靠得很近、间距为d且电势差恒定为U的平行电极板M、N构成，电场被限制在M、N板间，虚线之间无电场。某带电量为q，质量为m的粒子，在板M的狭缝P0处由静止开始经加速电场加速，后进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，每当回到P0处会再次经加速电场加速并进入D形盒，直至达到预期速率后，被特殊装置引出。已知P1、P2、P3分别是粒子在D形盒中做第一、第二、第三次圆周运动时，其运动轨迹与虚线的交点，不计粒子重力。求：
(1)粒子到达P2处的速率；
(2)图中相邻弧间距离P1P2与P2P3的比值。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）粒子每次从极板M向N运动时被电场加速，进入磁场则做匀速圆周运动，速率不变，根据分析，可知粒子到达P2处时共被电场加速2次，对粒子由静止开始到到达P2的过程应用动能定理可得 ，可解得粒子到达P2处时的速率
（2）根据题意，对粒子经过电场n次加速的过程应用由动能定理 ，可获得速率 ；粒子以此速率进入匀强磁场后，洛伦兹力提供向心力，做第n次匀速圆周运动，有 ，可解得粒子在磁场中第n次做匀速圆周运动的轨道半径 ，则相邻弧间距离P1P2与P2P3的比值
【例9】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）回旋加速器的两个D形金属盒分别与高频交流电源两极连接，两盒处在匀强磁场中且磁场方向垂直于盒底面。正离子源置于盒的圆心附近，正离子经两盒间缝隙电压加速，进入D形盒运动半周，再经盒缝电压加速。如此周而复始，最后到达D形盒边缘获得最大速度。现欲使该离子加速后获得的最大动能变为原来的2倍，理论上可行的方法为（不考虑相对论效应）（ ）
A．仅将磁感应强度大小变为原来的倍
B．仅将D形金属盒半径变为原来的倍
C．仅将交流电源的电压变为原来的2倍
D．仅将交流电源的频率变为原来的2倍
【答案】B
【详解】当离子在磁场中的轨迹半径等于D形盒半径时，离子获得的动能最大，则有
可得
A．由于交变电源的周期与离子在磁场做匀速圆周运动的周期需要相同，仅将磁感应强度大小变为原来的倍，根据可知，离子在磁场做匀速圆周运动的周期发生变化，所以离子不能一直被加速，故A错误；
B．仅将D形金属盒半径变为原来的倍，由于，可知离子加速后获得的最大动能变为原来的2倍，故B正确；
C．仅将交流电源的电压变为原来的2倍，由于离子加速后获得的最大动能与电压无关，故C错误；
D．仅将交流电源的频率变为原来的2倍，则交变电源的周期与离子在磁场做匀速圆周运动的周期不相同，离子不能一直被加速，故D错误。
故选B。
【例10】（2025·河北石家庄·三模）回旋加速器利用高频交变电压使带电粒子在电场中不断加速。如图所示，回旋加速器两“D”型盒内存在垂直“D”型盒的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，所加速粒子的比荷为k，高频电源由LC振荡电路产生，LC振荡电路中电感线圈的自感系数为L。为使回旋加速器正常工作，LC振荡电路中的电容器的电容C为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据洛伦兹力提供向心力有
被加速粒子在磁场中的运动周期为
粒子在磁场中的运动周期等于LC振荡电路的周期，即
解得
故选A。
考点三 电场与磁场叠加的应用实例分析
基础过关
1.速度选择器
(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直。(如图)
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是洛伦兹力与静电力平衡，即qvB＝qE，v＝EB。
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
(4)速度选择器具有单向性，改变粒子的入射速度方向，不能实现速度选择功能。
2.磁流体发电机
(1)原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能。
(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B板是发电机的正极。
(3)发电机的电动势：当发电机外电路断路时，正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U，则qUd＝qvB，得U＝Bdv，则电动势E＝U＝Bdv。
(4)内阻r：若等离子体的电阻率为ρ，则发电机的内阻r＝ρdS。
3.电磁流量计
(1)流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。
(2)导电液体的流速(v)的计算
如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由qUd＝qvB，可得v＝UBd。
(3)流量的表达式：Q＝Sv＝πd24·UBd＝πdU4B。
(4)电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb。
4.霍尔元件
(1)定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A'之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
(2)电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A'的电势高；若自由电荷是正电荷，则下表面A'的电势低。
(3)霍尔电压：当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A'间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝qUℎ，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U＝BInqd＝kBId，k＝1nq称为霍尔系数。
【例11】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示是磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两面是导体电极，这两个电极通过开关与阻值为R的电阻连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向平行于底面向里。如果等离子源以速度v0垂直于左侧面向右持续发射大量的等离子体，离子质量均为m、电荷量大小均为q。已知断开开关稳定后正负离子在通道中沿直线通过；闭合开关稳定后，两极板电压恒为U，某些正离子的运动轨迹如图中虚线所示（负离子与之类似），图中轨迹的最高点和最低点的高度差为h（h