2026年广东省深圳市中考模拟数学押题密卷含答案（一）

这是一份2026年广东省深圳市中考模拟数学押题密卷含答案（一），共6页。试卷主要包含了下列实数中，最小的数是，下列运算结果正确的是，《九章算术•方程》有一道题等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题）
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列实数中，最小的数是（ ）
A．2026B．12026C．2026D．－2026
3．2026年5月27日16时30分许，深圳市南坪快速沙河西路出口路段发生一起三车刮碰事故，其中一辆车着火并引燃道路上方造价约4800万的隔音棚。经消防等部门紧急处置，现场明火已扑灭，事故未造成人员受伤或被困，将“4800万”用科学记数法应表示为（ ）
A．4.8×102 B．4.8×103 C．0.48×104 D．4.8×107
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．m6+m3＝m2B．－m（n－m）＝－mn－m2
C．－（3m）2＝－9m2D．（m－1）2＝m2－2m－1
5．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝125°，∠2＝35°，则∠BEC的度数为（ ）
A．90°B．85°C．95°D．80°
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是边AC上一动点，连接DE，根据作图痕迹，若BD＝5，则DE的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．《九章算术•方程》有一道题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙各持钱几何？设甲持钱x两，乙持钱y两，可列方程组为（ ）
（注释：乙半：乙的一半钱，甲太半：甲的三分之二钱）
A．x+12y=50y+23x=50 B．x+12x=50y+23y=50 C．x−12y=50y−23x=50 D．x+23y=50y+12x=50
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD
相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于
点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：
①△ABC为等边三角形； ②OB=3OA；
③∠MPN＝60°； ④PM+PN=12BD．
其中，正确的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共5小题）
9．周末，小莉打算在“世界之窗”、“欢乐谷”、“甘坑古镇”、“大芬油画村”、“仙湖植物园”这五个景点中随机选择一个去游玩，恰好选中“欢乐谷”的概率是 ．
10．已知A是方程x2＋x－2026＝0的一个根，则1a2−a−2a2−1的值是 ．
11．如图，在矩形ABCD中，BC=23，CD＝2，以B为圆心，BD长为半径画弧交线段BC的延长线于点E，以点D为圆心，DC长为半径画弧交AD于点F，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

第11题 第12题 第13题
12．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=k1x（k1＞0）与直线y＝k2x（k2≠0）交于A、B两点，点H是双曲线第一象限上的动点（在点A左侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA＝A•HP，HB＝b•HQ，则A－b的值为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠BOC＝120°，点E是BC上一个点，连接OE，
∠BOE＝90°，若△OEC绕点O顺时针旋转，旋转角为α．点E对应点G，点C对应
点F， ①当0°＜α＜180°时，α等于 °时，△AOG≌△COE；
②当0°＜α≤360°且BG长度最大时，DF的长度为 ．
三．解答题（共8小题）
14．计算：(−2)－3＋(15)2026×52026＋(π－3.14)0＋|1－2|．
15．解下列不等式组2x+3＞3x−74x−23≤2x−5，并写出它的所有整数解．
16．为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）：
根据所给信息，请完成以上所有任务．
17．近日，在深圳市龙华区坂田街道星河WORLD机器人街区，一位“机器人交警”正在“执勤”。一旦发现交通违规行为，它便立即响起清脆的警示哨音，同步做出规范交通手势，并配合语音进行实时劝导。根据以下素材解决问题：
根据以上信息解决下列问题：
（1）求甲、乙两款机器人制造成本；
（2）求总销量y与x之间的关系；
（3）若总销量y不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润W关于x的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价．
18．综合与实践
【问题情境】最完美的四边形是正方形，在“综合与实践”课上，老师和同学们一起对正方形进行了再探究：如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
【数学思考】老师首先提出了如下问题：
（1）如图2，作△COD关于CD的对称图形△CED，连接AE交BD于点F．试判断OF与DF的数量关系，并说明理由；
【深入探究】老师让同学提出新的问题：
（2）善思小组提出问题：如图3，以BC为直径作⊙P，点M为⊙P上的动点，连接CM，OM，若正方形ABCD的边长为6cm，求△COM面积的最大值；
（3）智慧小组提出问题：如图4，以BC为直径作⊙P，点M为⊙P上的动点，过点M作对角线AC垂线，垂足为Q，若正方形ABCD的边长为6cm，求MQ+AQ的取值范围．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（3，6），且对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的表达式．
（2）将这条抛物线平移，平移后抛物线的顶点落在原点．请写出一种平移方法及平移后抛物线的表达式，并画出平移后的抛物线对称轴右侧部分的图象．
（3）过x轴上一动点P（t，0）作y轴的平行线，和（1）（2）中
两条抛物线的交点分别为M，N．
①通过观察图象发现，点P在某个范围内运动时MN的长不大于1，
请直接写出此时t的取值范围；
②当t取何值时，MN的长不大于n（n为大于0的常数），请直接
写出答案（答案用含n的代数式表示）．
20．问题提出：
（1）如图①，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，连接AE、DE，当∠AED＝90°时，∠A+∠D＝ °．
问题探究
（2）如图②，在边长为6的等边△ABC中，D为AB的中点，E为BC边上任意一点，连接DE，并作∠DEF＝60°，使得∠DEF的一边与AC交于点F，试求出CF的最大值．
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD为某美食商业区的平面示意图，其中AD∥BC，∠B＝90°，AB＝80m，BC＝CD＝100m．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在BC上选取一点M，CD上选取一点N，连接AM、AN、MN，构造△AMN．已知点A为美食商业区的出入口，tan∠AMN=43，设BM＝xm，NC＝ym．
（i）求y与x之间的函数关系式；
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点N与点C的距离足够远，请你根据需求计算出当NC最大时△AMN的面积。
2026年广东省深圳市中考数学押题密卷（一）参考答案与详解2026.06
一．选择题（共8小题）
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
【解答】解：A、B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．
2．下列实数中，最小的数是（ ）
A．2026B．12026C．2026D．－2026
【分析】利用有理数大小的比较方法：①在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．②正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．③两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵－2026＜12026＜2026＜2026，
∴最小的数是：－2026．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
3．2026年5月27日16时30分许，深圳市南坪快速沙河西路出口路段发生一起三车刮碰事故，其中一辆车着火并引燃道路上方造价约4800万的隔音棚。经消防等部门紧急处置，现场明火已扑灭，事故未造成人员受伤或被困，将“4800万”用科学记数法应表示为（ ）
A．4.8×102 B．4.8×103 C．0.48×104 D．4.8×107
【分析】科学记数法的表示形式为A×10n的形式，其中1≤|A|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成A时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4800万＝4800 0000＝4.8×107，
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为A×10－n，其中1≤|A|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．m6+m3＝m2B．－m（n－m）＝－mn－m2
C．－（3m）2＝－9m2D．（m－1）2＝m2－2m－1
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及单项式乘多项式法则，完全平方公式逐项判断．
【解答】解：m6÷m3＝m3，故A错误，不符合题意；
－m（n－m）＝－mn+m2，故B错误，不符合题意；
－（3m）2＝－9m2，故C正确，符合题意；
（m－1）2＝m2－2m+1，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
5．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝125°，∠2＝35°，则∠BEC的度数为（ ）
A．90°B．85°C．95°D．80°
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥EM∥CD，
∴∠1+∠BEM＝180°，∠CEM＝∠2，
∵∠1＝125°，∠2＝35°，
∴∠BEM＝55°，∠CEM＝35°，
∴∠BEC＝∠BEM+∠CEM＝90°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是边AC上一动点，连接DE，根据作图痕迹，若BD＝5，则DE的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE的值最小，此时DE的长度等于点D到AC的距离，由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，根据角平分线性质可知BD＝DE．
【解答】解：在Rt△ABC中，E是边AC上一动点，∠B＝90°，
根据垂线段最短的性质，当DE⊥AC时，DE的值最小，
由作图痕迹可知，AD是∠BAC的角平分线，
∵DE⊥AC，AB⊥BD，
∴BD＝DE＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短的性质及角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．《九章算术•方程》有一道题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙各持钱几何？设甲持钱x两，乙持钱y两，可列方程组为（ ）
（注释：乙半：乙的一半钱，甲太半：甲的三分之二钱）
A．x+12y=50y+23x=50 B．x+12x=50y+23y=50 C．x−12y=50y−23x=50 D．x+23y=50y+12x=50
【分析】根据“甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵甲得乙半而钱五十，
∴x+12y＝50；
∵乙得甲太半而钱亦五十，
∴y+23x＝50．
∴根据题意可列出方程组x+12y=50y+23x=50．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB=3OA；③∠MPN＝60°； ④PM+PN=12BD．其中正确的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据菱形的性质即可判断①；结合（1）利用含30度角的直角三角形即可判断②；根据四边形内角和等于360度即可判断③；如图，延长NP交BC于点G，利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OB=3OA，故②正确；
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴∠AMP＝∠ANP＝90°，
∵AD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠MPN＝60°，故③正确；
如图，延长NP交BC于点G，
∵AD∥BC，PN⊥AD，
∴PG⊥BC，
∵PM⊥AB，BP平分∠ABC，
∴PM＝PG，
∴PM+PN＝PG+PN＝NG，
∵∠PBG＝∠PDN＝30°，
∴PB＝2PG，PD＝2PN，
∴PM+PN＝PG+PN=12PB+12PD=12（PB+PD）=12BD，
∴PM+PN=12BD，故④正确，
综上所述：正确的有4个．
故选：D．
【点评】本题是考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．周末，小莉打算在“世界之窗”、“欢乐谷”、“甘坑古镇”、“大芬油画村”、“仙湖植物园”这五个景点中随机选择一个去游玩，恰好选中“欢乐谷”的概率是 15 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：选中“欢乐谷”的概率是：15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是根据事件可能出现结果数除以所有可能出现的结果数来解答．
10．已知A是方程x2＋x－2026＝0的一个根，则1a2−a−2a2−1的值是 −13 ．
【分析】由已知条件 A 是方程 x2+x－2026＝0 的根，可得 A2+A＝2026．将所求表达式通分并化简，利用 A（A+1）＝A2+A＝2026代入计算．
【解答】解：原式=1a(a−1)−2(a−1)(a+1)
=a+1a(a−1)(a+1)−2aa(a−1)(a+1)
=a+1−2aa(a−1)(a+1)
=1−aa(a−1)(a+1)
=−a−1a(a−1)(a+1)
=−1a(a+1)，
由A2+A＝2026，得A（A+1）＝2026，
所以原式=−12026，
故答案为：−12026．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
11．如图，在矩形ABCD中，BC=23，CD＝2，以B为圆心，BD长为半径画弧交线段BC的延长线于点E，以点D为圆心，DC长为半径画弧交AD于点F，则图中阴影部分的面积为 7π3−23 ．（结果保留π）
【分析】由矩形的性质可得∠BCD＝∠ADC＝90°，由勾股定理可得BD＝4，进而求得sin∠CBD=CDBD=12，利用特殊角的三角函数值可得∠CBD＝30°，再根据“阴影部分的面积＝S扇形CDF+S扇形BDE－S△BCD”，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，BC=23，CD＝2，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴BC=BC2+CD2=(23)2+22=4，
∴sin∠CBD=CDBD=12，
∴∠CBD＝30°，
∴阴影部分的面积＝S扇形CDF+S扇形BDE－S△BCD
=90π⋅22360+30π⋅42360−12×23×2
=π+43π−23
=7π3−23，
所以图中阴影部分的面积为7π3−23．
故答案为：7π3−23．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=k1x（k1＞0）与直线y＝k2x（k2≠0）交于A、B两点，点H是双曲线第一象限上的动点（在点A左侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA＝A•HP，HB＝b•HQ，则A－b的值为 －2 ．
【分析】作HC⊥y轴，AD⊥y轴，BE⊥y轴分别于点C、D、E，则CH∥AD∥BE，OD＝OE，根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【解答】解：作HC⊥y轴，AD⊥y轴，BE⊥y轴分别于点C、D、E，则CH∥AD∥BE．
∵反比例函数是中心对称图形，
∴AD＝BE．
∵CH∥AD∥BE，HA＝A•HP，HB＝b•HQ，
∴HAHP=a，BHHQ=b，
即APHP=ADCH=A+1，BQHQ=BECH=b－1，
∴A+1＝b－1，
∴A－b＝－2．
故答案为：－2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和一次函数与反比例函数的应用，关键是根据平行线分线段成比例定理得出比例式，题目比较好，但有一定的难度．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠BOC＝120°，点E是BC上一个点，连接OE，∠BOE＝90°，若△OEC绕点O顺时针旋转，旋转角为α．点E对应点G，点C对应点F，①当0°＜α＜180°时，α等于 120 °时，△AOG≌△COE；②当0°＜α≤360°且BG长度最大时，DF的长度为 6−2 ．
【分析】由矩形的性质得OA＝OC＝OB＝OD，可证明△AOB是等边三角形，则AB＝OA＝OC＝OB＝OD＝2，再证明∠EOC＝∠ECO＝30°，则CE＝OE，由旋转得OG＝OE，OF＝OC＝OD＝2．
①当△AOG≌△COE时，则∠GOA＝∠EOC＝30°，所以α＝∠EOG＝180°－∠GOA－∠EOC＝120°，于是得到问题的答案；
②由BG≤OB+OG，可知当点G在BO的延长线上时，BG＝OB+OG，此时BG长度最大，设FG交AD于点I，由OB=3OE＝2，求得CE＝OE=233，则FG＝OG＝OE=233，所以DG＝2−233，由∠GOF＝∠GFO＝30°，求得∠OFD＝∠ODF＝75°，则∠IFD＝∠IDF＝45°，由DG＝2IG，IG=12DG＝1−33，求得ID=3IG，则DF=2ID=6IG=6−2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，∠BOC＝120°，
∴AD∥BC，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，且AC＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠ODA＝∠OBC＝∠OCB=12×（180°－120°）＝30°，
∵∠AOB＝180°－∠BOC＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OC＝OB＝OD＝2，
∵∠BOE＝90°，
∴∠EOC＝∠BOC－∠BOE＝30°，
∴∠EOC＝∠ECO＝30°，
∴CE＝OE．
由旋转得OG＝OE，OF＝OC＝OD＝2，
①如图1，△AOG≌△COE，则∠GOA＝∠EOC＝30°，
∴α＝∠EOG＝180°－∠GOA－∠EOC＝120°，
故答案为：120．
②∵BG≤OB+OG，
∴当点G在BO的延长线上时，BG＝OB+OG，此时BG长度最大，
如图2，当点G在BO的延长线上，设FG交AD于点I，
∵BE＝2OE，
∴OB=BE2−OE2=(2OE)2−OE2=3OE＝2，
∴CE＝OE=233，
∴FG＝OG＝OE=233，
∴DG＝OD－OG＝2−233，
∵∠GOF＝∠GFO＝30°，
∴∠OFD＝∠ODF=12×（180°－30°）＝75°，
∴∠IFD＝∠IDF＝75°－30°＝45°，
∴ID＝IF，∠DIG＝∠DIF＝90°，
∴DG＝2IG，IG=12DG=12×（2−233）＝1−33，
∴ID=DG2−IG2=(2IG)2−IG2=3IG，
∴DF=ID2+IF2=2ID=2×3IG=6IG=6×（1−33）=6−2，
故答案为：6−2．
【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
14．计算：(−2)－3＋(15)2026×52026＋(π－3.14)0＋|1－2|．
【分析】先分别计算乘方、积的乘方、零指数幂、绝对值，再进行加减运算．
【解答】解：(−2)－3+(15)2026×52026+(π−3.14)0+|1−2|−3−27−(−2)2
=−18+(15×5)2026+1+2−1－（－3）－2
=－18＋1＋1＋2－1＋3－2
=158＋2．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，掌握相应的运算法则是关键．
15．解下列不等式组2x+3＞3x−74x−23≤2x−5，并写出它的所有整数解．
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再确定整数解即可．
【解答】解：2x+3＞3x−7①4x−23≤2x−5②
解不等式①得：x＜10，
解不等式②得：x≥132，
所以不等式组的解为：132≤x＜10，
所以整数解为：7，8，9．
【点评】本题考查的是求解不等式组的整数解，通过解不等式组求得x的取值范围是解题的关键．
16．为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）：
根据所给信息，请完成以上所有任务．
【分析】任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人即可补全条形统计图；
②“80 分”所在扇形的圆心角的度数为360°乘以占比即可；
③根据中位数定义进行求解即可；
任务二：用样本估计总体即可；
任务三：比较中位线，众数，平均数进行分析即可．
【解答】解：任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有7人，
故补全条形统计图，如图所示：
②（1－15%－15%－15%－35%）×360°＝72°；
“80 分”所在扇形的圆心角的度数为72°；
③将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为 80，90，
则中位数为n=80+902=85；
任务二：九年级学生成绩不低于 80 分的人数为：1200×（1－15%－15%）＝840（人）；
任务三：我认为九年级成绩更好．
理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数和众数高于八年级，所以九年级的成绩更好．
【点评】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
17．近日，在深圳市龙华区坂田街道星河WORLD机器人街区，一位“机器人交警”正在“执勤”。一旦发现交通违规行为，它便立即响起清脆的警示哨音，同步做出规范交通手势，并配合语音进行实时劝导。根据以下素材解决问题：
根据以上信息解决下列问题：
（1）求甲、乙两款机器人制造成本；
（2）求总销量y与x之间的关系；
（3）若总销量y不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润W关于x的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价．
【分析】（1）依据题意，设甲型机器人制造成本为A万元/台，乙型机器人制造成本为b万元/台，则4a+3b=535a+2b=54，从而可以计算得解；
（2）依据题意，设一次函数解析式：y＝kx+b（k≠0），根据表格数据可得13k+b=28016k+b=220，从而计算可以得解；
（3）依据题意，由y≥250，即－20x+540≥250，则x≤14.5，结合总销量为y台，从而甲款销量为34y台，乙款销量为14y台．故W=34y（x－8）+5×14y=34（－20x+540）（x－8）+5×14（－20x+540），即W＝－15x2+500x－2565，又8＜x≤14.5，在对称轴左侧W随增大而增大，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，设甲型机器人制造成本为A万元/台，乙型机器人制造成本为b万元/台，
∴4a+3b=535a+2b=54．
∴a=8b=7，
答：甲单价8万元/台，乙单价7万元/台；
（2）设一次函数解析式：y＝kx+b（k≠0），
根据表格数据可得，该函数的图象过（13，280），（16，220），
∴13k+b=28016k+b=220，
∴k=−20b=540，
∴y＝－20x+540；
（3）由题意，∵y≥250，即－20x+540≥250，
∴x≤14.5，
∵总销量为y台，
∴甲款销量为34y台，乙款销量为14y台．
∴W=34y（x－8）+5×14y=34（－20x+540）（x－8）+5×14（－20x+540），即W＝－15x2+500x－2565，
∵A＝－15＜0，
∴开口向下，对称轴是直线x=−5002×(−15)=503，
∵8＜x≤14.5，在对称轴左侧W随增大而增大，
∴当x＝14.5时，W最大，W最大＝1531.25万元，
答：当甲型机器人销售单价为14.5万元时，总利润最大，此时总利润为1531.25万元．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
18．综合与实践
【问题情境】最完美的四边形是正方形，在“综合与实践”课上，老师和同学们一起对正方形进行了再探究：如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
【数学思考】老师首先提出了如下问题：
（1）如图2，作△COD关于CD的对称图形△CED，连接AE交BD于点F．试判断OF与DF的数量关系，并说明理由；
【深入探究】老师让同学提出新的问题：
（2）善思小组提出问题：如图3，以BC为直径作⊙P，点M为⊙P上的动点，连接CM，OM，若正方形ABCD的边长为6cm，求△COM面积的最大值；
（3）智慧小组提出问题：如图4，以BC为直径作⊙P，点M为⊙P上的动点，过点M作对角线AC垂线，垂足为Q，若正方形ABCD的边长为6cm，求MQ+AQ的取值范围．
【分析】（1）利用正方形的性质和轴对称的性质得到ED＝OD＝OC＝EC，则四边形ODEC为菱形，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用圆的有关性质得到当点M为优弧CBO的中点时，△COM面积最大，如图，点M为优弧CBO的中点，连接MP并延长，交OC于点H，利用垂径定理的推论得到MH⊥OC，OH＝HC，再利用等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；
（3）连接MC，MB，过点B作BH⊥MQ于点H，利用矩形的判定与性质得到BH＝OQ，QH＝OB＝32，设BH＝OQ＝m，MQ＝n，则MH＝MQ－HQ＝n－32，CQ＝OC－OQ＝32−m，利用圆周角定理和勾股定理得到m2+n2－32（m+n）＝0；设m+n＝k，则n＝k－m，则2m2－2km+k2－32k＝0，利用一元二次方程的Δ≥0，求得∴0≤A+b≤62，利用不等式的性质解答即可得出结论．
【解答】解：（1）OF与DF的数量关系为OF＝DF．理由：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB＝OD＝OC，
∵作△COD关于CD的对称图形△CED，
∴DE＝OD，EC＝OC，
∴ED＝OD＝OC＝EC，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DE∥OC，
∴∠DEF＝∠OAF．
∵DE＝OD，OD＝OA，
∴DE＝OA．
在△DEF和△OAF中，
∠DFE=∠OFA∠DEF=∠OAFDE=OA，
∴△DEF≌△OAF（AAS），
∴DF＝OF．
（2）∵点M为⊙P上的动点，
∴当点M到OC的距离最大时，△COM面积取得最大值，
∴当点M为优弧CBO的中点时，△COM面积最大，如图，点M为优弧CBO的中点，连接MP并延长，交OC于点H，
∵点P为圆心，CM=OM，
∴MH⊥OC，OH＝HC，
∵正方形ABCD的边长为6cm，
∴AB＝BC＝6cm，∠ACB＝45°，
∴AC=2AB＝62（cm），PM＝PC=12BC＝3（cm），
∴OC=12AC＝32（cm），PH=22PC=322，
∴MH＝PH+PM=322+3，
∴△COM面积的最大值=12×OC•MH=12×32(3+322)=9+922．
（3）连接MC，MB，过点B作BH⊥MQ于点H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵MQ⊥OC，BH⊥MQ，
∴四边形OBHQ为矩形，
∴BH＝OQ，QH＝OB＝32，
设BH＝OQ＝m，MQ＝n，则MH＝MQ－HQ＝n－32，CQ＝OC－OQ＝32−m，
∴BM2＝BH2+MH2=m2+(n−32)2，CM2＝QC2+MQ2＝（32−m）2+n2，
∵以BC为直径作⊙P，
∴∠BMC＝90°，
∴BM2+CM2＝BC2，
∴m2+(n−32)2+(32−m)2+n2=62，
∴m2+n2－32（m+n）＝0．
设m+n＝k，则n＝k－m，
∴m2+（k－m）2－32k＝0，
∴2m2－2km+k2－32k＝0，
∴（－2k）2－4×2×（k2－32k）≥0，
∴0≤k≤62，
∴0≤m+n≤62．
∵MQ+AQ＝AO+OQ+MQ＝OA+A+b，
∴32≤MQ+AQ≤92．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，圆周角定理，函数的极值，熟练掌握正方形的性质和圆的有关性质是解题的关键．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（3，6），且对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的表达式．
（2）将这条抛物线平移，平移后抛物线的顶点落在原点．请写出一种平移方法及平移后抛物线的表达式，并画出平移后的抛物线对称轴右侧部分的图象．
（3）过x轴上一动点P（t，0）作y轴的平行线，和（1）（2）中两条抛物线的交点分别为M，N．
①通过观察图象发现，点P在某个范围内运动时MN的长不大于1，请直接写出此时t的取值范围；
②t取何值时，MN的长不大于n（n为大于0的常数），请直接写出答案（答案用含n的代数式表示）．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出原抛物线的顶点坐标，根据平移后抛物线的顶点落在原点，确定平移规则即可，描点法画出函数图象即可；
（3）①观察图象找到MN＝1时的两个t值，数形结合即可得出结果；
②根据题意得到|2t－3|≤n，得到－n≤2t－3≤n，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（3，6），且对称轴为直线x＝1，将点A的坐标代入，结合对称轴公式得：
9+3b+c=6−b2=1，
解得：b=−2c=3，
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x+3；
（2）∵y＝x2－2x+3＝（x－1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2）；
∵平移后抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴原抛物线先向左移动1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
此时抛物线的解析式为y＝x2；
平移后的抛物线对称轴右侧部分的图象，如图即为所求；
（3）①t的取值范围为1≤t≤2；理由如下：
观察图象可知，当t＝1时，yM－yN＝2－1＝1，
当t＝2时，yN－yM＝4－3＝1，
故当1≤t≤2时，MN的长不大于1；
②t为3−n2≤t≤3+n2时，MN的长不大于n．理由如下：
由题意，yM=t2−2t+3，yN=t2，
∴MN＝|t2－2t+3－t2|＝|2t－3|，
∵MN的长不大于n（n为大于0的常数），
∴|2t－3|≤n，
∴－n≤2t－3≤n，
∴3−n2≤t≤3+n2．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线的平移，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
20．问题提出
（1）如图①，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，连接AE、DE，当∠AED＝90°时，∠A+∠D＝ 90 °．
问题探究
（2）如图②，在边长为6的等边△ABC中，D为AB的中点，E为BC边上任意一点，连接DE，并作∠DEF＝60°，使得∠DEF的一边与AC交于点F，试求出CF的最大值．
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD为某美食商业区的平面示意图，其中AD∥BC，∠B＝90°，AB＝80m，BC＝CD＝100m．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在BC上选取一点M，CD上选取一点N，连接AM、AN、MN，构造△AMN．已知点A为美食商业区的出入口，tan∠AMN=43，设BM＝xm，NC＝ym．
（i）求y与x之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点N与点C的距离足够远，请你根据需求计算出当NC最大时△AMN的面积．
【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）证明△DBE∽△ECF，设BE＝m，CF＝n，利用相似三角形对应边成比例可得36−m=mn，整理得n=−13(m−3)2+3，利用二次函数的性质求最值即可；
（3）（i）延长CB至点E，使得EB=34AB，连接AE，过点D作DF⊥BC，根据题意可知，DF＝AB＝80m，CD＝100m，利用直角三角形的性质得出∠E＝∠AMN＝∠C，进而证明△AEM∽△MCN，设BM＝xm，NC＝ym，利用相似三角形对应边成比例求解即可．
（ii）过点N作BC的垂线，与AD的延长线交于点G，与BC交于点H．根据（i）所得关系式可知，当BM＝20m时，CN有最大值为64m，根据∠C的正切值，设NH＝（4A）m，CH＝（3A）m，结合勾股定理得出NH的长，从而得出GN和AD的长，进而求出S△AND、S△NMC、S四边形ADCB、S△ABM，即可得解．
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，∠D+∠DEC＝90°，
∴∠A+∠AEB+∠D+∠DEC＝180°，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠A+∠D＝90°．
故答案为：90；
（2）∵△ABC是等边三角形，∠DEF＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°＝∠DEF，AB＝BC＝6．
∵∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE−∠DEF=∠B=60°，
∴∠BDE＝∠FEC，
∴△DBE∽△ECF，
∴△DBE∽△ECF，
∴BDEC=BECF．
设BE＝m，CF＝n，则EC＝6－m，
∵D为AB的中点，
∴BD=12AB=3，
∴36−m=mn，整理得n=−13(m−3)2+3，
∴当m＝3时，n有最大值，最大值为3，即CF的最大值为3．
（3）（i）如图，延长CB至点E，使得EB=34AB，连接AE，过点D作DF⊥BC，
根据题意可知，DF＝AB＝80m，CD＝100m，
∴EB=60m，CF=CD2−DF2=60m，
∴tanE=ABBE=43，tanC=DFCF=43，
∵tan∠AMN=43，
∴tAnE＝tAn∠AMN＝tAnC，
∴∠E＝∠AMN＝∠C，
∵∠E+∠EAM+∠AME＝180°，∠AME+∠AMN+∠NMC＝180°，
∴∠EAM＝∠NMC，
∴△AEM∽△MCN，
∴AECM=EMCN．
设BM＝xm，NC＝ym．
∵AE=AB2+BE2=100m，EM=EB+BM=(60+x)m，CM=BC−BM=(100−x)m，
∴100100−x=60+xy，
整理得y=−1100(x−100)(x+60)=−1100x2+25x+60．
（ii）如图，过点N作BC的垂线，与AD的延长线交于点G，与BC交于点H．
由（i）可知，y=−1100x2+25x+60=−1100(x−20)2+64，
∴当x＝20时，y取得最大值为64，
即当BM＝20m时，CN有最大值为64m，
∵tanC=NHCH=43，
∴设NH＝4Am，CH＝3Am，
∴CN=NH2+CH2=5a=64，
∴a=645，
∴NH=2565m，
∴GN=GH−NH=80−2565=1445(m)．
∵CF＝60m，BM＝20m，CM＝80m，
∴AD＝BF＝BC－CF＝40m，
∴S△AND=12AD⋅GN=576(m2)，S△NMC=12MC⋅NH=2048(m2)，S四边形ADCB=12(AD+BC)⋅AB=5600(m2)，S△ABM=12AB⋅BM=800(m2)，
∴S△AMN=S四边形ADCB−S△AND−S△NMC−S△ABM=5600−576−2048−800=2176(m2)，
∴当NC最大时，△AMN的面积为2176m2．
【点评】本题是几何综合题，考查相似、勾股定理、解直角三角形，二次函数的最值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．
21．计算：−3−27−(−2)2+|2−3|－（π－3.14）0．
【分析】利用立方根的意义，二次根式的性质，绝对值的意义和零指数幂的意义化简运算即可．
【解答】解：原式＝－（－3）－2+3−2−1
＝3－2+3−2−1
=3−2．
【点评】本题主要考查了实数的运算，立方根的意义，二次根式的性质，绝对值的意义和零指数幂的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．主题项目
校园安全知识竞赛成绩分析报告
数据收集
八年级学生成绩
80，80，100，90，80，
70，70，80，70，90，
70，80，100，90，60，
80，90，80，90，90
九年级学生成绩
90，90，100，80，80，
60，70，80，60，100，
60，70，90，80，90，
90，90，70，100，90
数据整理
与分析
八、九年级学生成绩分析表
统计量
年级
平均数
中位数
众数
八年级
82
80
80
九年级
82
90
任务1
①补全条形统计图；
②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数；
③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数n＝ ；
任务2
该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数；
任务3
根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由．
人形机器人销售盈利方案
素材1
随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人．
调研显示：制造4台甲型机器人、3台乙型机器人，总花费53万元；
制造5台甲型机器人、2台乙型机器人，总花费54万元．

素材2
两种型号机器人的总销售量y（台）与甲型机器人每台销售单价x
（万元/台）之间的关系如表所示
甲型机器人每台销售单价x（万元/台）
10
13
16
19
两种型号机器人的总销售量y（台）
340
280
220
160
主题项目
校园安全知识竞赛成绩分析报告
数据收集
八年级学生成绩
80，80，100，90，80，
70，70，80，70，90，
70，80，100，90，60，
80，90，80，90，90
九年级学生成绩
90，90，100，80，80，
60，70，80，60，100，
60，70，90，80，90，
90，90，70，100，90
数据整理
与分析
八、九年级学生成绩分析表
统计量
年级
平均数
中位数
众数
八年级
82
80
80
九年级
82
90
任务1
①补全条形统计图；
②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数；
③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数n＝ 任务1：①图见解析；②72°；③85；任务2：840人；任务3：我认为九年级成绩更好，理由见解析 ；
任务2
该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数；
任务3
根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由．
人形机器人销售盈利方案
素材1
随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人．
调研显示：制造4台甲型机器人、3台乙型机器人，总花费53万元；
制造5台甲型机器人、2台乙型机器人，总花费54万元．
素材2
两种型号机器人的总销售量y（台）与甲型机器人每台销售单价x（万元/台）之间的关系如表所示
甲型机器人每台销售单价x（万元/台）
10
13
16
19
两种型号机器人的总销售量y（台）
340
280
220
160