2025-2026学年内蒙古师范大学附属中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年内蒙古师范大学附属中学高一（下）期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知=（x,1），=（3-x,-2），且⊥，则实数x=（ ）
A. -3B. 6C. -1或-2D. 1或2
2.计算：sin20°cs10°-cs160°sin10°=（ ）
A. B. C. D.
3.若tanα=，则cs2α+2sin2α=（ ）
A. ​B. C. 1D.
4.将函数f（x）=sin3x+cs3x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=-cs3x的图象，则φ的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知sin（-α）=，则cs（+2α）的值是（ ）
A. -B. -C. D.
6.在函数①y=cs|2x|，②y=|csx|，③y=cs（2x+），④y=tan（2x-）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③
7.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是BC的中点，点E在AD上，且DE=2AE.则=（ ）
A. B. C. D.
8.设函数f（x）=sin（ωx）+cs（ωx）（ω＞0），若f（x+π）=f（x）恒成立，且f（x）在[0，]上存在零点，则ω的最小值为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列值为的式子有（ ）
A. tan210°B.
C. D.
10.已知向量=（1，），=（csα，sinα），则下列结论正确的是（ ）
A. 若∥，则tanα=
B. 若⊥，则tanα=-
C. 若与的夹角为，则|-|=3
D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,，且2c-b=2acsB，则下列正确的是（ ）
A. B. △ABC外接圆的面积为π
C. △ABC面积的最大值为D. 若b=1.8，则三角形有两个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则= .
13.已知向量，，若，则λμ= .
14.已知函数f（x）=sin（2x）+sinx-csx,x∈[0，π]，则函数f（x）的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知csα=，cs（α-β）=，且0＜β＜α＜，
（1）求tan2α的值；
（2）求β．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC=2：1：，b=.
（1）求a的值；
（2）求csC的值；
（3）求sin（2C-）的值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=（a2+b2-c2）．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的最大值．
18.(本小题17分)
向量，，函数，其中ω＞0，f（x）相邻对称轴之间的距离为.
（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得g（x）的图象，若关于x的方程g（x）=m在上恰有两个解，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
，
，
，
.
运用上面的公式解决下列问题：
（1）已知，求cs2α-sin2β的值；
（2）若α+β+γ+ω=π，证明：sin（α+β）sin（α+γ）=sinαsinω+sinβsinγ；
（3）若α+β+γ=π，求csα+2csβcsγ+2csαcsβcsγ的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】-1
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由0＜β＜α＜，csα=，可得sinα=，
∴tan=，则tan2α==-；
（2）由csα=，cs（α-β）=，且0＜β＜α＜，
得sin（α-β）==，
可得，csβ=cs[α-（α-β）]=csαcs（α-β）+sinαsin（α-β）
​​​​​​​=
∴．
16.【答案】解：（1）∵在△ABC中，
​​​​​​​sinA：sinB：sinC=2：1：，
∴a：b：c=2：1：，
∵b=，
∴a=2b=2，c=b=2．
（2）在△ABC中，b=，a=2，c=2，
由余弦定理可得csC===．
（3）由（2）可知csC=，
又，则sinC==，
∴sin2C=2sinCcsC=，cs2C=2cs2C-1=，
则sin（2C-）=sin2Ccs-cs2Csin=．
17.【答案】（1）解：由题意可知absinC=×2abcsC．
所以tanC=．
因为0＜C＜π，
所以C=；
（2）解：由已知sinA+sinB
=sinA+sin（π-C-A）
=sinA+sin（-A）
=sinA+csA+sinA
​​​​​​​=sinA+csA
=sin（A+）≤．
当A=,即△ABC为正三角形时取等号，
所以sinA+sinB的最大值是．
18.【答案】，对称中心为
19.【答案】 左边=
=，
右边=
=，
由α+β+γ+ω=π，得cs（α+ω）+cs（β+γ）=0，
所以sin（α+β）sin（α+γ）=sinαsinω+sinβsinγ