2027届高考数学一轮总复习7.6利用空间向量证明平行、垂直【课件】

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课标解读　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行、垂直关系.3.借助利用空间向量解决平行、垂直问题的学习,提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1.直线的方向向量与平面的法向量
2.空间位置关系的向量表示
[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l的方向向量a一定是单位向量.(　　)(2)同一个平面的法向量均为共线向量.(　　)(3)若a,b是平面α内的向量,且n·a=0,n·b=0,那么n可以作为平面α的一个法向量.(　　)
解析 方向向量的模长可为任意非零值,不一定是单位向量.
解析 a,b不共线时,n才可以作为平面的一个法向量.
3.设直线l的方向向量u=(-2,2,t),平面α的一个法向量v=(6,-6,12),若直线l⊥平面α,则实数t等于(　　)A.4　　B.-4　　C.2　　D.-2
考点一　用空间向量证明平行关系
例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.求证:MN∥RS.
规律方法　利用空间向量证明平行关系的方法和步骤(1)要证明线线平行,首先需要证明两直线的方向向量共线,再说明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上.(2)要证明线面平行,首先需要证明该直线的方向向量与平面的法向量垂直,或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,再说明该直线上存在某个点不在平面内.(3)要证明面面平行,首先需要证明两平面的法向量为共线向量,再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行).
[对点训练1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为底面A1B1C1D1和侧面BCC1B1的中心.求证:
(1)EF∥平面A1BD;(2)平面B1EF∥平面A1BD.
证明 (1)以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
考点二　用空间向量证明垂直关系
例2　如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C=CB=CA=2,AC⊥BC,D,E分别为棱C1C,B1C1的中点.证明:平面ACE⊥平面A1BD.
规律方法　利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤(1)要证明线线垂直,需证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)要证明线面垂直,需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或先通过向量证明线线垂直,再由线面垂直的判定定理证明.(3)要证明面面垂直,需证明两个平面的法向量垂直.
[对点训练2]在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
考点三　与平行、垂直有关的存在性问题
例3　(2025·浙江绍兴期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠CAB=90°,AB=AC=2,AA1=3,M为BC的中点,P为侧棱BB1上的动点.(1)求证:平面AMP⊥平面BB1C1C.(2)试判断是否存在P,使得直线BC1⊥AP.若存在,求PB的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明 ∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC,∴AM⊥BB1,∵AB=AC=2,M为BC的中点, ∴AM⊥BC,∵BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BB1C1C,∴AM⊥平面BB1C1C, ∵AM⊂平面APM,∴平面APM⊥平面BB1C1C.
规律方法　存在性问题的两种探索方式
[对点训练3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,E是PA的中点.
(1)求证:PC∥平面BDE.(2)若PA=2,在线段PC上是否存在一点F,使AF⊥平面BDE?若存在,求出PF的长度;若不存在,请说明理由.
(1)证明 如图,连接AC交BD于点O.因为四边形ABCD是正方形,所以O是AC的中点,又E是PA的中点,所以OE∥PC.因为OE⊂平面BDE,PC⊄平面BDE,所以PC∥平面BDE.(2)解 存在,理由如下:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥DA.
又PA∩DA=A,PA⊂平面ADP,DA⊂平面ADP,所以CD⊥平面ADP.以D为坐标原点,过点D作PA的平行线为x轴,分别以DA,DC为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.则A(0,2,0),B(0,2,2),C(0,0,2),D(0,0,0),P(2,2,0),E(1,2,0),