四川南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知函数 ，则， 下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2.请将答案正确填写在答题卡上.
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】 .
2. 小明有 4 件不同的上衣、5 条不同的裤子、2 双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（
）
A. 11 种 B. 22 种 C. 24 种 D. 40 种
【答案】D
【解析】
【分析】应用分步乘法原理计算求解.
【详解】第一步选上衣有 4 种选法，第二步选裤子有 5 种选法，第三步选鞋子有 2 种选法，所以共有
种选法.
3. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，
所以 .
4. 下列求导运算正确的是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的四则运算，复合函数的求导法则逐一进行判断.
【详解】对 A，因为 为常数，故 ，A 错误；
对 B， ，故 B 错误；
对 C， ，故 C 错误；
对 D， ，D 正确.
故选：D
5. 已知 6 名学生中有 4 名男生，从中选出 3 名代表，则选出的代表中有 2 名男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】选择三名代表的可能性有 种，选出的代表中有 2 名男生的可能性为 ，
所以 .
6. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减
C. 当 时， 取极小值 D. 当 时， 取极大值
【答案】C
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【解析】
【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项 A，由图知，当 时， 的符号有正有负，
不是单调的函数，所以选项 A 错误，
对于选项 B，由图知，当 时， 是增函数，所以选项 B 错误，
对于选项 C，由图知 ，且在 左侧附近， ，在 右侧附近， ，
所以 是极小值点， 在 处取到极小值，所以选项 C 正确，
对于选项 D，由图知 ，且在 左侧附近， ，在 右侧附近， ，
所以 是极小值点， 在 处取到极小值，所以选项 D 错误，
故选：C.
7. 某演讲比赛结束后，2 名男同学、3 名女同学和 2 位老师站成一排拍照留念，则 2 位老师相邻，且 3 名女
同学不相邻的站法有（ ）
A. 264 种 B. 288 种 C. 312 种 D. 336 种
【答案】B
【解析】
【分析】首先 2 名老师捆绑为一个元素和 2 名男同学全排列，再让女同学插空排列.
【详解】将 2 名老师作为一个元素和 2 名男男同学共 3 个元素全排列，共有 种方法，
再让 3 名女同学插空，有 种方法，所以满足条件的站法有 种.
8. 已知函数 的定义域为 ， ，其导函数 满足 ，则不等
式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，求导后判断 的单调性，然后根据单调性解不等式即可.
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【详解】令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，则原不等式等价于 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 已知 的展开式中各二项式系数之和为 64，则（ ）
A. B. 常数项为 160
C. 含 项的系数为 240 D. 二项式系数最大的项为第 3 项
【答案】AC
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质，可判定 A 正确，D 错误；求得二项展开式的通项，结合通项公式，可判
定 B 错误，C 正确.
【详解】对于 A，由二项式 的展开式中各二项式系数之和为 64，
可得 ，解得 ，故 A 正确；
对于 B，二项展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ，所以展开式的常数项为 ，故 B 错误；
对于 C，令 ，解得 ，所以含 项的系数为 ，故 C 正确；
对于 D，二项式系数最大的项为第 项，故 D 错误.
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10. 已知函数 ，则（ ）
A. B.
C. 在 上单调递增 D. 不等式 的解集为
【答案】ACD
【解析】
【详解】已知函数 ，则 ，
所以 ，
，
当且仅当 时，即当 时等号成立，所以函数 在 上为增函数；
由 ，得 .
因为函数 在 上为增函数，由 可得 .
故不等式 的解集为 ，ACD 都对，B 错.
11. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 处取得极大值 B. 在 上单调递增
C. 有两个零点 D. 若 在 上恒成立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】求导后利用导数正负可得其单调性及其极值，即可得 A、B；结合零点存在性定理可得 C；构造函
数 ，利用导数可研究其单调性，再利用单调性计算其最值即可得 D.
【详解】对 A、B： ，
当 时， ，当 时， ，
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故 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极大值 ，故 A、B 正确；
对 C：由 ， ，
故 在 上有一个零点，
当 时， ，故 在 上无零点，
故 有一个零点，故 C 错误；
对 D：令 ，则 在 上恒成立，
，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，即 ，故 D 正确.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 若直线 是曲线 的一条切线，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解.
【详解】设切点为 ，
由于 ，则 ，解得 ，
于是切点为 ，则 ，解得 ．
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13. 若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 .
故答案为：
14. 已知函数 ，若正实数 a, 满足 ，则 的取值范围是
_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题要先使用单调性分析得到 在 上单调减少, 在 上单调增加, 因为
, ,所以, ,再发现 ，进而得到 ，再使用双勾
函数求解.
【详解】 ,
当 时, ,当 时, ;
所以, 在 上单调递减, 在 上单调递增,
因为 , ,
所以 ;
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即
因为 , ,
所以, ;
则 ，又因为函数 在 上单调递增，
所以, ,
所以, 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知等差数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求公差，进而写出通项公式；
（2）应用裂项相消法求和即可.
【小问 1 详解】
若等差数列的公差为 ，结合题设有 ，
所以 ，可得 ，
故 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
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所以 .
16. 已知函数 在 处取得极值.
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值与最小值.
【答案】（1）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（2）最大值为 2，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）根据函数的极值点求出 a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案；
（2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案.
【小问 1 详解】
由题意得 ，由题意得 ，即 ，解得 ，
故 ，定义域为 R，
，令 得 或 ，令 得 ，
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
易知 为极小值点， 符合题意，
所以 单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
由（1）知， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
1
+ 0 - 0 +
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单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 ， .
又 ， ，
故 的最大值为 2，最小值为 .
17. 记 为数列 的前 项和，已知 .
（1）求 ， ；
（2）证明：数列 是等比数列；
（3）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ，
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先令 求出首项，再将 分别代入已知等式即可求出；
（2）当 时，求出 的值，当 时，由 可得到 ，两式作差
可得 ，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（3）由（2）中的结论可求出数列 的通项公式，求得 的表达式，再利用错位相减法可求得 .
【小问 1 详解】
因为
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得
【小问 2 详解】
证明：当 时， ；
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当 时， ，
两式相减得： ，所以
所以
又因为 ，
所以 ，所以 是首项为 4，公比为 4 的等比数列.
【小问 3 详解】
由（2）知：
所以 ，
所以 ①，
故 ②，
两式相减得， ，
故 .
18. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若曲线 经过点 ，且在 处的切线为 ．证明：除切点 外，曲线 在直线
的下方．
【答案】（1）①当 时， ，则 在 上单调递增;
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）证明见解析
【解析】
【分析】第 1 问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第 2 问将要证明曲线
在直线 的下方，转化为函数不等式问题即可，
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【小问 1 详解】
（1）因为 的定义域为 ，
的导函数 .
①当 时， ，则 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ；
令 ，得 ；
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减.
【小问 2 详解】
（2）因为曲线 经过点
所以 ，解得 ．
所以 ．
因为 ，所以 的方程为 .
要证除切点 外，曲线 在直线 的下方，
即证： ，
只需证： .
设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
所以当 时， ，
所以原命题得证.
19. 设函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，讨论 的单调性；
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（3）在（2）的条件下，记 的最大值为 ，若对任意的 ，使得关于 a 的不等式
恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减；当 时， 在 上单调递减
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导后分 、 和 讨论求解即可；
（3）将问题转化为 成立，令 ，利用导数求出 的最大
值即可得答案.
【小问 1 详解】
依题意 ，
所以 , ，
又
函数在 处的切线方程为 ，
即 ．
【小问 2 详解】
当 ，
①当 时， ， 在 单调递增，
②当 时， ， 在 单调递减，
③当 时，令 ，解得
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则当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减．
综上可知，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减
【小问 3 详解】
由（2）可知，
，
，
故 在 单调递减，
又因为 时， ,
所以 ，
即 ，
因为，对 ，关于 a 的不等式 恒成立，
所以，对 ， 恒成立，
即 成立，
令 ，
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因为
令 在 上单调递增
因为
所以，由零点存在定理，可知 ，使得 ，即 ．
当 时，
当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 ，
所以