四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多选选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，
考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．1C．或1D．2
2．如图，在中，设，则（ ）
A．B．C．D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
4．如图所示，已知正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )
A．4 B． 2 2 C． 8 D． 2+2 3
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．16
7．已知平面向量a,b满足|a|=1,⟨b,a+b⟩=π6，则|a-b|的最大值为（ ）
A．2B． 2+1C． 3+1D． 3
8．在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B．，则 C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．是的一个对称中心
C．的单调递增区间
D．若实数，满足.，则的最小值为
11．如图，在正方体中，E，F是底面正方形四边上的两个不同的动点，过点的平面记为，则（ ）
A．截正方体的截面可能是正五边形
B．当E，F分别是的中点时，分正方体两部分的体积之比是25∶47
C．当E，F分别是的中点时，上存在点P使得
D．当F是中点时，满足的点E有且只有2个
第II卷（非选择题）
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 ．
13．函数最大值为 ．
14．解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.某校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30∘，45∘，60∘，且CD=DE=22m，则解放碑的高AB为 m．
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）已知，．
(1)若与的夹角为，求的值．
(2)求向量在向量上投影的数量．
16．（本小题满分15分）在中，设所对的边分别为，已知.
(1)求角的值；
(2)若，判断的形状；
(3)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
17．（本小题满分15分）设函数，
(1)若函数在是增函数，求实数的最大值；
(2)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.
18．（本小题满分17分）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点，求的值．
19．（本小题满分17分）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，求且时的值；
（3）由（1）中函数图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
数学参考答案
一二、选择题
三、填空题：12. 6 13. 14. 11 6
7．【解析】解：设a=OA,b=OB,a+b=OC，如图，
由题意，即在平行四边形OACB中，OA=1,∠OCA=π6，
延长OA至OD，使OA=AD，则CD=AB，
由正弦定理，O，A，C三点所在外接圆的直径2R=OAsin∠OCA=2，
所以R=1，设圆心为G，如图，
所以可知∠GOD=π3，又OG=1，OD=2，
所以由余弦定理可得DG= 12+22-2×1×2×csπ3= 3，
则由图可知CD≤DG+R=1+ 3.
故选：C.
根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求CD的最值，利用外接圆结合数形结合可求最值．
本题考查了平面向量加法的几何应用和正弦定理的应用，属于中档题．
8．由题知,在正四面体中,为中点,
,平面,
设中点为,连,为中点,
,且,平面,
即为在平面上的射影,
沿展开平面,使之与平面重合,
此时,的最小值即为点到的距离,
故过点作于点,
又,,,
,
,
11．A.若截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的平行平面上，此时该五边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平行，故截面不可能是五边形，选项A错误．
B.如图，延长分别交于点G，I，连接分别交于点H，J，
∴截面为五边形，记正方体棱长为6，，
截面下侧的体积为，
另侧体积为：，∴，故选项B正确.
C．截面为图中等腰梯形，此时取中点P，知，
平面,平面 ∴，故选项C正确．
D.当E在上时，设，
由，
故上有一个点E；当E在上时，，故上不存在这样的点E；
当E在上时，，故上也不存在；
当E在上时，设，∴，故上存在一个点E，∴共2个，选项D正确．
14．11 6
【解析】解：由题意，设AB=xm，Rt△ABC中，BC=xtan30∘= 3xm，
同理可得BD=xtan45∘=xm，BE=xtan60∘= 33xm，
因为CD=DE=22m，所以在△BEC中，cs∠BEC=BE2+EC2-BC22BE⋅EC=13x2+442-3x22× 33x×44…①，
在△BDE中，cs∠BED=BE2+ED2-BD22BE⋅BD=13x2+222-x22× 33x×22…②，
由①②组成方程组，解得x=11 6，即AB=11 6m.
故答案为：11 6.
设AB=x米，根据锐角三角函数的定义求出BC、BD、BE关于x的表达式，然后分别在△BEC、△BDE根据余弦定理列式，建立关于x的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查锐角三角函数的定义、余弦定理等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分） （1）因为，，
又与的夹角为，
则，解得；（6分）
（2）因为，，所以，，
所以向量在向量上投影的数量为；（7分）
16．（本小题满分15分）（1）在中，由及正弦定理，得，
整理得，
因，则，则得，而，所以；（4分）
（2）在中，由及正弦定理，得，
故得，因，故得，即为等边三角形；（9分）
（3）由（1）知，，
因为锐角三角形，得，则，
由正弦定理，得，
所以；（15分）
17．（本小题满分15分）（1）
（4分）
令，则，（6分）
令，则；令，则；令，则；
若函数在是增函数，则，则的最大值为；（9分）
（2），
因为，则当时，，
为使在上恰有两个零点，则，
解得，则的取值范围为；（15分）
18．（本小题满分17分）（1）连接，
在中，，，且，
又，，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面；(5分)
（2）由（1）得，又平面，平面，
平面，
在中，，，
又平面，平面，平面，
又因且均在平面中，
平面平面；（11分）
（3）由（1）知，又面，面，平面，
又平面，面面，
，又，，．（17分）
19．（本小题满分17分）
（1）
（2）
（3）存在点，使得.
【分析】（1）利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量；（2）根据向量得到，利用利用凑角法得到；（3）先求出，再设出P点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到，根据两边的取值范围，得到当且仅当时，和同时等于，此时.
【小问1详解】，
故；(5分)
【小问2详解】由题意得：，故，由于，所以，所以，所以
(10分)
【小问3详解】
，所以，假设存在点，使得，则即，因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得(17分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
B
C
D
A
C
A
AC
BD
BCD