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    这是一份四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二理科数学下学期期中试题(Word版附解析),共20页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上, 若,则, 如图,方程表示的曲线是.等内容,欢迎下载使用。

    20222023学年高二下期期中考试

    理科数学试题

    考试范围:圆锥曲线、导数、选修4-4第一章 坐标系

    考试时间:120分钟;总分:150

    注意事项:

    1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

    2.请将答案正确填写在答题卡上

    I卷(选择题)

    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 已知复数,则(   

    A.  B. 的共轭复数为

    C. 复数对应的点位于第二象限 D. 复数为纯虚数

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用复数的模长公式可判断A选项;利用共轭复数的定义可判断B选项;利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项;利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.

    【详解】

    所以,,则A错误;

    的共轭复数为,则,故B错误;

    ,复数对应的点,位于第四象限,故C错误;

    为纯虚数,故D正确.

    故选:AD.

    2. 下列函数中,既是定义域内单调递增函数,又是奇函数的为(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】求导,根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.

    【详解】对于A 为奇函数,是周期函数,在定义域内不单调,不符合题意,不符合题意;

    对于,定义域为 ,所以为奇函数,但在定义域内不单调,不符合题意;

    对于C

    故函数不是奇函数,不符合题意;

    对于D ,是增函数, ,是奇函数,满足题意;

    故选:D.

    3. ,则(  )

    A. 0 B.

    C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】由常数的导数为0即可得解.

    【详解】.

    故选:A.

    4. 设双曲线的渐近线方程为,则此双曲线的离心率为(  

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据渐近线方程求出ab的关系即可.

    【详解】双曲线 的渐近线方程为:

    故选:A.

    5. 如图,方程表示的曲线是(    ).

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】,去掉绝对值,得到相应的曲线.

    【详解】,当时,

    时,,画出符合题意的曲线,为B选项,

    故选:B

    6. 对于常数方程曲线是椭圆的(    ).

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

    【答案】B

    【解析】

    【分析】运用椭圆方程的一般形式求得mn的范围,结合两集合的包含关系判断即可.

    【详解】因为方程的曲线是椭圆,则

    又因为

    所以方程的曲线是椭圆的必要不充分条件.

    故选:B.

    7. 已知为坐标原点,动点满足,其中,且,则动点的轨迹是(   

    A. 焦距为的椭圆 B. 焦距为的椭圆

    C. 焦距为的双曲线 D. 焦距为的双曲线

    【答案】D

    【解析】

    【分析】动点,由得到,进而得到,化简可得答案.

    【详解】设动点,因为点满足,其中

    ,所以,所以

    所以,所以

    ,表示焦距为的双曲线.

    故选:D

    8. 已知函数的导函数为,且满足,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】在等式求导,再令,可得出关于的等式,解之即可.

    【详解】在等式两边求导得,所以,,解得.

    故选:C.

    9. 已知函数的导函数是,对任意的,若,则的解集是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】,求得,根据题意得到,得到函数单调递减,又由,得到,把,转化为,结合函数的单调性,即可求得不等式的解集.

    【详解】设函数,可得

    因为,可得,所以函数调递减,

    又因为,可得

    由不等式,即为,所以

    即不等式的解集为.

    故选:C.

    10. 函数的定义域为,它的导函数的部分图像如图所示,则下列结论正确的是(   

    A. 的极小值点

    B.

    C. 函数上有极大值

    D. 函数有三个极值点

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据导函数与原函数的关系,结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.

    【详解】时,单调递增,

    时,单调递减,

    所以有,因此选项B正确;

    时,单调递增,

    所以上没有极大值,因此选项C不正确;

    时,单调递增,

    因此不是的极值点,只有当时,函数有极值点,

    所以选项A不正确,选项D不正确,

    故选:B

    11. 的右焦点为,点在双曲线上,若,且,其中为坐标原点,则双曲线的离心率为(   

    A.  B.  C.  D. 2

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据已知判断在双曲线右支上,根据双曲线的定义可得.然后在中,根据余弦定理即可得出的齐次方程,然后得出离心率的方程,求解即可得出答案.

    【详解】

    设双曲线左焦点为,由已知可推得在双曲线右支上,如图所示,

    根据双曲线的定义可知,,所以.

    由已知,

    中,有

    由余弦定理可得,

    整理可得,

    两边同时除以可得,

    解得(舍去),所以.

    故选:C.

    12. 已知动点P在双曲线C上,双曲线C的左、右焦点分别为,则下列结论:

    C的离心率为2           

    C的焦点弦最短为6

    动点P到两条渐近线的距离之积为定值;

    当动点P在双曲线C的左支上时,的最大值为

    其中正确的个数是(   

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

    【答案】B

    【解析】

    【分析】由性质可得;用特殊值可判定;设点坐标计算化简即可,利用双曲线的焦半径办公计算即可.

    详解】由题意可得,即正确;

    显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时,该弦长为实轴,长度为26,即错误;

    易知双曲线的渐近线方程为,设点,则,且到两条双曲线的距离之积为是定值,故正确;

    对于,先推下双曲线的焦半径公式:

    对双曲线上任意一点及双曲线的左右焦点

    同理

    所以,此即为双曲线的焦半径公式.

    设点,由双曲线的焦半径公式可得

    其中,则

    由二次函数的性质可得其最大值为,当且仅当,即时取得,故错误;

    综上正确的是两个.

    故选:B

    II卷(非选择题)

    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20.

    13. 动点P到两定点A(40)B(40)距离之和为10,则点P的轨迹方程为________

    【答案】

    【解析】

    【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.

    【详解】解:因为

    由椭圆的定义可知,动点的轨迹是以为焦点,长轴长为10的椭圆,

    所以

    所以点的轨迹方程是.

    故答案为:

    14. 若函数的图象在处的切线斜率为,则实数__________.

    【答案】##

    【解析】

    【分析】求出函数的导数,再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求

    【详解】因为,所以,所以处的切线斜率,解得

    故答案为:

    15. 已知抛物线的焦点为,设点在抛物线上,若以线段为直径的圆过点,则______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得,进而得斜率关系,联立直线与抛物线的方程即可得交点,由焦半径公式即可求解.

    【详解】因为,所以,焦点的坐标为.

    ,则直线的斜率为,因为以线段为直径的圆过点

    所以,所以直线的斜率为

    直线的方程为

    联立 解得,

    故答案为:

    16. 已知球的半径为2,四棱锥的顶点均在球的球面上,当该四棱锥的体积最大时,其高为______

    【答案】##

    【解析】

    【分析】根据圆的几何性质、球的几何性质,结合导数的性质、棱锥的体积公式进行求解即可.

    【详解】圆内接四边形是正方形时,这个四边形的面积最大,当四棱锥的高经过点时,此时体积最大,如图所示:

    设此时正方形的边长为,所以

    设该四棱锥的高为,所以有

    由勾股定理可得:

    该四棱锥体积为

    时,单调递增,当时,单调递减,

    所以当时,函数有最大值.

    故答案为:.

    【点睛】关键点睛:根据导数的性质是解题的关键.

    三、解答题:本题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.2223题为选考题,考生根据要求作答.

    (一)必考题:共60.

    17. 求适合下列条件的曲线的标准方程.

    1实轴长为,焦点坐标为,求双曲线的标准方程;

    2焦点在轴正半轴上,且焦点到准线的距离是的抛物线的标准方程.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)由实轴长得到,由焦点坐标得到焦点位置和,再由,即可求出双曲线的标准方程;

    2)由抛物线标准方程相关概念求解即可.

    【小问1详解】

    双曲线的一个焦点坐标为,为轴上一点,

    设双曲线标准方程),且

    双曲线实轴长为

    双曲线的标准方程为.

    【小问2详解】

    抛物线焦点在轴正半轴上,

    设抛物线的标准方程为),

    抛物线焦点到准线的距离是

    抛物线的标准方程为.

    18. 已知函数且在处取得极值.

    1ab值;

    2求函数的最大值与最小值.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)利用来求得的值.

    2)结合(1)求得在区间上的最值,由此确定正确结论.

    【小问1详解】

    依题意,解得.

    所以在区间递增;

    在区间递减.

    所以处取得极大值,在处取得极小值,符合题意.

    【小问2详解】

    由(1)知,在区间上的最大值为,最小值为.

    19. 如图1所示,在边长为3的正方形中,将沿折到的位置,使得平面平面,得到图2所示的三棱锥.点分别在上,且.记平面与平面的交线为l

    1在图2中画出交线l,保留作图痕迹,并写出画法.

    2求二面角的余弦值.

    【答案】1答案见解析   

    2

    【解析】

    【分析】1)利用公理3,通过找出两平面的两个公共点即可求出结果;

    2)建立空间直角坐系,求出平面AFG与平面EFG的法向量,再利用空间向量的面面公式及图形即可求出结果.

    【小问1详解】

    作图步骤:如图所示,延长EFAB交于点M,延长ACEG交于点N,连接MN,则直线MN即为交线l

    保留作图痕迹且正确.

    【小问2详解】

    四边形ABCD是长为3的正方形,取中点,连接,则,又平面平面,平面平面平面,所以平面,又平面,所以,故可建立如图所示的空间直角坐标系

    所以

    设平面AFG与平面EFG的法向量分别为,则

    ,得到 不妨设,则

    所以

    ,得到,取,则,所以

    所以

    由图知,二面角为锐二面角,故二面角的余弦值为

    20. 已知椭圆的离心率为,直线,左焦点F到直线l的距离为

    1求椭圆的标准方程;

    2直线与椭圆相交于AB两点.CD是椭圆T上异于AB的任意两点,且直线ACBCADBD的斜率都存在.直线ACBD相交于点M,直线ADBC相交于点N.设直线ACBC的斜率为

    的值;

    求直线MN的斜率.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)由距离公式求出,再由离心率求出,即可求出,从而得解;

    2)首先求出两点坐标,

    ,利用斜率公式计算可得;

    的斜率分别为,设直线的方程为,直线的方程为,即可求出点坐标,同理求出点坐标,再由斜率公式计算即可得解.

    【小问1详解】

    因为,所以

    又左焦点到直线的距离为,有

    解得(舍去),所以

    椭圆方程为

    【小问2详解】

    由(1)知,椭圆的方程为

    ,解得,所以

    斜率都存在,即存在.

    ,显然,且

    从而

    的斜率分别为

    设直线的方程为,直线的方程为

    ,解得

    从而点的坐标为

    因为

    设直线的方程为,即

    设直线的方程为,即

    得点的坐标为

    即点的坐标为

    所以

    21. 已知函数

    1的极值;

    2若不等式上恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】1极小值,无极大值.   

    2

    【解析】

    【分析】1)求出函数的导函数,即可得到函数的单调区间,从而求出函数的极值;

    2)参变分离可得对任意的恒成立,令,利用导数说明函数的单调性,求出函数的最小值,即可得解.

    【小问1详解】

    函数的定义域为,又

    ,令

    所以上单调递减,在上单调递增,

    所以处取得极小值,无极大值.

    【小问2详解】

    即对任意的恒成立,

    ,则

    ,则

    所以当,当

    所以上单调递增,在上单调递减,

    所以当内存在唯一的零点

    所以当单调递增,

    单调递减,

    单调递增,

    所以

    因为,所以

    所以

    因为,所以

    所以

    所以实数的取值范围为.

    【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极()值问题处理.

    (二)选考题:共10分,请考生在2223题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

    22. 已知曲线C的极坐标方程为AB是曲线C上不同的两点,且,其中O为极点.

    1求曲线C的直角坐标方程;

    2求点B的极径.

    【答案】1   

    2.

    【解析】

    【分析】1)利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程;

    2)利用题给条件列方程组即可求得点B的极径.

    【小问1详解】

    ,得:

    所以曲线C的直角坐标方程为

    【小问2详解】

    ,则由题意可知

    AB坐标代入方程得:

    ,得(负值舍去)

    B的极径为.

    23. 在直角坐标系中,曲线M的方程为,曲线N的方程为,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.

    1求曲线MN的极坐标方程;

    2若射线与曲线M交于点A(异于极点),与曲线N交于点B,且,求

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)根据极坐标与直角坐标的互化公式,即可求解曲线的极坐标方程;

    2)将代入曲线的方程,求得 ,结合题意求得,即可求解.

    【小问1详解】

    :由,可得,即

    又由,可得

    所以曲线M的极坐标方程为

    ,可得,即

    即曲线N的极坐标方程为.

    【小问2详解】

    解:将代入,可得

    代入,可得

    因为,所以

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