专题02 统计与概率 2025-2026高中数学必修二高一下期末复习专题讲义（人教版2019B）

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A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的球中至少有1个是黑球
D．摸出的是2个白球、1个黑球
2．下列关于随机事件的说法错误的是（ ）
A．必然事件与任意事件独立
B．不可能事件与任意事件独立
C．两个概率大于0的互斥事件可以不独立
D．两个概率大于0的独立事件可以互斥
3．对于随机事件A，B有P（A）=14，P（AB）=16，P（A+B）=12，P（B）＝ ．
二．事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共3小题）
4．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（ ）
A．A与B对立B．A与B互斥
C．A与B相互独立D．P（A+B）＝P（A）+P（B）
5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝“向上的点数不大于3”，B＝“向上的点数为偶数”，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．A⊆B
B．A∩B＝“向上的点数为2”
C．事件A与B是互斥事件
D．事件A与B是对立事件
6．已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
三．列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共3小题）
7．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
8．小明在暑假参加了一项评价测试，在这次测试中，要从10道题中随机抽出5道题，若考生至少能答对其中3道题即可通过，至少能答对其中4道题就获得优秀．已知小明能答对10道题中的5道题，并且知道他在这次测试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：
（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
四．概率的应用（共3小题）
（多选）10．袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B不相互独立
B．事件A与事件B互斥
C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为14
D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为12
（多选）11．对于随机事件A，B，若P(A)=14，P(B)=34，P(B|A)=15，则（ ）
A．P(AB)=120B．P(A|B)=15
C．P(AB)=710D．P(A+B)=910
12．现有质量分别为1，2，3，4，5，7千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子．则第一、二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 ．
五．相互独立事件的概率乘法公式（共3小题）
13．已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（ ）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则P(AB)=0.16
14．现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为23，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（ ）
A．2027B．1627C．49D．.89
15．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为23，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ）
A．23B．49C．1627D．2027
六．抽签法简单随机抽样及其步骤（共3小题）
16．下列抽样中适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
17．高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为（ ）
A．81，95.5B．81，85C．83.5，92D．83.5，91
18．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法正确的是（ ）
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①②B．①③C．①④D．②③
七．求随机数法抽样的样本（共3小题）
19．总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A．01B．02C．04D．07
20．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02B．14C．15D．16
21．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，，假设从第1行第8列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 ．
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
八．分层随机抽样及其适用条件（共3小题）
22．某学校有高中学生3000人，初中学生2000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（ ）
A．150人B．200人C．300人D．500人
23．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（ ）
A．40，32B．42，30C．44，28D．46，26
（多选）24．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
抽样方法不合理的是（ ）
A．①抽签法，②分层随机抽样
B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法
D．①抽签法，②随机数法
九．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量（共3小题）
25．某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
26．某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（ ）
A．20B．30C．40D．50
27．某学校高一年级由360名男同学和270名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为28的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（ ）
A．12B．14C．16D．28
十．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数（共3小题）
28．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）
A．1.86B．1.88C．1.9D．1.92
（多选）29．在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了男职员4人，女职员3人，其中男职员的平均数为56，女职员的平均数为42，则（ ）
A．总样本的平均数为49
B．总样本的平均数为50
C．总样本的方差小于48
D．总样本的方差不小于48
30．某学校有男生800人，女生600人．为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 ．
十一．普查与抽样（共3小题）
31．在以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
32．在以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．调查一批玉米种子的发芽率
C．调查一批炮弹的杀伤半径
D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
（多选）33．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查某市小学生每天的运动时间
B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C．农业科技人员调查某块地今年麦穂的单穂平均质量
D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况
十二．茎叶图（共3小题）
34．甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字状示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
35．测量甲、乙两组各10名学生的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．两组学生身高的极差不相等
B．甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大
C．甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大
D．甲组学生身高在175cm以上的人数较多
36．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由．
（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
十三．扇形统计图（共3小题）
37．随着汽车智能化与电动化的不断升级，无人驾驶汽车成为汽车行业发展的新趋势．据统计，截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．注册资本不高于200万元的企业数量占比不足14
B．注册资本在1000万元以上的企业超过750家
C．注册资本分布数据的80%分位数是19.2%
D．从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，该企业注册资本在200万元—500万元的概率不小于0.55
38．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）
A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人
C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人
D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多
39．随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注．某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
甲款电动汽车10名车主的评分是：100，95，85，85，80，80，80，80，75，70．
乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是：85，85，85，81，80．
抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表
抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该4S店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人．若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？
十四．平均数（共3小题）
40．样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
41．已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为s12，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为s22，则（ ）
A．s12＞s22
B．s12=s22
C．s12＜s22
D．s12与s22的大小关系不确定
（多选）42．在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据x1，x2，x3，⋯，x10满足xi﹣1＜xi（2≤i≤10），按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（ ）
A．极差变小B．中位数不变
C．平均数变高D．第75百分位数变小
十五．中位数（共3小题）
43．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（ ）
A．平均数B．极差C．方差D．中位数
44．样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
45．已知x＞0，若x，3x，x+2，x2的中位数为2，则x＝（ ）
A．12B．23C．2D．1
十六．众数（共3小题）
46．小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月（30天）每天花在健身运动上的时间（单位：分钟），记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（ ）
A．N＜M＜PB．P＜N＜MC．M＜P＜ND．M＜N＜P
（多选）47．已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（ ）
A．这组数据的极差为4
B．这组数据的方差为2
C．这组数据的众数等于平均数
D．这组数据的第70百分位数为2025
48．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，则众数为 ．
十七．标准差（共3小题）
49．在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.4：乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，则（ ）
A．平均说来乙队比甲队防守技术更好
B．甲队比乙队防守技术水平更稳定
C．乙队很少失球
D．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又较好
50．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14 pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
B．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
51．甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：
记这7天甲地每天最低气温的标准差为s1；记这7天乙地每天最低气温的标准差为s2．根据上述信息，若s1＝s2，则a值可以为 ．（写出一个符合题意答案即可）
十八．方差（共3小题）
52．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
53．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是x=4，方差s2＝2，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数和方差分别为（ ）
A．11，4B．8，8C．11，8D．4，2
54．设一组样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1+1，3x2+1，⋯，3xn+1的标准差为（ ）
A．12B．33C．6D．36
十九．极差（共3小题）
55．已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是（ ）
A．[5，11]B．{5，11}C．{5}D．[6，17]
（多选）56．气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（ ）
A．该组数据的极差为6
B．该组数据的众数为26
C．该组数据的中位数为25.5
D．该组数据的第70百分位数为26
57．为了解夏季高温天气的变化情况，某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，则该地区这10天日平均气温的极差是 ℃．
二十．百分位数（共3小题）
58．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（ ）
A．10B．11C．12D．14
59．某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），分别为13，9，13，10，8，8，15，14，则该组数据的第80百分位数为
A．10B．13C．13.5D．14
（多选）60．已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（ ）
A．这组数据的极差是5
B．这组数据的中位数是4.5
C．这组数据的第80百分位数是5.5
D．这组数据的方差是4.25
专题02 统计与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共40小题）
二．多选题（共9小题）
一．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题）
1．在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的球中至少有1个是黑球
D．摸出的是2个白球、1个黑球
【答案】C
【解答】解：对于A，摸出的是3个白球是不可能事件，故A错误；
对于B，摸出的是3个黑球是随机事件，故B错误；
对于C，摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，故C正确；
对于D，摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件，故D错误．
故选：C．
2．下列关于随机事件的说法错误的是（ ）
A．必然事件与任意事件独立
B．不可能事件与任意事件独立
C．两个概率大于0的互斥事件可以不独立
D．两个概率大于0的独立事件可以互斥
【答案】D
【解答】解：因为P（ΩA）＝P（A），而P（Ω）P（A）＝1•P（A）＝P（A），
因此P（ΩA）＝P（Ω）P（A），故A正确，
P（∅A）＝P（∅）＝0，而P（∅）P（A）＝0•P（A）＝0，
因此P（∅A）＝P（∅）P（A），故B正确，
设P（A）＞0，P（B）＞0，若A与B互斥，则AB＝∅，P（AB）＝0，
但P（A）P（B）＞0，因此P（AB）≠P（A）P（B），故C正确，
若A与B独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，
因此AB≠∅，A与B一定不互斥，故D错误．
故选：D．
3．对于随机事件A，B有P（A）=14，P（AB）=16，P（A+B）=12，P（B）＝ 512 ．
【答案】512．
【解答】解：随机事件A，B有P（A）=14，P（AB）=16，P（A+B）=12，
又P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），
则P（B）=12+16−14=512．
故答案为：512．
二．事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共3小题）
4．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（ ）
A．A与B对立B．A与B互斥
C．A与B相互独立D．P（A+B）＝P（A）+P（B）
【答案】C
【解答】解：抛掷一枚骰子的所有可能结果是：{1，2，3，4，5，6}，
事件A包含的结果是：{2，4，6}，
事件B包含的结果是：{5，6}．
∵A∪B没包含所有可能结果（如1，3没包含在内），∴A与B不对立，故A错误；
∵A∩1B＝{6]≠∅，∴A与B不互斥，故B错误；
∵P(AB)=16P（A）P(B)=12×13=16=P(AB)，
∴A与B相互独立，故C正确；
P(A)=36=12，（B）26=13，
而P(A+B)=46=23，故D错误．
故选：C．
5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝“向上的点数不大于3”，B＝“向上的点数为偶数”，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．A⊆B
B．A∩B＝“向上的点数为2”
C．事件A与B是互斥事件
D．事件A与B是对立事件
【答案】B
【解答】解：由题意可知，事件A为1，2，3，事件B为2，4，6，故A错误，B正确；
事件A，B可以同时发生，故CD错误．
故选：B．
6．已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】D
【解答】解：根据题意，由A和C对立，可得P（A）+P（C）＝1，
又由P（C）＝0.8，则P（A）＝0.2，
又由随机事件A和B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.3＝0.5．
故选：D．
三．列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共3小题）
7．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
【答案】B
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是 2C42=13．
故选：B．
8．小明在暑假参加了一项评价测试，在这次测试中，要从10道题中随机抽出5道题，若考生至少能答对其中3道题即可通过，至少能答对其中4道题就获得优秀．已知小明能答对10道题中的5道题，并且知道他在这次测试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【答案】1363．
【解答】解：设他考试通过为事件A，他考试获得优秀为事件B，
事件A包含他能答对其中的5道题，答对其中的4道题，答对其中的3道题，
则P（A）=C55+C54C51+C53C52C105=126C105，
P（AB）=C55+C54C51C105=26C105，
∴P（B|A）=P(AB)P(A)=26126=1363．
则他获得优秀成绩的概率为1363．
9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：
（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
【答案】（1）m＝1840，n＝0.46，p＝0.0018，q＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.036；
（2）13．
【解答】解：（1）由题意可得，m＝4000×（0.046×10）＝1840，
n＝0.046×10＝0.46，
p＝0.018÷10＝0.0018，
q＝4000×0.006＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.018+0.012+0.006＝0.036．
（2）用分层抽样的方法在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，
设上述6户为a，b，c，d．e，f（其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f），
在这6户中任选2户进行采访，该实验的样本空间有15个样本点，
具体为：Ω＝{（a，b），（a，c），（a，d），（a，f），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）}，
记这两户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”为事件A，
因为A＝{（a，f），（b，f），（c，f），（d，f），（e，f）}，
所以P(A)=n(A)n(Ω)=515=13．
四．概率的应用（共3小题）
（多选）10．袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B不相互独立
B．事件A与事件B互斥
C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为14
D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为12
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，从6个球中不放回的随机抽取两个球，有C62=15种情况，
若取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数，有C62−C32=12种情况，则P（A）=1215=45，
若取出的两个球的编号之和为偶数，即取出的两个球编号为两个偶数或两个奇数，有C32+C32=6种情况，则P（B）=615=25，
事件AB，即取出两个球都是奇数，有C32=3种情况，则P（AB）=315=15，
依次分析选项：
对于A，P（A）P（B）≠P（AB），则事件A与事件B不相互独立，A正确；
对于B，事件A、B可以同时发生，则事件A与事件B不是互斥事件，B错误；
对于C，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率P（B|A）=P(AB)P(A)=14，C正确；
对于D，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率P（A|B）=P(AB)P(B)=12，D正确．
故选：ACD．
（多选）11．对于随机事件A，B，若P(A)=14，P(B)=34，P(B|A)=15，则（ ）
A．P(AB)=120B．P(A|B)=15
C．P(AB)=710D．P(A+B)=910
【答案】AC
【解答】解：P(AB)=P(A)P(B|A)=14×15=120，A正确；
P(A|B)=P(AB)P(B)=12034=115，B错误；
P(AB)=P(B)−P(AB)=34−120=710，C正确；
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=14+34−120=1920，D错误．
故选：AC．
12．现有质量分别为1，2，3，4，5，7千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子．则第一、二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 25 ．
【答案】25．
【解答】解：根据题意，由于六件货物的质量之和为1+2+3+4+5+7＝22，不是3的倍数，
故不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况，
设事件A表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，B表示第一，二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量，
由对称性，可得P（B|A）=23，
当A发生时，这两个箱子的货物组合只能是{1，4）和（2，3），（1，5）和（2，4），（2，5）和（3，4），有三种可能，
故P（A）=C31A32C62C42=15，
当A不发生时，A表示表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得P（B|A）=13，
故P（B）＝P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=15×23+（1−15）×13=25．
故答案为：25．
五．相互独立事件的概率乘法公式（共3小题）
13．已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（ ）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则P(AB)=0.16
【答案】D
【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字，
设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”，
易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，
依次分析选项：
对于A，A⊆B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误；
对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误；
对于D，P（B）＝0.6，则P（B）＝0.4，
若事件A、B相互独立，则A与B也相互独立，则有P（AB）＝P（A）P（B）＝0.16，D正确．
故选：D．
14．现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为23，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（ ）
A．2027B．1627C．49D．.89
【答案】A
【解答】解：甲队每场获胜的概率为23，甲队获得胜利的情况为2：0，2：1，
若比分为2：0，其概率为P=23×23=49，
若比分为2：1，其概率为P=C2123×13×23=827，
则甲队获得胜利的概率49+827=2027．
故选：A．
15．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为23，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ）
A．23B．49C．1627D．2027
【答案】D
【解答】解：甲获得冠军分以下二类：
第一类：甲2：1获胜的概率为：P2=C21⋅23⋅13⋅23=827；
第二类：甲2：0获胜的概率为：P1=(23)2=49；
所以甲获胜的概率为P=49+827=2027．
故选：D．
六．抽签法简单随机抽样及其步骤（共3小题）
16．下列抽样中适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【解答】解：总体和样本容量都不大，采用抽签法．
故选：B．
17．高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为（ ）
A．81，95.5B．81，85C．83.5，92D．83.5，91
【答案】D
【解答】解：将题目中的8个数从小到大排列为：71，73，80，82，85，91，93，106，
中位数为第四、五两个数的平均数，等于82+852=83.5，
又∵8×70%＝5.6，∴这组数据的70%分位数为第六个数，等于91．
∴这组数据的中位数与70%分位数分别为83.5，91．
故选：D．
18．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法正确的是（ ）
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①②B．①③C．①④D．②③
【答案】B
【解答】解：对于①②，根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是20100=15，故①正确，②错误；
对于③④，由于总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），故③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．
故选：B．
七．求随机数法抽样的样本（共3小题）
19．总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A．01B．02C．04D．07
【答案】A
【解答】解：从第一行的第7列和第8列起由左向右依次选取两个数字，划去大于20的数，
得到的数分别为：08，02，14，07，01，所以第5个个体是01．
故选：A．
20．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02B．14C．15D．16
【答案】B
【解答】解：选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，
则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14．
故选出的第6个个体编号为14．
故选：B．
21．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，，假设从第1行第8列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 047 ．
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
【答案】047．
【解答】解：由题知，选取的同学编号分别是442，175，572，175，455，608，331，047，
剔除重复数据，超过500的数据，
符合条件的是442，175，455，331，047，第五个是047．
故答案为：047．
八．分层随机抽样及其适用条件（共3小题）
22．某学校有高中学生3000人，初中学生2000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（ ）
A．150人B．200人C．300人D．500人
【答案】C
【解答】解：因为初中学生2000人抽取了200人，所以抽样比为2002000=110；
学校有高中学生3000人，
所以高中生抽取了：3000×110=300人．
故选：C．
23．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（ ）
A．40，32B．42，30C．44，28D．46，26
【答案】A
【解答】解：根据分层抽样原理知，72×450810=40，72×360810=32，
所以抽取男生40人，女生32人．
故选：A．
（多选）24．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
抽样方法不合理的是（ ）
A．①抽签法，②分层随机抽样
B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法
D．①抽签法，②随机数法
【答案】BCD
【解答】解：①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．
故选：BCD．
九．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量（共3小题）
25．某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解答】解：由题意，样本中高二学生的人数为30×500450+500+550=10．
故选：B．
26．某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】B
【解答】解：设应抽取的女生人数是x，
因为共有1200名学生，其中男生700名，
所以x1200−700=721200，计算得x＝30．
故选：B．
27．某学校高一年级由360名男同学和270名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为28的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（ ）
A．12B．14C．16D．28
【答案】C
【解答】解：设男同学应抽取的人数为n，
因为有360名男同学和270名女同学，
可得n28=360360+270，解得n＝16．
故选：C．
十．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数（共3小题）
28．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）
A．1.86B．1.88C．1.9D．1.92
【答案】D
【解答】解：由题意，总体的平均数为7.7×800800+600+7×600800+600=7.4小时，
根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为：
800800+600×[2.1+(7.7−7.4)2]+600800+600×[1.4+(7−7.4)2]=1.92．
故选：D．
（多选）29．在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了男职员4人，女职员3人，其中男职员的平均数为56，女职员的平均数为42，则（ ）
A．总样本的平均数为49
B．总样本的平均数为50
C．总样本的方差小于48
D．总样本的方差不小于48
【答案】BD
【解答】解：由题意可知，男职员比例为47，女职员比例为37，
所以总样本的平均数为47×56+37×42=50，
考虑极端情况，若男职员锻炼时间均为56，女职员锻炼时间均为42，
此时男职员的方差为0，女职员的方差为0，
所以总样本的方差为47×[0+(56−50)2]+37×[0+(42−50)2]=48，
实际上若男、女职员锻炼时间存在波动（即层内方差不为0），总方差必然大于48，
所以总样本的方差不小于48．
故选：BD．
30．某学校有男生800人，女生600人．为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 1.92 ．
【答案】1.92．
【解答】解：采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，
总体样本均值为800800+600×7.7+600800+600×7=7.4，
则总体方差为1800+600{800×[2.1+（7.7﹣7.4）2]+600×[1.4+（7.4﹣7）2]}＝1.92．
故答案为：1.92．
十一．普查与抽样（共3小题）
31．在以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【解答】解：对于A选项，了解一个班级学生的身高情况，适合用全面调查；
对于B选项，了解一批水稻种子的发芽率，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于C选项，调查某城市居民的食品消费结构，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于D选项，调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，不适合用全面调查．
故选：A．
32．在以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．调查一批玉米种子的发芽率
C．调查一批炮弹的杀伤半径
D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
【答案】A
【解答】解：全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，
对于A，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查；
对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查；
对于C，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查；
对于D，查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例．调查数目较多，不适合全面调查．
故选：A．
（多选）33．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查某市小学生每天的运动时间
B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C．农业科技人员调查某块地今年麦穂的单穂平均质量
D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况
【答案】AC
【解答】解：选项A和C适合采用抽样调查，
因为选项B和D中应该对所有人员进行检查，所以用普查的方式．
故选：AC．
十二．茎叶图（共3小题）
34．甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字状示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
【答案】C
【解答】解：根据题意，在这5天中，甲加工零件数为18、19、23、27、28，
乙加工零件数为17、19、21、23、25，
依次分析选项：
对于A，在这5天中，甲加工零件数的极差为28﹣18＝10，乙加工零件数的极差25﹣17＝8，A错误；
对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，B错误；
对于C，甲加工零件数的平均数为15（18+19+23+27+28）＝23，乙加工零件数的平均数为15（17+19+21+23+25）＝21，C正确；
对于，甲加工零件数的方差为15（25+16+0+16+25）=825，乙加工零件数的方差为15（16+4+0+4+16）＝8，D错误．
故选：C．
35．测量甲、乙两组各10名学生的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．两组学生身高的极差不相等
B．甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大
C．甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大
D．甲组学生身高在175cm以上的人数较多
【答案】A
【解答】解：选项A，甲组学生身高的极差为182﹣157＝25，乙组学生身高的极差为182﹣159＝23，
则两组学生身高的极差不相等，A正确；
选项B，甲组学生身高的平均值为157+158+163+165+166+170+172+178+181+18210=169.2，
乙组学生身高的平均值为159+162+164+167+171+172+176+178+179+18210=171，
则甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值小，B错误；
选项C，甲组学生身高的中位数为166+1702=168，
乙组学生身高的中位数为178+1792=178.5，
甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小，C错误；
选项D，甲组学生身高在175cm以上的有3人，
乙组学生身高在175cm以上的有4人，
甲组学生身高在175cm以上的人数较少，D错误．
故选：A．
36．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由．
（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
【答案】（1）甲．
（2）29．
【解答】解：（1）由茎叶图可得，甲城市的中位数为61，乙城市的中位数为79，
且甲的大多集中在65以下，乙的大多集中在76以上，
所以甲城市空气质量总体较好．
（2）甲城市空气质量类别为优或良的有10天，乙城市空气质量类别为优或良的有5天，
所以甲城市空气质量类别优或良的概率为1015=23，乙城市空气质量类别优或良的概率为515=13，
所以甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为P=23×13=29．
十三．扇形统计图（共3小题）
37．随着汽车智能化与电动化的不断升级，无人驾驶汽车成为汽车行业发展的新趋势．据统计，截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．注册资本不高于200万元的企业数量占比不足14
B．注册资本在1000万元以上的企业超过750家
C．注册资本分布数据的80%分位数是19.2%
D．从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，该企业注册资本在200万元—500万元的概率不小于0.55
【答案】C
【解答】解：截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，
对于A，注册资本不高于200万元的企业数量占比为12.4%+11.1%＝23.5%，23.5%＜14，故A正确；
对于B，注册资本在1000万元以上的企业数量为1782×43.2%≈770，770＞750，故B正确；
对于C，80%×5＝4，故80%分位数为19.2%与43.2%的平均数，故C错误；
对于D，从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，
则该企业注册资本在200万元—500万元的概率为14.1%11.1%+14.1%≈0.5595，0.5595＞0.55，故D正确．
故选：C．
38．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）
A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人
C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人
D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】D
【解答】解：由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×（45%﹣30%）＝30，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为200×45%×12=45＜50，B正确；
成绩前50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C正确；
第51到100名的50人中，高一人数为200×45%×0.3＝27，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：D．
39．随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注．某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
甲款电动汽车10名车主的评分是：100，95，85，85，80，80，80，80，75，70．
乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是：85，85，85，81，80．
抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表
抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 80 ，b＝ 82.5 ，m＝ 30 ；
（2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该4S店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人．若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？
【答案】（1）80，82.5，30；
（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由见解析；
（3）200人．
【解答】解（1）由题意可知，从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80，
即a＝80，
乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占20%，B组占50%，C组占1﹣20%﹣50%＝30%，
所以m＝30，
所以A组有两个最大的数据，B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，
所以中位数为85+802=82.5，
即b＝82.5，
故答案为：80，82.5，30；
（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下：
甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大，
所以乙款的满意度更好；
（3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为20%，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为20%，
所以满足题意的总人数为：400×20%+600×20%＝200（人）．
十四．平均数（共3小题）
40．样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】D
【解答】解：由题意，样本数据中的最低分6，
去掉6，剩余数据的平均数为12+18+14+16+305=905=18．
故选：D．
41．已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为s12，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为s22，则（ ）
A．s12＞s22
B．s12=s22
C．s12＜s22
D．s12与s22的大小关系不确定
【答案】C
【解答】解：已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为s12，
若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为s22，
即x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x88=x8，
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝7x8，则x1+x2+x3+x4+x5+x6+x77=x8，
所以数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的平均数是x8，
又s12=(x1−x8)2+(x2−x8)2+(x3−x8)2+(x4−x8)2+(x5−x8)2+(x6−x8)2+(x7−x8)2+(x8−x8)28=
(x1−x8)2+(x2−x8)2+(x3−x8)2+(x4−x8)2+(x5−x8)2+(x6−x8)2+(x7−x8)28，s22=(x1−x8)2+(x2−x8)2+(x3−x8)2+(x4−x8)2+(x5−x8)2+(x6−x8)2+(x7−x8)27，
s12与s22的分子相同，比较分母，可知s12＜s22．
故选：C．
（多选）42．在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据x1，x2，x3，⋯，x10满足xi﹣1＜xi（2≤i≤10），按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（ ）
A．极差变小B．中位数不变
C．平均数变高D．第75百分位数变小
【答案】ABD
【解答】解：原数据从小到大排序为：x1，x2，x3，⋯，x10，处理后数据从小到大排序为：x2，x3，x4，⋯，x9．
对于A，原数据极差：x10﹣x1，处理后数据极差：x9﹣x2，因为xi﹣1＜xi（2≤i≤10），
所以x10﹣x1＞x9﹣x2，A正确．
对于B，处理后数据共8个，中位数为第4个和第5个的平均值，即x5+x62，
原数据共10个，中位数为第5个和第6个的平均值，即x5+x62，
所以中位数不变，B正确．
对于C，原数据平均数：x1+x2+x3+...+x1010，处理后数据平均数：x2+x3+...+x98，
平均数变化情况取决于x1+x102与x2+x3+...+x98之间的关系，故不能确定变化情况，C错误．
对于D，原数据共10个，第75百分位数是第8个，即x8，
处理后数据共8个，第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即x7+x82，
因为x8＞x7，所以x8＞x7+x82，第75百分位数变小，D正确．
故选：ABD．
十五．中位数（共3小题）
43．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（ ）
A．平均数B．极差C．方差D．中位数
【答案】D
【解答】解：由已知，样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为16（1+2+2+2+3+5）=52，极差为5﹣1＝4，中位数为2，
去掉1和5后的数据的平均数为14(2+2+2+3)=94，极差为3﹣2＝1，中位数为2，
故平均数和极差都发生变化，中位数不变，
由于去掉1和5后，数据的稳定性更高，故相比较于原数据，方差变小．
故选：D．
44．样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
【答案】B
【解答】解：样本数据从小到大排列为：6，7，8，8，9，9，10，11，
则中位数为8+92=8.5．
故选：B．
45．已知x＞0，若x，3x，x+2，x2的中位数为2，则x＝（ ）
A．12B．23C．2D．1
【答案】D
【解答】解：因为x＞0，所以x＜3x，x＜x+2，
分别令x＝x2，3x＝x+2，3x＝x2，x+2＝x2，解得x＝1，2，3，
当x＞3时，x＜x+2＜3x＜x2，所以x+2+3x2=2，解得x=12（舍去）；
当2＜x≤3时，x＜x+2＜x2≤3x，所以x+2+x22=2，
解得x＝1（舍去）或x＝﹣2（舍去）；
当1＜x≤2时，x＜x2≤x+2＜3x，所以x2+x+22=2，
解得x＝1（舍去）或x＝﹣2（舍去）；
当0＜x≤1时，x2≤x＜3x≤x+2，所以x+3x2=2，解得x＝1；
综上，x＝1．
故选：D．
十六．众数（共3小题）
46．小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月（30天）每天花在健身运动上的时间（单位：分钟），记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（ ）
A．N＜M＜PB．P＜N＜MC．M＜P＜ND．M＜N＜P
【答案】D
【解答】解：由统计图可得，每天花在健身运动上的时间为50分钟的天数最多，所以众数M＝50；
处在中间位置的两个数据为50，60，所以中位数N=50+602=55；
平均数P=2×30+3×40+10×50+6×60+3×70+2×80+2×90+2×10030≈59.7，
所以M＜N＜P．
故选：D．
（多选）47．已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（ ）
A．这组数据的极差为4
B．这组数据的方差为2
C．这组数据的众数等于平均数
D．这组数据的第70百分位数为2025
【答案】ACD
【解答】解：对于A：由数据知，极差为2026﹣2022＝4，对；
对于B：平均数为2022+2023+2024+2024+2025+20266=2024，则方差s2=(2022−2024)2+(2023−2024)2+(2024−2024)2+(2024−2024)2+(2025−2024)2+(2026−2024)26=53，错；
对于C：众数为2024，即与平均数相等，对；
对于D：已知这组数据从小到大排列为2022，2023，2024，2024，2025，2026，
由6×70%＝4.2，则数据的第70百分位数为2025，对．
故选：ACD．
48．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，则众数为 16 ．
【答案】16．
【解答】解：由16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，
可得，出现次数最多的数为16，所以众数为16．
故答案为：16．
十七．标准差（共3小题）
49．在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.4：乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，则（ ）
A．平均说来乙队比甲队防守技术更好
B．甲队比乙队防守技术水平更稳定
C．乙队很少失球
D．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又较好
【答案】D
【解答】解：甲队每场比赛平均失球数是1.5，乙队每场比赛平均失球数是2.1，
可知平均说来甲队比乙队的防守技术好，故A不正确；
对于B，因为1.4＞0.4，可知乙队比甲队技术更稳定，故B不正确；
对于C，因为乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以乙队失球数更多，且乙队防守技术更稳定，即乙队很少不失球，故C不正确；
对于D，由B可知甲队防守中有时防守表现较差，有时表现又非常好，故D正确．
故选：D．
50．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14 pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
B．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
【答案】B
【解答】解：对于A，E（X）＝1×0.4+2×0.1+3×0.1+4×0.4＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.4+（2﹣2.5）2×0.1+（3﹣2.5）2×0.1+（4﹣2.5）2×0.4＝1.85，
所以sA=D(X)=1.85，
对于B，E（X）＝1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.1+（2﹣2.5）2×0.4+（3﹣2.5）2×0.4+（4﹣2.5）2×0.1＝0.65，
所以sB=D(X)=0.65，
对于C，E（X）＝1×0.2+2×0.3+3×0.3+4×0.2＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.2+（2﹣2.5）2×0.3+（3﹣2.5）2×0.3+（4﹣2.5）2×0.2＝1.05，
所以sC=D(X)=1.05，
对于D，E（X）＝1×0.3+2×0.2+3×0.2+4×0.3＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.3+（2﹣2.5）2×0.2+（3﹣2.5）2×0.2+（4﹣2.5）2×0.3＝1.45，
所以sD=D(X)=1.45，
综上对应样本的标准差最小的一组是B组．
故选：B．
51．甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：
记这7天甲地每天最低气温的标准差为s1；记这7天乙地每天最低气温的标准差为s2．根据上述信息，若s1＝s2，则a值可以为 13或20（其中任意一个都可以） ．（写出一个符合题意答案即可）
【答案】13或20（其中任意一个都可以）．
【解答】解：根据题意，甲地7天内，最低气温依次为：10，14，16，15，11，13，12，
其平均数x1=17（10+14+16+15+11+13+12）＝13，
其方差S12=17（9+1+9+4+4+0+1）＝4，
乙地7天内，最低气温依次为：18，19，15，16，17，14，a，
其平均数x2=17（18+19+15+16+17+14+a）=99+a7，
其方差S22=17[（27−a7）2+（34−a7）2+（6−a7）2+（13−a7）2+（20−a7）2+（1+a7）2+（99−6a7）2]，
若s1＝s2，即S12=S22，
必有S22=17[（27−a7）2+（34−a7）2+（6−a7）2+（13−a7）2+（20−a7）2+（1+a7）2+（99−6a7）2]＝4，
解可得a＝13或20．
故答案为：13或20（其中任意一个都可以）．
十八．方差（共3小题）
52．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】A
【解答】解：由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2，
方差是(2−3)2+(5−3)2+(2−3)2+(3−3)24=64=32，
加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3，
方差是(2−3)2+(5−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)25=65，
所以不发生变化的是平均数．
故选：A．
53．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是x=4，方差s2＝2，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数和方差分别为（ ）
A．11，4B．8，8C．11，8D．4，2
【答案】C
【解答】解：数x1，x2，x3，x4的平均数是x=4，方差s2＝2，
由方差、平均数的线性公式可知，2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数为2×4+3＝11，方差为22×2＝8．
故选：C．
54．设一组样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1+1，3x2+1，⋯，3xn+1的标准差为（ ）
A．12B．33C．6D．36
【答案】C
【解答】解：因为样本数据x1，x2，⋯，xn的方差为4，
所以数据3x1+1，3x2+1，⋯，3xn+1的方差为32×4＝36，
故标准差为36=6．
故选：C．
十九．极差（共3小题）
55．已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是（ ）
A．[5，11]B．{5，11}C．{5}D．[6，17]
【答案】A
【解答】解：因为数据的极差为6，而11﹣5＝6，
所以所以5≤a≤11，
即a的取值范围是[5，11]．
故选：A．
（多选）56．气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（ ）
A．该组数据的极差为6
B．该组数据的众数为26
C．该组数据的中位数为25.5
D．该组数据的第70百分位数为26
【答案】ABD
【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺排列得23，24，25，26，26，28，29，
则该组数据的极差为29﹣23＝6，故A正确；
该组数据的众数为26，故B正确；
该组数据的中位数为26，故C错误；
因为70%×7＝4.9，所以该组数据的第70百分位数为第5个数据，即26，故D正确．
故选：ABD．
57．为了解夏季高温天气的变化情况，某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，则该地区这10天日平均气温的极差是 9 ℃．
【答案】9．
【解答】解：某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），
其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，
∴该地区这10天日平均气温的极差是38﹣29＝9℃．
故答案为：9．
二十．百分位数（共3小题）
58．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（ ）
A．10B．11C．12D．14
【答案】A
【解答】解：从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23，共10个，
10×70%＝7，可得70百分位数为：x+182，又中位数是6+82=7，
可得x+182=2×7，解得x＝10．
故选：A．
59．某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），分别为13，9，13，10，8，8，15，14，则该组数据的第80百分位数为
A．10B．13C．13.5D．14
【答案】D
【解答】解：某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），
分别为13，9，13，10，8，8，15，14，
将数据从小到大排列有8，8，9，10，13，13，14，15共8项数据，
∴n＝8×0.8＝6.4＜7，∴第80百分数为14．
故选：D．
（多选）60．已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（ ）
A．这组数据的极差是5
B．这组数据的中位数是4.5
C．这组数据的第80百分位数是5.5
D．这组数据的方差是4.25
【答案】BD
【解答】解：根据题意，把数据从小到大排序，可得1，1，3，4，5，5，6，7，共有8个数，
对于A，这组样本数据的极差为7﹣1＝6，故A错误；
对于B，根据数据中位数的定义，可得样本数据的中位数为4+52=4.5，故B正确；
对于C，由8×80%＝6.4，所以样本数据的第80百分位数为数据的第7个数，
即第80百分位数为6，故C错误；
对于D，x=1+1+3+4+5+5+6+78=4，
∴s2=18[(1−4)2+(1−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(5−4)2+(5−4)2+(6−4)2+(7−4)2]
=18(9+9+1+0+1+1+4+9)=348=4.25，
∴这组数据的方差是4.25，故D正确．
故选：BD．
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分组
频数
频率
频率组距
1
[0.10）
1240
0.31
0.031
2
[10，20）
m
n
0.046
3
[20，30）
776
0.194
0.0194
4
[30，40）
72
0.018
p
5
[40，50）
48
0.012
0.0012
6
[50，60）
q
0.006
0.0006
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
PM2.5日均浓度
0～35
35～75
75～115
115～150
150～250
＞250
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
车型
平均数
中位数
众数
甲
83
80
a
乙
83
b
85
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
甲地
10
14
16
15
11
13
12
乙地
18
19
15
16
17
14
a
题号
1
2
4
5
6
7
13
14
15
16
17
答案
C
D
C
B
D
B
D
A
D
B
D
题号
18
19
20
22
23
25
26
27
28
31
32
答案
B
A
B
C
A
B
B
C
D
A
A
题号
34
35
37
38
40
41
43
44
45
46
49
答案
C
A
C
D
D
C
D
B
D
D
D
题号
50
52
53
54
55
58
59
答案
B
A
C
C
A
A
D
题号
10
11
24
29
33
42
47
56
60
答案
ACD
AC
BCD
BD
AC
ABD
ACD
ABD
BD
组号
分组
频数
频率
频率组距
1
[0.10）
1240
0.31
0.031
2
[10，20）
m
n
0.046
3
[20，30）
776
0.194
0.0194
4
[30，40）
72
0.018
p
5
[40，50）
48
0.012
0.0012
6
[50，60）
q
0.006
0.0006
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
PM2.5日均浓度
0～35
35～75
75～115
115～150
150～250
＞250
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
车型
平均数
中位数
众数
甲
83
80
a
乙
83
b
85
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
甲地
10
14
16
15
11
13
12
乙地
18
19
15
16
17
14
a