专题01 指数函数、对数函数与幂函数 2025-2026高中数学必修二高一下期末复习专题讲义（人教版2019B）

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知识点一、指数运算
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:（1）；
（2）当是奇数时,;当是偶数时,
温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中.
3．分数指数幂的意义
温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
4．有理数指数幂的运算性质
（1）;
（2）;
（3）.
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
（2）是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
知识点二、指数函数
1．指数函数的概念
一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
（1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1.
（3）的系数是1.
2．指数函数的图形及性质
温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的．
（2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象．
3．图象位置关系
底数的大小决定了图象相对位置的高低．
（1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．
（2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为.
知识点三、对数运算
1．对数的概念
一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为.
2．指数与对数的互化
当时，.
3．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
4．对数恒等式
且；（2）且
5．对数运算性质
如果，且，那么：
（1）；（2）；（3）
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
例如，是错误的．
6．对数换底公式
若，且，则(，且)．
由换底公式推导的重要结论
（1）（2）（3）
知识点四、对数函数
1．对数函数的概念
函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的．
（2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且
2．对数函数的图象及性质
3．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得.
知识点五、反函数
1．反函数的概念
一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到．
2．反函数的性质
若函数的反函数记作，则具有以下性质：
（1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。
（2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称；
（3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。
3．求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
4．指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线对称。
减函数．
知识点六、求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
知识点七、指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线对称。
知识点八、幂函数的概念
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．
幂函数的特征
①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数
知识点九、常见幂函数的图象与性质
注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数。
知识点十、平均变化率的概念
对于函数，若取定义域内两个不相等的点和，记（，可正可负），（可正、可负、可为0），则该函数在区间（或）上的平均变化率为
知识点十一、平均变化率的几何意义
函数在区间上的平均变化率表示函数图象上过点和点的直线的斜率．
知识点十二、增长速度的比较
四类函数模型的增长特点
（1）一次函数模型（：呈直线上升趋势，增长速度始终保持不变。
（2）指数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐加快，呈现 “爆炸式增长”。
（3）对数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐减缓，增长趋势平缓。
（4）幂函数模型（）：为增函数，且当时，n的值越大，函数值增长速度越快。
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
在区间上，尽管函数，和都是增函数，但增长速度不在同一“档次”．
随着x的增大，的增长速度越来越快，最终会远超
的增长速度则持续变慢．
因此，总会存在某个，当时，就有．
知识点十三、指数型函数模型
函数y=abx+c(b>0，b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸.
知识点十四、对数型函数模型
y=mlgax+m(a>0，a≠1，m≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增长，函数值增大的速度越来越慢(a>1，m>0).
知识点十五、解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型，得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
知识点十六、数学建模
1.数学问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现.解决实际问题的重要手段就是数学建模.数学建模是一个重要的核心素养.1.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的素养.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学建模主要表现为:发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.
2.数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.
3.通过高中数学课程的学习，同学们能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验;认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用;加深对数学内容的理解;学会交流与合作;提升应用能力，增强创新意识和科学精神.
一．函数的单调性与函数图象的特征（共3小题）
1．已知函数f(x)=(12)x+1，x＜1，ax−x2，x≥1，且a＞0，若f（x）在R上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，2]B．（0，2）C．(2，52)D．(2，52]
【答案】A
【解答】解：函数f(x)=(12)x+1，x＜1，ax−x2，x≥1，在R上为减函数，a＞0，
当x＜1时，f(x)=(12)x+1单调递减，此时f(x)＞f(1)=32，
若当x≥1时，f（x）＝ax﹣x2单调递减，则a2≤1，此时f（x）max＝f（1）＝a﹣1，
因为f（x）在R上单调递减，所以a2≤1a−1≤32，解得a≤2，又a＞0，所以0＜a≤2．
故选：A．
2．以下函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．f(x)=−1xB．f（x）＝|x|C．f（x）＝sinxD．f（x）＝﹣x3
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=−1x，是反比例函数，是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于B，f（x）＝|x|是R上的偶函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝sinx是R上的奇函数，在（0，+∞）上不单调，不符合题意；
对于D，f（x）＝﹣x3是R上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意．
故选：D．
3．已知f(x)=lga(a−2x)，x≤1，−x2+13ax+1−13a，x＞1是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．(12，1)B．（2，6]C．[3，6]D．（2，3]
【答案】C
【解答】解：根据题意保证两段都是减函数，在1附近还要一直减．
可得a＞1a＞213a2≤1lga(a−2)≥−1+13a+1−13a，解得3≤a≤6．
故选：C．
二．幂函数的特征及辨识（共3小题）
4．“y＝lg（m﹣1）x在定义域内是增函数”是“函数f（x）＝（m2﹣7m+13）xm是幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：若y＝lg（m﹣1）x在定义域内是增函数，则m﹣1＞1，即m＞2，
若函数f（x）＝（m2﹣7m+13）xm是幂函数，则m2﹣7m+13＝1，
解得m＝3或m＝4，
因为{3，4}⫋{m|m＞2}，
所以“y＝lg（m﹣1）x在定义域内是增函数”是“函数f（x）＝（m2﹣7m+13）xm是幂函数”的必要不充分条件．
故选：B．
5．已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm的图象与坐标轴无公共点，则m＝（ ）
A．﹣2B．1C．﹣2或1D．﹣1或2
【答案】A
【解答】解：因为f（x）为幂函数，且f（x）＝（m2+m﹣1）xm的图象与坐标轴无公共点，
所以m2+m﹣1＝1，解得m＝﹣2或m＝1，
当m＝﹣2时，f（x）＝x﹣2，符合题意；
当m＝1 时，f（x）＝x，不合题意．
综上，m＝﹣2．
故选：A．
6．已知幂函数f(x)=(2m−3)xm2−1，则f（﹣2）＝ ﹣8 ．
【答案】﹣8．
【解答】解：由幂函数的定义可知2m﹣3＝1，
解得m＝2，
所以f（x）＝x3，
则f（﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
三．由幂函数的解析式求解参数（共3小题）
7．已知幂函数f（x）＝（﹣2m2+m+2）xm+1为偶函数，则实数m的值为（ ）
A．12B．−12C．1D．−12或1
【答案】C
【解答】解：根据幂函数的定义知，﹣2m2+m+2＝1，整理得2m2﹣m﹣1＝0，解得m＝1或m=−12，
m＝1时，f（x）＝x2是偶函数，满足题意，
m=−12时，f(x)=x12，定义域为[0，+∞），没有奇偶性，不合题意，
所以m＝1．
故选：C．
8．已知点（a，27）在幂函数f（x）＝（a﹣2）xm（a，m∈R）的图象上，则a+m＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解答】解：点（a，27）在幂函数f（x）＝（a﹣2）xm（a，m∈R）的图象上，
则a−2=1am=27⇒a=3m=3⇒a+m=6．
故选：C．
9．若f（x）＝（m2﹣4m+5）x﹣m是幂函数，则f（2）＝ 14 ．
【答案】14．
【解答】解：由题意得，m2﹣4m+5＝1，解得m＝2，则f（x）＝x﹣2，
所以f(2)=2−2=14．
故答案为：14．
四．由幂函数的单调性求解参数（共3小题）
10．“k＝﹣1”是“幂函数f（x）＝（k2﹣2k﹣2）x2k在区间（0，+∞）上单调递减”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：f（x）＝（k2﹣2k﹣2）x2k是幂函数，则k2﹣2k﹣2＝1，解得k＝3，k＝﹣1，
k＝﹣1时，f（x）＝x﹣2在区间（0，+∞）上单调递减，充分性成立，
k＝3时，f（x）＝x6在区间（0，+∞）上单调递增，故舍去，
若幂函数f（x）＝（k2﹣2k﹣2）x2k在区间（0，+∞）上单调递减，则k＝﹣1，必要性成立，
因此“k＝﹣1”是“幂函数f（x）＝（k2﹣2k﹣2）x2k在区间（0，+∞）上单调递减”的充要条件．
故选：A．
11．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm+2在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（ ）
A．1B．﹣3C．﹣4D．1或﹣3
【答案】A
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm+2在（0，+∞）上单调递增，
所以m2+2m−2=1m+2＞0，
解得m＝1．
故选：A．
12．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm2−m−1在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣2或﹣1D．1或2
【答案】A
【解答】解：幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm2−m−1在（0，+∞）上是减函数，
所以m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，m2﹣m﹣1＝﹣1，满足题意；
当m＝2时，m2﹣m﹣1＝1，不满足题意，舍去；
所以m的值为1．
故选：A．
五．有理数指数幂及根式化简运算求值（共2小题）
13．若1＜a＜2，则3(1−a)3+4(2−a)4的化简结果是（ ）
A．1B．﹣1C．3﹣2aD．2a﹣3
【答案】C
【解答】解：1＜a＜2，
则3(1−a)3+4(2−a)4=1﹣a+2﹣a＝3﹣2a．
故选：C．
14．已知ax＝4，lga3＝y，则ax+y＝（ ）
A．5B．6C．7D．12
【答案】D
【解答】解：因为lga3＝y，所以ay＝3，
所以ax+y＝ax•ay＝4×3＝12．
故选：D．
六．指数函数的特征及解析式（共2小题）
15．如图是指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的部分图象，已知a取13，12，2，3这四个值，则曲线C1，C2，C3，C4相对应的a依次为（ ）
A．13，12，2，3B．13，12，3，2C．12，13，2，3D．12，13，3，2
【答案】D
【解答】解：在图象上画出x＝1的直线，与各个曲线的交点的纵坐标即为对应的指数函数的底数，
如图所示：
所以对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为：12，13，3，2．
故选：D．
16．函数f（x）＝a2x﹣1+1（a＞0）的图象一定经过点（ ）
A．(12，2)B．(12，1)C．（0，2）D．（0，1）
【答案】A
【解答】解：令2x﹣1＝0，得x=12，所以y＝f（12）＝1+1＝2，
所以函数f（x）＝a2x﹣1+1的图象过点（12，2）．
故选：A．
七．指数函数的值域（共3小题）
17．已知集合A={x|y=x−12}，B={y|y=(12)x，x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．(0，12]B．(12，1)C．[12，1)D．（0，+∞）
【答案】C
【解答】解：因为集合A={x|y=x−12}=[12，+∞），
B={y|y=(12)x，x＞0}=（0，1），
所以A∩B＝[12，1）．
故选：C．
18．函数y=22x−x2的值域为（ ）
A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．(0，12]D．（0，2]
【答案】D
【解答】解：设u＝f（x）＝2x﹣x2，f（x）max＝f（﹣1）＝1，
y＝2u∈（0，2]．
故选：D．
19．已知集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，4）B．(14，1)C．(12，1)D．(12，2)
【答案】D
【解答】解：集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}＝（﹣1，2），
B＝{y|y＝2x，x∈A}=(12，4)，
故A∩B＝（12，2）．
故选：D．
八．指数函数图象特征与底数的关系（共3小题）
20．下列函数中，是偶函数且在（﹣∞，0）上单调递减的是（ ）
A．y=(12)|x|B．y=xC．y＝x﹣1D．y＝x4
【答案】D
【解答】解：对于A，y＝f（x）=(12)|x|，定义域为R，且f（﹣x）=(12)|−x|=(12)|x|=f（x），所以f（x）是偶函数，
当x＜0时，f（x）=(12)−x=2x为指数函数，且底数a＝2＞1，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，不满足题意；
对于B，y=x，定义域为[0，+∞），所以函数y=x为非奇非偶函数，不满足题意；
对于C，y＝f（x）＝x﹣1=1x，定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）=1−x=−1x=−f（x），所以f（x）是奇函数，不满足题意；
对于D，y＝f（x）＝x4，定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x）4＝x4＝f（x），所以f（x）是偶函数，
f（x）＝x4是幂函数，当x＞0时，f（x）＝x4为单调递增函数，
因为f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数，满足题意．
故选：D．
21．已知a＞0且a≠1，则函数y＝ax+a与函数y＝ax﹣a在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：对于A，B，由图象得a＞1，且对于y＝ax﹣a，当x＝0时，y＝﹣a，
则﹣a＜﹣1，故A正确，B错误，
对于C，由题意得0＜a＜1，则﹣1＜﹣a＜0，与图象不符，故C错误，
对于D，由指数函数性质结合图象得0＜a＜1，
对于y＝ax+a，当x＝0时，y＝a0+a＝1+a，则1＜a+1＜2，与图象不符，故D错误．
故选：A．
22．已知函数f（x）＝ex+x+1的零点为x1，g（x）＝ln（x﹣1）+x的零点为x2，则f（x1+x2）＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：函数f（x）＝ex+x+1的零点为x1，
而函数y＝ex，y＝x+1在R上单调递增，则函数f（x）在R上单调递增，
依题意，g（x）＝ln（x﹣1）+x﹣1+1＝eln（x﹣1）+ln（x﹣1）+1＝f（ln（x﹣1）），
而f（x1）＝0，g（x2）＝0，即f（x1）＝f（ln（x2﹣1）），因此x1＝ln（x2﹣1），
则x1+x2＝ln（x2﹣1）+x2＝g（x2）＝0，所以f（x1+x2）＝f（0）＝2．
故答案为：2．
九．指数函数及指数型复合函数的图象（共3小题）
23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，若m＜n且f（m）＝f（n），则m+n的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）B．（﹣1，0）C．（0，+∞）D．（0，1）
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）＝|2x﹣1|，若m＜n且f（m）＝f（n），
则1﹣2m＝2n﹣1，即2＝2m+2n≥22m⋅2n=22m+n，当且仅当m＝n时取等号，显然等号无法取得，
则m+n＜0．
故选：A．
（多选）24．已知函数f（x）＝|2x﹣2|，且f（a）＝f（b），a＜b，则（ ）
A．2a+2b＝4B．a+b＜2
C．b＜1D．f（a）•2b∈（0，8）
【答案】ABD
【解答】解：A项．函数f（x）＝|2x﹣2|，画出y＝2x﹣2的图象，
将x轴下方的图象关于x轴对称翻折，得到y＝f（x）的图象，
可以看到函数在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且f（1）＝0．

因为f（a）＝f（b），a＜b，所以a∈（﹣∞，1），b∈（1，2）．
此时2﹣2a＝2b﹣2，移项可得2a+2b＝4，所以选项A正确．
B项．由2a+2b＝4，根据基本不等式2a+2b≥22a+b．
即4≥22a+b，两边同时平方得16≥4×2a+b，化简得a+b≤2．
又因为a≠b，所以a+b＜2，选项B正确．
C项．由图形知道，b∈（1，2），所以选项C错误．
D项．由2a+2b＝4，得2b＝4﹣2a，
所以f（a）•2b＝（2﹣2a）（4﹣2a），令t＝2a，t∈（0，2）．
则y＝（2﹣t）（4﹣t）＝t2﹣6t+8＝（t﹣3）2﹣1，
当t∈（0，2）时，y∈（0，8），所以选项D正确．
故选：ABD．
25．已知正实数x，y满足33x＝45y＝12．
（1）比较x，y，1三个数的大小；
（2）求5x+3y的值；
（3）证明：3x+5y≥4．
【答案】（1）y＜x＜1．
（2）15．
（3）证明：由（2）知5x+3y=15，即13x+15y=1，
则3x+5y=(3x+5y)(13x+15y)=1+1+3x5y+5y3x≥2+23x5y⋅5y3x=4．
【解答】解：（1）由33x＝12，且32＜12＜33，结合指数函数的单调性可知2＜3x＜3，即23＜x＜1．
由45y＝12，且41＜12＜42，结合指数函数的单调性可知1＜5y＜2，即15＜y＜25．
综上可知y＜x＜1．
（2）由33x＝45y＝12，可得3x＝lg312，5y＝lg412，
由对数的运算性质可得1x=3lg312=3lg123，1y=5lg412=5lg124，
因此，5x+3y=15(lg123+lg124)=15lg1212=15．
（3）证明：由（2）知5x+3y=15，即13x+15y=1，
则3x+5y=(3x+5y)(13x+15y)=1+1+3x5y+5y3x≥2+23x5y⋅5y3x=4．
十．指数函数的实际应用（共3小题）
26．奶茶温度衰减满足函数关系T＝k•bt+M，其中T（单位：℃）为t（单位：分钟）时的温度，M（单位：℃）为室温，k，b为常数，b＞0．已知某奶茶店的室温为20℃，奶茶制作完成时温度为100℃，10分钟后温度为80℃，该奶茶适宜饮用温度为50℃，则制作完成后适宜饮用的时间约为（ ）
（参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48．结果保留整数）
A．25分钟B．30分钟C．35分钟D．40分钟
【答案】C
【解答】解：因为T＝k•bt+M，其中T为t时的温度，M，k，b为常数，b＞0；
且M＝20，t＝0时，T＝100，t＝10时，T＝80，
所以100=k⋅b0+2080=k⋅b10+20，解得k＝80，b10=34，
所以T＝80•(34)t10+20，
令T＝80•(34)t10+20＝50，得(34)t10=38，
所以t10lg34=lg38，即t10（lg3﹣2lg2）＝lg3﹣3lg2，
所以t=10(lg3−3lg2)lg3−2lg2=10(0.48−3×0.30)0.48−2×0.30=35，
所以该奶茶适宜饮用温度为50℃，制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟．
故选：C．
27．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长．若增长为原来的54倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．6B．12C．16D．20
【答案】B
【解答】解：由题意知，（1+p%）4=54，所以1+p%=454，
令（1+p%）x＝2，即(454)x=2，所以(54)x4=2，
所以x4=lg542=lg2lg54=lg2lg5−lg4=lg21−3lg2，
解得x＝4×0.31−3×0.3=12．
故选：B．
28．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klg2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（ ）
A．2hB．4hC．20hD．40h
【答案】B
【解答】解：由题意知，klg2（1.024×109）﹣klg2106＝20，即klg21.024×109106=20，
所以klg21024＝20，解得k=20lg21024=2010=2，
所以2lg2（4.096×109）﹣2lg2（1.024×109）＝2lg24.096×1091.024×109=2lg24＝2×2＝4．
故选：B．
十一．指数函数综合题（共2小题）
29．函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）满足f（2）＝4，g(x)=k(14)x+1，k≠0．
（1）求a的值；
（2）当k＝1时，求方程3f（2x）＝2g（x）﹣7的实数根；
（3）记函数f（x），g（x）在区间[﹣1，2）上的值域分别为集合A，B，若x∈A是x∈B的必要条件，求实数k的取值范围．
【答案】（1）a＝2；
（2）﹣lg43；
（3）[−18，0)∪(0，34)．
【解答】解：（1）由题意得，a2＝4，解得a＝±2，
因为a＞0，所以a＝2．
（2）由（1）得f（x）＝2x.当k＝1时，g(x)=(14)x+1．
所以方程3f（2x）＝2g（x）﹣7等价于3⋅22x=2⋅(14)x−5，
即3（4x）2+5•4x﹣2＝0．
即（3•4x﹣1）（4x+2）＝0，所以4x=13．
解得x=lg413=−lg43．
（3）由（1）得，f（x）＝2x.当x∈[﹣1，2）时，A=[12，4)．
因为x∈A是x∈B的必要条件，所以B⊆A．
当k＜0时，g(x)=k(14)x+1在[﹣1，2）上单调递增，
此时B=[4k+1，116k+1)．
因为B⊆A，所以k＜0，4k+1≥12，116k+1≤4，解得−18≤k＜0；
当k＞0时，g(x)=k(14)x+1在[﹣1，2）上单调递减，
此时B=(116k+1，4k+1]．
因为B⊆A，所以k＞0，116k+1≥12，4k+1＜4，解得0＜k＜34．
综上实数k的取值范围为：[−18，0)∪(0，34)．
30．已知函数f（x）＝lgax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间[14，16]上的最大值为2，求实数a的值；
（2）若函数g(x)=2x2−2x+a的值域为[2，+∞），求不等式lga（1﹣t）≤1的实数t的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知函数f（x）＝lgax（a＞0且a≠1）在区间[14，16]上的最大值是2．
a＞1时，f（x）在区间[14，16]上单调递增，
0＜a＜1时，f（x）在区间[14，16]上单调递减，
则0＜a＜1f(14)=lga14=2或a＞1f(16)=lga16=2，解得a=12或a＝4．
（2）令y＝2m，m＝x2﹣2x+a，y的最小值为2，y＝2m单调递增，则m＝x2﹣2x+a的最小值为1，
则当x＝1，m＝1﹣2+a＝1，所以a＝2，
lga（1﹣t）≤1，得0＜1﹣t≤2，
解得﹣1≤t＜1，即不等式的解集为[﹣1，1）．
十二．指数式与对数式的互化（共3小题）
31．若lgab+lgba=52，ab=ba，则a+b＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解答】解：设t＝lgab，则lgba=1t，
由lgab+lgba=52，得t+1t=52，即2t2﹣5t+2＝0，解得t＝2或t=12，
若t＝2，则b＝a2；
若t=12，则a＝b2，
将b＝a2代入ab＝ba，得aa2=(a2)a，
化简右边（a2）a＝a2a，因此aa2=a2a，
因为a＞0且a≠1，故a2＝2a，
解得a＝2或a＝0（舍去），
则b＝a2＝4，故a+b＝2+4＝6，
同理可得，当a＝b2时，有a+b＝6．
故选：B．
32．已知实数a，b满足a﹣1＝ln（4﹣a），beb＝e3，其中e是自然对数的底数，则a+b＝（ ）
A．2B．eC．3D．4
【答案】D
【解答】解：由a﹣1＝ln（4﹣a），可得ea﹣1＝4﹣a，即ea﹣1+（a﹣1）﹣3＝0，
由beb＝e3，可得b＝e3﹣b，所以lnb＝3﹣b＝3﹣elnb，即elnb+lnb﹣3＝0．
令f（x）＝ex+x﹣3，
所以函数f（x）＝ex+x﹣3为增函数，由f（a﹣1）＝f（lnb）＝0，得a﹣1＝lnb，
又因为lnb＝3﹣b，得a﹣1＝3﹣b，所以a+b＝4．
故选：D．
（多选）33．下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．100＝1与lg1＝0
B．lg34＝2与912=3
C．27−13=13与lg2713=−13
D．lg55＝1与51＝5
【答案】ACD
【解答】解：100＝1可转化为lg1＝0，故A正确；
912=3可转化为lg93=12，故B错误；
27−13=13可转化为lg2713=−13，故C正确；
51＝5可转化为lg55＝1，故D正确．
故选：ACD．
十三．对数运算求值（共3小题）
34．已知函数f(x)=2x，x≥4f(x+1)，x＜4，则f（2+lg23）的值为（ ）
A．24B．4C．12D．8
【答案】A
【解答】解：因为1＜lg23＜2，所以2+lg23＜4，
所以f（2+lg23）＝f（3+lg23），
又因为3+lg23＞4，
所以f(3+lg23)=23+lg23=23×2lg23=8×3=24，
即f（2+lg23）＝24．
故选：A．
35．已知a＞0，b＞0，ab=1a+1b，则1lga2+1lgb2的最小值为（ ）
A．3B．2C．2D．1
【答案】D
【解答】解：∵a＞0，b＞0，ab=1a+1b，
∴ab=1a+1b≥21ab，
∴ab≥2，当且仅当a=b=2时取等号，
∴1lga2+1lgb2=lg2a+lg2b=lg2(ab)≥lg22=1．
故选：D．
36．已知m+n=lg4(4m+4n)，m+n+p=lg4(4m+4n+4p)，则p的最大值是（ ）
A．1B．1﹣lg43C．lg43D．lg34
【答案】B
【解答】解：因为m+n=lg4(4m+4n)，m+n+p=lg4(4m+4n+4p)，
所以4m+4n＝4m+n，4m+4n+4p＝4m+n+p，
令a＝4m，b＝4n，c＝4p，
则a+b＝ab，a+b+c＝abc，
则c=a+bab−1=abab−1=1+1ab−1，
因为a＞0，b＞0，
所以a+b=ab≥2ab，即ab≥4，等号成立时a＝b＝2，
则ab﹣1≥3，c=1+1ab−1∈(1，43]，
则4p的最大值为43，
故p的最大值是lg443=1−lg43．
故选：B．
十四．对数方程求解（共3小题）
37．已知方程ln2x﹣3lnx+1＝0的两个根分别为m，n，则lgmn+lgnm的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【解答】解：由题意方程ln2x﹣3lnx+1＝0的两个根分别为m，n，
可知ln2m−3lnm+1=0ln2n−3lnn+1=0，
即lnm，lnn是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
则Δ＝9﹣4＝5＞0，可得lnm+lnn=3lnm⋅lnn=1，
所以lgmn+lgnm=lnnlnm+lnmlnn=ln2n+ln2mlnm⋅lnn=(lnm+lnn)2−2lnm⋅lnnlnm⋅lnn=7．
故选：D．
38．已知函数f(x)=2−x，x≤0lnx，x＞0，则f（x）＝2是x＝﹣1成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：当f（x）＝2时，
若x≤0，则有2﹣x＝2，解得x＝﹣1；
若x＞0，则有lnx＝2，解得x＝e2．
可得：x＝﹣1或x＝e2，不一定能推出x＝﹣1，故f（x）＝2不是x＝﹣1成立的充分条件；
反之，当x＝﹣1时，f（﹣1）＝2，即f（x）＝2是x＝﹣1成立的必要条件，
综上，f（x）＝2是x＝﹣1成立的必要不充分条件．
故选：B．
39．方程lg2（x+1）﹣lg4（x+4）＝1的解为 x＝5 ．
【答案】5．
【解答】解：由已知可得，lg4（x+1）2﹣lg4（x+4）＝1．
∴lg4(x+1)2x+4=1，
∴x+1＞0x+4＞0(x+1)2x+4=4，解可得x＝5．
故答案为：x＝5．
十五．求对数型复合函数的定义域（共3小题）
40．函数f(x)=lg(1−3x)x+1的定义域为（ ）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣1，0）∪（0，+∞）
【答案】B
【解答】解：函数f(x)=lg(1−3x)x+1，
令1−3x＞0x+1≠0，解得x＜0且x≠﹣1，
所以函数f(x)=lg(1−3x)x+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．
故选：B．
41．函数f(x)=ln[2cs(3π2+x)−1]的定义域为 (π6+2kπ，5π6+2kπ)(k∈Z) ．
【答案】(π6+2kπ，5π6+2kπ)(k∈Z)．
【解答】解：由题意可知，2cs(3π2+x)−1＞0，
化简可得sinx＞12，解得x∈(π6+2kπ，5π6+2kπ)(k∈Z)．
故答案为：(π6+2kπ，5π6+2kπ)(k∈Z)．
42．函数y=3x−1+ln(1−x)的定义域是 [13，1） ．
【答案】[13，1）．
【解答】解：函数y=3x−1+ln(1−x)，
则3x−1≥01−x＞0，解得13≤x＜1，
故函数y的定义域为[13，1）．
故答案为：[13，1）．
十六．求对数型复合函数的值域（共3小题）
43．已知函数f(x)=lg2(x2−8x+a2)的值域为R，则a的取值范围为（ ）
A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．[﹣4，4]D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）
【答案】C
【解答】解：根据题意得：x2﹣8x+a2的值域为（0，+∞），
所以Δ＝64﹣4a2≥0，解得﹣4≤a≤4，
所以a的取值范围为[﹣4，4]．
故选：C．
（多选）44．已知函数f（x）＝ln|x﹣a|，则（ ）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为R
C．f（x）在（a，+∞）上单调递增
D．f（x）的图象关于直线x＝a对称
【答案】BCD
【解答】解：由|x﹣a|＞0可得x≠a，值域为R，A错误，B正确；
由于y＝|x﹣a|在（a，+∞）单调递增，在（﹣∞，a）单调递减，而y＝lnx为（0，+∞）上的单调递增函数，因此f（x）在（a，+∞）上单调递增，C正确；
由于f（﹣x+2a）＝ln|﹣x+2a﹣a|＝ln|x﹣a|＝f（x），故f（x）的图象关于直线x＝a对称，D正确．
故选：BCD．
45．已知函数f(x)=lg2(kx2+kx+1)，若f（x）的值域为R，则实数k的最小值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：由函数的值域为R，得y＝kx2+kx+1的值域包含（0，+∞），
当k＝0时，y＝1显然不满足题意，故k≠0，
则函数y＝kx2+kx+1，图象开口向上，且与x轴有公共点，
于是k＞0Δ=k2−4k≥0，解得k≥4，所以实数k的最小值为4．
故答案为：4．
十七．由对数函数的单调性求解参数（共3小题）
46．已知函数f(x)=lg3(x2−2ax)，a∈R，则“a＜1”是“函数f（x）在（1，+∞）上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：若函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，则a≤11−2a≥0，解得a≤12＜1，即必要性成立，
若a＜1时，例如a=23时，f(x)=lg3(x2−2ax)在（1，+∞）上不是单调递增，
所以“a＜1”是“函数f（x）在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件．
故选：B．
47．如果lnx＜lny＜0，那么（ ）
A．0＜x＜y＜1B．0＜y＜x＜1C．x＞y＞1D．y＞x＞1
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝lnx，定义域为（0，+∞）且单调递增，
又lnx＜lny＜0＝ln1，所以0＜x＜y＜1．
故选：A．
48．已知a＞2，函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝lg4（x﹣2）﹣lg4（a﹣x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）当a＝4时，求不等式f（2x﹣5）＜f（3）的解集．
【答案】（1）（2，a）；
（2）{x|72＜x＜4}．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lg4（x﹣2）﹣lg4（a﹣x），a＞2，
所以x−2＞0a−x＞0a＞2，解得2＜x＜a，即定义域为（2，a）；
（2）当a＝4时，f（x）＝lg4（x﹣2）﹣lg4（4﹣x），
由f（2x﹣5）＜f（3）可得lg4（2x﹣7）﹣lg4（9﹣2x）＜0，
即lg4（2x﹣7）＜lg4（9﹣2x），
所以0＜2x﹣7＜9﹣2x，
解得72＜x＜4，
故不等式的解集为{x|72＜x＜4}．
十八．对数值大小的比较（共4小题）
49．已知a=(35)15，b=(35)35，c=lg5310，则（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a
【答案】C
【解答】解：因为y=(35)x在R上单调递减，y＝lg5x在（0，+∞）上单调递增，
所以a=(35)15＞b=(35)35＞0，c=lg5310＜lg51=0，
所以a＞b＞c．
故选：C．
50．已知a=(13)0.1， b=lg723， c=3lg72，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【答案】B
【解答】解：0＜(13)0.1＜(13)0=1，即0＜a＜1；
b=lg723＜lg71=0，c=3lg72=lg723=lg78＞lg77=1，
所以b＜0＜a＜1＜c．
故选：B．
51．已知a＝20250.3，b=lg120.7，c＝lg0.32026，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】A
【解答】解：因为y＝2025x在R上为增函数，则a＝20250.3＞1，
又y=lg12x在（0，+∞）上为减函数，则0=lg121＜b=lg120.7＜lg1212=1，
y＝lg0.3x在（0，+∞）上为减函数，则c＝lg0.32026＜0，
所以c＜b＜a．
故选：A．
52．已知a=lg20.5，b=lg0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．a＜b＜c
【答案】B
【解答】解：因为b＝lg0.50.2＞lg0.50.5＝1，a=lg20.5＜lg21=0，
0＜c＝0.50.2＜0.50＝1，
所以a＜c＜b．
故选：B．
十九．指数函数与对数函数的关系（共2小题）
53．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．lg2y1+y22＜x1+x22
B．lg2y1+y22＞x1+x22
C．lg2y1+y22＜x1+x2
D．lg2y1+y22＞x1+x2
【答案】B
【解答】解：（x1，y1），（x2，y2）是y＝2x上的点，
则y1=2x1，y2=2x2，
2x1+2x2≥22x1⋅2x2=22x1+x2，当且仅当x1＝x2时，等号成立，
又（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，
故y1+y22＞2x1+x22，
两边同时取对数可得，lg2y1+y22＞x1+x22．
故选：B．
（多选）54．已知实数a，b满足等式lg2a＝lg3b，则下列式子可以成立的是（ ）
A．0＜a＜b＜1B．1＜a＜bC．a＝b＝1D．0＜b＜a＜1
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，设lg2a＝lg3b＝t，则a＝2t，b＝3t，
当t＜0时，有0＜b＝3t＜a＝2t＜1，即0＜b＜a＜1，D正确；
当t＞0时，有1＜a＝2t＜b＝3t，即1＜a＜b，B正确；
当t＝0时，有2t＝3t＝1，即a＝b＝1，C正确，
故选：BCD．
二十．反函数（共3小题）
55．函数f（x）＝﹣2﹣x与g（x）＝2x的图象关于 原点 对称；若函数h（x）是函数g（x）的反函数，则h（3）＝ lg23 ．
【答案】原点；lg23．
【解答】解：在函数f（x）图象上任取一点（x，﹣2﹣x），
其关于原点对称的点为（﹣x，2﹣x），
因为g（﹣x）＝2﹣x，
所以点（﹣x，2﹣x）在函数g（x）图象上，
所以函数f（x）＝﹣2﹣x与g（x）＝2x的图象关于原点对称，
因为函数h（x）是函数g（x）的反函数，
所以h（x）＝lg2x，
所以h（3）＝lg23．
故答案为：原点；lg23．
56．互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，如：指数函数y＝10x和对数函数y＝lgx的图象关于直线y＝x对称．（1）已知函数y＝f（x）和函数y＝h（x）互为反函数，点P（2，a）在y＝f（x）的图象上，则h（a）＝ 2 ．
（2）若函数f(x)=a+3x+b与函数g(x)=1+c2x+1互为反函数，则c＝ 6 ．
【答案】（1）2；（2）6．
【解答】解：（1）因为函数y＝f（x）和函数y＝h（x）互为反函数，点P（2，a）在y＝f（x）的图象上，
即f（2）＝a，
则h（a）＝2．
（2）若函数y=f(x)=a+3x+b与函数g(x)=1+c2x+1=1+12cx+12互为反函数，
由y＝a+3x+b可得x=3y−a−b，即f（x）的反函数为y=3x−a−b，
由题意可得−b=112c=3−a=12，即a=−12，b＝﹣1，c＝6，
则c＝6．
故答案为：（1）2；（2）6．
57．若α+2α﹣1＝5，β+lg2β＝4，则α+β＝ 5 ．
【答案】5．
【解答】解：令γ＝α﹣1，
则α+2α﹣1＝γ+1+2γ＝5，β+lg2β＝4，
所以γ+2γ＝4，β+lg2β＝4，
所以2γ＝4﹣γ，lg2β＝4﹣β，
令f（x）＝2x，g（x）＝lg2x，h（x）＝4﹣x，
则γ，β可分别看作f（x），g（x）与h（x）交点的横坐标，
因为f（x）与g（x）互为反函数，图象关于y＝x对称，
联立y=xy=−x+4可得x＝y＝2，
所以β+γ＝4，
则α+β＝β+γ+1＝5．
故答案为：5．
二十一．根据实际问题选择函数类型（共3小题）
58．若某社交APP的用户数每月增长10%，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ）（lg11≈1.04）
A．15个月B．25个月C．35个月D．45个月
【答案】B
【解答】解：设初始用户数为a万户，x个月后用户数为y万户，
若某社交APP的用户数每月增长10%，
则y＝a（1+10%）x，即y＝a•1.1x，
设x1个月后用户数为100万户，x2个月后用户数为1000万户，
则100=a⋅1．1x1，1000=a⋅1．1x2，
两式相除可得1．1x2−x1=10，
x2−x1=1lg1.1=1lg11−1≈25，
则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为25个月．
故选：B．
59．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月…中国航天硕果累累，令国人备感自豪．这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：v=v0lnMm，其中v是理想速度（单位：m/s），v0是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），M是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）．小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（ ）（ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．40m/sB．36m/sC．78m/sD．95m/s
【答案】A
【解答】解：由于v=v0lnMm，其中M＝4+5＝9kg，m＝4kg，v0＝50m/s，
所以v=50×ln4+54=50×(ln9−ln4)=50×2(ln3−ln2)≈100×(1.1−0.7)=40（m/s）．
故选：A．
60．若圆锥的内接圆柱的轴截面为边长为2的正方形，设圆锥的底面半径为r，高为x．
（1）试将r表示成关于x的函数r（x）；
（2）求圆锥体积的最小值．
【答案】（1）r(x)=xx−2(x＞2)；
（2）9π2．
【解答】解：（1）根据题意可得圆柱底面半径为1，高为2，
又圆锥的底面半径为r，高为x，
所以根据相似比可得1r=x−2x(x＞2)，
所以r=xx−2(x＞2)，
即r(x)=xx−2(x＞2)．
（2）由（1）可知，r=xx−2，
则V(x)=13πr2x=13π⋅(xx−2)2⋅x=π3⋅x3(x−2)2(x＞2)，
对V（x）求导可得：V′(x)=π3⋅3x2(x−2)2−2x3(x−2)(x−2)4=πx2(x−6)3(x−2)3，(x＞2)，
令V′（x）＝0，可得x＝6，
当2＜x＜6时，V′（x）＜0，则V（x）在（2，6）上单调递减，
当x＞6时，V′（x）＞0，V（x）在（6，+∞）上单调递增，
因此V（x）在x＝6处取极小值，也就是最小值，
故Vmin=π3⋅63(6−2)2=9π2．题型1 函数的单调性与函数图象的特征
题型2 幂函数的特征及辨识
题型3 由幂函数的解析式求解参数
题型4 由幂函数的单调性求解参数
题型5 有理数指数幂及根式化简运算求值
题型6 指数函数的特征及解析式
题型7 指数函数的值域
题型8 指数函数图象特征与底数的关系
题型9 指数函数及指数型复合函数的图象
题型10 指数函数的实际应用
题型11 指数函数综合题
题型12 指数式与对数式的互化
题型13 对数运算求值
题型14 对数方程求解
题型15 求对数型复合函数的定义域
题型16 求对数型复合函数的值域
题型17 由对数函数的单调性求解参数
题型18 对数值大小的比较
题型19 指数函数与对数函数的关系
题型20 反函数
题型21 根据实际问题选择函数类型
分数指数幂
正分数指数幂
规定
负分数指数幂
规定
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
图象
性质
定义域
值域
定点
过定点
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
图象
性质
定义域
值域
定点
过定点
单调性
是上的增函数
是上的增函数
幂函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上递增
上递增，
上递减
在上递增
在上递增
上递增
上递减
定点