湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷（Word版附解析）

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命题人：王鹏 审题人：邹振斌
考试时间：2025 年 5 月 16 日
一、单选题
1. 展开式中的常数项为（ ）
A. 10 B. C. 80 D.
2. 某校高三年级有 1000 人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布 ，且成绩不
低于 110 分 人数为 200，则此次考试数学成绩高于 90 分的人数约为（ ）
A 700 B. 800 C. 900 D. 950
3. 记 为等比数列 的前 n 项和.若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 曲线 在点 处 切线与直线 垂直，则 （ ）
A. 2 B. 0 C. D.
5. 公共汽车上有 3 名乘客，在沿途的 4 个车站随机下车，3 名乘客下车互不影响，则恰有 2 名乘客在第 4
个车站下车的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 设 ， 是双曲线 C： （ ， ）的左，右焦点，O 是坐标原点.过 作 C 的一条
渐近线的垂线，垂足为 P，若 ，则 C 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
8. 如图，在某城市中，M，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 ， ， ， 是道路网中位于一
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条对角线上的 4 个交汇处.今在道路网 M，N 处的甲、乙两人分别要到 N，M 处，他们分别随机地选择一条
沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 N，M 处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且对于任意正整数 都有 ，则（ ）
A.
B. 是公差为 的等差数列
C.
D. ，
10. 现有 5 个编号为 1，2，3，4，5 的不同的球和 5 个编号为 1，2，3，4，5 的不同的盒子，把球全部放入
盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A. 若自由放置，共有 3125 种不同的放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有 240 种放法
C. 每个盒子内只放一个球，恰有 2 个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有 20 种
D. 将 5 个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有 20 种
11. 设函数 ，则（ ）
A. 的单调递增区间为 ，
B. 有三个零点
C. 若关于 x 的方程 有四个不同实根，则
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D. 若 对于 恒成立，则
三、填空题
12. 斜率为 1 的直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线相交于 ， 两点，则线段 的长为
______.
13. 已知函数 在 上存在零点，则实数 最小值为______．
14. 现有 n 个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射
新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发射至下一个处理
器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生的 B 类信号全部发射至
下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器
只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第 n 个处理器发射的 B 类信号数量记作
，即 ，则 ______，数列 的通项公式 ______．
四、解答题
15. 已知函数 （ ）．
（1）若 是函数 的极值点，求 a 的值；
（2）讨论 的单调性．
16. 已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个 1 号球，一个 2 号球
和一个 3 号球；乙袋内装有两个 1 号球和一个 3 号球；丙袋内装有三个 1 号球，两个 2 号球和一个 3 号球．
（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量 X 为 1 号球的个数，求 X 的分布列；
（2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出 1 个球，若摸出 是 1 号球放入甲
袋，摸出的是 2 号球放入乙袋，摸出的是 3 号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出 1 个球．求
第二次摸到的是 3 号球的概率．
17. 对于数列 且 ，则称数列 为 的“四分差数列”．已知数列
为数列 的“四分差数列”．
（1）若 ，求 的值．
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（2）设 ．
①求 的通项公式；
②若数列 满足 ，且 的前 n 项和为 ，证明： ．
18. 已知椭圆 C： （ ）的左焦点为 ，点 在椭圆 C 上，且 轴.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知点 ，证明：线段 的垂直平分线与 C 恰有一个公共点；
（3）设 M 是坐标平面上的动点，且线段 的垂直平分线与 C 恰有一个公共点，证明 M 的轨迹为圆，并
求该圆的方程.
19. 已知函数 .
（1）当 时， ，求 的取值范围；
（2）函数 有两个不同的极值点 （其中 ），证明：
；
（3）求证： .
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