2026年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷（含解析）

这是一份2026年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷（含解析），共23页。
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱B. 长方体C. 圆锥D. 球
【答案】A
【解析】
【分析】由主视图和左视图都是长方形确定为柱体，再结合俯视图为圆即可得出答案．
【详解】解：由主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．
2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据数轴得出的取值范围，结合题意得出的取值范围，从答案中筛选即可．
【详解】解：根据数轴可知，，
，
将在数轴上表示出来如下：
，
∴b在a和之间．
∴选项中只有0符合条件．
3. 若一个五边形的每个内角都是，则的值为（ ）
A. 36B. 72C. 108D. 144
【答案】C
【解析】
【分析】先利用边形内角和公式求出五边形的总内角和，再计算每个内角的度数即可．
【详解】解：∵边形内角和公式为，
∴五边形的内角和为，
∵五边形每个内角都相等，
∴．
4. 如图，点在上，于点，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直的定义，得，根据平行线的同位角相等，得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
5. 一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字1，1，2，4，5，5，掷该正方体一次，朝上一面的数字是5的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的结果数即可求解。
【详解】解：∵ 掷该正方体一次，共有种等可能的结果，其中朝上一面的数字为的结果有种，
∴ 朝上一面的数字是的概率为 ．
6. 我国科研团队成功研制的半导体电荷存储器“破晓”，达到400皮秒实现一次擦或者写．已知1皮秒等于秒，则400皮秒为（ ）
A. 秒B. 秒C. 秒D. 秒
【答案】A
【解析】
【分析】根据单位换算关系计算结果，再整理为标准科学记数法形式即可得到答案.
【详解】解：∵ 皮秒秒，
∴ 皮秒秒，
整理为标准科学记数法得：
秒.
7. 如图，点，分别在射线，上，以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点（点，不重合），连接，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由作图可知：，，证明，从而求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由作图可知：，，
又为公共边，
∴，
∴，
∴．
在中，，是等腰三角形，
根据三角形内角和：．
8. 如图，将正方形绕其中心逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的公共点为，B，C，D，E，F，G，H，连接，，．给出下面四个结论：
；
；
；
线段，，可以组成直角三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，分别交于L、K，设正方形的边长为，则正方形的对角线为，连接，连接交于R，由旋转的性质可知，则，根据等腰三角形三线合一得到，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，，可知是等腰直角三角形，证明，同理可知，则，是等腰直角三角形，，根据勾股定理可知，①错误；根据三角形外角的性质及等边对等角得到，②正确；连接，根据全等三角形的性质得到，，，证明，得到，，可知即是等腰直角三角形，得到，根据可知，③正确；证明，得到，则线段，，可以组成直角三角形，④正确．
【详解】解：如图，连接，分别交于L、K，
则，
设正方形的边长为，则正方形的对角线为，
则，
连接，连接交于R，
由旋转的性质可知，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
即
同理可得，
∵，
∴，同理可知，
∴，是等腰直角三角形，，
∴，，①错误；
∵，
∴，即，②正确；
如图，连接，
∵
∴，，，
即，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，③正确；
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴线段，，可以组成直角三角形，④正确．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x-5≠0，即x≠5．
故答案为x≠5．
本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．
10. 分解因式∶_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即
解得，，
故答案为：．
12. 直线与双曲线的两个交点的横坐标分别为，，则________．
【答案】0
【解析】
【分析】联立直线与双曲线的解析式，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系即可求出两根之和的值．
【详解】解：联立直线与双曲线的解析式得 ，
将代入得 ，
，两边同乘整理得一元二次方程 ，
该方程的两个根即为两个交点的横坐标，
根据根与系数的关系可得 ．
13. 下表记录了某市一周的日最高气温和日最低气温．
这一周的日最高气温的方差为，日最低气温的方差为，则________．（填“>”“=”或“； （3）23；140，120
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）分别求出p，q，再比较即可；
（3）①根据加权平均数的定义求解即可；
②根据样本估计总体的方法结合题意解答即可；
【小问1详解】
解：女员工共抽取了25个数据，中位数是排序后第个数据，数出已排序的女员工数据，第13个数据为，因此．
【小问2详解】
解：体重较好的范围是：
男样本共40人：有20人（全部符合），中符合，共人，据此估计，
女样本共25人：符合条件的共9人，据此估计，
∴．
【小问3详解】
解：① 总体平均数：；
② 估计优先关注人数： 总人数1300，前共人，
抽样比例为：男，女，
样本总人数，样本中前共个最大数据，
根据题干可得13个最大数据中，男员工7人，女员工6人，
按抽样比例放大： 男员工：人，女员工：人．
24. 如图，，与分别相切于点，，连接并延长，交的延长线于点，点是的中点，点在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，作于点，根据等腰三角形的性质得出，根据切线的性质得出，结合，根据三角形内角和定理得出，即可证明．
（2）如图，连接．根据切线长定理和得出，结合，得出，在中，解直角三角形求出，再求出．在中，由勾股定理，求出，则．再根据求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，作于点．
，
，．
与相切于点，
．
，
，
．
【小问2详解】
解：如图，连接．
，与分别相切于点，，，
．
，
∴，
，
在中，，
为中点，
，
．
在中，由勾股定理，得．
．
，
，
．
．
25. 小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下：
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．
（1）在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（2）当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）；
（3）通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断：
同一根琴弦，弦长越大频率越低；
两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值；
两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值；
要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值．
其中所有合理推断的序号是________．
【答案】（1）见解析；
（2）（答案不唯一）；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据画函数图象的方法及步骤即可；
（）根据函数图象进行求解即可；
（）根据函数图象进行分析即可．
【小问1详解】
解：根据表格，描点，连线，
画图象如图，
【小问2详解】
解：如图，
当时，对应号弦长为，号弦长为，
∴对应号弦长与号弦长的差为，
故答案为：（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：对同一根琴弦，，越大越小，即弦长越大频率越低，推断合理；
弦长相同时，频率差，随变化而变化，不是定值，推断错误；
弦长相同时，频率比，是定值，推断合理；
若，则，化简得，弦长比为定值，推断合理；
故答案为：．
26. 在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与抛物线交于点，与直线交于点（特殊地，当点，重合时，线段的长为）．
（1）若，求线段的长；
（2）已知实数，对于每一个确定的的值，记时线段长度的最大值为，若存在，使得当时，都有随的增大而增大，求的最小值．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）先分别求出点M，N的坐标，再求出长度即可；
（2）先求出抛物线与直线的交点为，，再设，，可得，，然后分两种情况讨论：当时，当时，线段长度的最大值为1；当时，的长度随的增大而增大，接下来再根据线段长度的最大值的变化规律得出答案．
【小问1详解】
解：时，点坐标为，点坐标为，
；
【小问2详解】
解：抛物线与直线的交点为，．
设，，则，．
当时，．
．
可知当时，线段长度的最大值为1．
当时，
．
．
可知的长度随的增大而增大．
令，解得或（舍）．
分析线段长度的最大值的变化规律可知：
（ⅰ）当时，随着的增大，的值先增大，再保持不变，再增大；
（ⅱ）当时，随着的增大，的值先保持不变，再增大；
（ⅲ）只有当时，随增大而增大．
要使时，都有随的增大而增大，的最小值为
27. 在中，，，是平面内的一点（不与点重合），连接，以为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，点在边上，用等式表示与之间的数量关系（直接写出结果）；
（2）如图2，点在外，延长到点，使，连接，，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得，由直角三角形的性质得，进而可得；
（2）将沿翻折得到，连接．则，，，．证明得，进而可证，再证明得，进而可得．
【小问1详解】
解：∵以为中心，将线段顺时针旋转，
∴．
∵在中，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：
证明：如图，将沿翻折得到，连接．
．
，，，．
，，
，，．
．
，
．
，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
．
28. 在平面直角坐标系中，是图形上的任意一点，将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点的对应点，所有的点组成的图形称为图形的关联图形．能完全覆盖图形和它的关联图形的最小的圆称为图形和它的关联图形的最小覆盖圆（图形和它的关联图形上的所有点都在圆上或内部，且该圆的半径最小）．
（1）点的关联图形的坐标为________，点的关联图形的坐标为________；
（2）点的关联图形的坐标为，用含的代数式表示：________；
（3）已知点在直线上，点，直接写出线段和它的关联图形的最小覆盖圆的半径的最小值，及此时点的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，点的关联图形的坐标为，即可求解；
（2）根据题意可得点的关联图形的坐标，即可求解；
（3）根据题意可得点的关联图形为，点的关联图形为，记线段和线段的最小覆盖圆为，取的中点，取的中点，连接，，，，，线段和线段的最小覆盖圆的半径取得最小值，由勾股定理可得的最小值，由中点坐标公式可得点的坐标．
【小问1详解】
解：根据题意可得，点的关联图形的坐标为，
，，，，
∴点的关联图形的坐标为，点的关联图形的坐标为．
【小问2详解】
解：，，
根据题意可得，点的关联图形的坐标为，
∵点的关联图形的坐标为，
∴，，
∴．
【小问3详解】
解：∵点在直线上，点，
∴，，
又∵，，，，
∴点的关联图形为，点的关联图形为，
∴，，点、在直线上，
记直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，
在中，令，得，令，得，
∴，，
∴，
∴，，
在中，令，得，令，得，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
记线段和线段的最小覆盖圆为，取的中点，取的中点，连接，，，，，
∴，，
当点、、、都在上时，，
∴，，
又∵，
∴此时，点、在上，
∴，，
又∵，，
∴点为的中点，点为的中点，
∴，，，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵点的关联图形为，点的关联图形为，，
∴当时，随着增大，线段和线段向右上方运动，线段的速度大于线段的速度，线段和线段的最小覆盖圆变大，
当时，随着减小，线段和线段向左下方运动，线段的速度大于线段的速度，线段和线段的最小覆盖圆变大，
∴当时，线段和线段的最小覆盖圆的半径最小，此时，点、、、都在上，，
∴线段和它的关联图形的最小覆盖圆的半径的最小值为，此时点的坐标为．星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
最高气温/℃
22
27
28
24
27
30
32
最低气温/℃
18
15
14
14
16
19
18
选手
积分（单位：分）
环节1
环节2
环节3
环节4
环节5
A
16
17
17
19
19
B
23
24
22
25
22
C
16
11
12
15
14
D
13
9
13
11
11
E
16
15
13
17
17
人数
6
20
9
4
1
平均数
中位数
男员工
23.625
22.6
女员工
22