2023年北京市朝阳区中考数学二模试卷（含解析）

2023年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )A. 圆柱B. 圆锥C. 棱柱D. 长方体2. 《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》指出，2022年我国全年新能源汽车产量为7003000辆，比上年增长90.5%.将7003000用科学记数法表示应为(    )A. 7.003×106 B. 7.003×107 C. 0.7003×106 D. 0.7003×1073. 如图，AB//CD，BC//EF.若∠1=55°，则∠2的度数为(    )A. 45°B. 55°C. 125°D. 145°4. 下列轴对称图形中，对称轴最多的是(    )A. B. C. D. 5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )A. a+b>0 B. ab>0 C. |a|=b D. −a>b6. 方程1x−2=25+x的解是(    )A. x=−1 B. x=5 C. x=7 D. x=97. 某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下： 下列说法正确的是(    )A. 该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90B. 该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90C. 该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次D. 该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次8. 已知点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，x1y3；②若x2x3<0，则y1y3<0；③若x1x3>0，则y20时，对于x的每一个值，函数y=mx−2(m≠0)的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围．23. (本小题6.0分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点AE⊥CE，直线CE与直线AB相交于点H，AC平分∠EAH．(1)求证：EH是⊙O的切线；(2)AE与⊙O的交点为F，连接FO并延长与⊙O相交于点D，连接CD.若F为AC中点.求证：∠D=∠H．24. (本小题6.0分)某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据(单位：min)，并对数据进行了整理、描述，部分信息如下：a.每天在校体育锻炼时间分布情况： b.每天在校体育锻炼时间在80≤x<90这一组的是：80 81 81 81 82 82 83 83 84 84 84 84 84 85 85 85 85 85 85 85 85 86 87 87 87 87 87 88 88 88 89 89 89 89 89 根据以上信息，回答下列问题：(1)表中m= ______ ，n= ______ ．(2)若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数；(3)该校准备确定一个时间标准p(单位：min)，对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬.若要使25%的学生得到表扬，则p的值可以是______ ．25. (本小题5.0分)图1是一块铁皮材料的示意图，线段AB长为4dm，曲线是抛物线的一部分，顶点C在AB的垂直平分线上，且到AB的距离为4dm.以AB中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求图2中抛物线的表达式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在AB上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．26. (本小题6.0分)在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)在抛物线y=x2−ax上．(1)求y1的值(用含a的式子表示)；(2)若a<−1，试说明：y1<0；(3)点(1,y2)，(a−2,y3)在该抛物线上，若y1，y2，y3中只有一个为负数，求α的取值范围．27. (本小题7.0分)在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC边上(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转90度，得到线段AE，连接DE．(1)根据题意补全图形，并证明：∠EAC=∠ADC；(2)过点C作AB的平行线，交DE于点F，用等式表示线段EF与DF之间的数量关系，并证明．28. (本小题7.0分)在平面直角坐标系xOy中，对于图形M给出如下定义：将M上的一点(a,b)变换为点(a−b,a+b)，M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N，称N为M的变换图形．(1)①点(3,0)的变换点的坐标为______ ；②直线y=x+1的变换图形上任意一点的横坐标为______ ；(2)求直线y=2x+1的变换图形与y轴公共点的坐标；(3)已知⊙O的半径为1，若⊙O的变换图形与直线y=kx+2k(k≠0)有公共点，直接写出k的取值范围．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．故选：B．由圆锥的展开图特点得出即可．本题考查了展开图折叠成几何体，掌握圆锥的展开图特点是关键．2.【答案】A 【解析】解：将7003000用科学记数法表示应为：7.003×106．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C 【解析】解：设CD与EF交于点G． ∵AB//CD，BC//EF，∴∠1=∠C=∠EGD=55°，∴∠2=180°−∠EGD=180°−55°=125°．故选：C．利用平行线的性质即可得出答案．本题考查平行线的性质，比较简单，是最基本的知识点，一定要牢牢掌握，灵活运用．4.【答案】D 【解析】解：选项A图形有3条对称轴，选项B图形有4条对称轴，选项C图形有5条对称轴，选项D图形有6条对称轴，所以对称轴最多的是选项D．故选：D．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．5.【答案】A 【解析】解：根据图示，可得：−20，∴选项A符合题意；∵a<0，b>0，∴ab<0，∴选项B不符合题意；∵−20，0>y3>y2，∴y20，y2>0，y3<0，∴y1y3<0，故②正确；③若x1x3>0，则x10，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．12.【答案】白色 【解析】解：在六种底色的T恤衫中，白色出现的频数最多，所以为了满足大多数人的需求，此次定做的T恤衫的底色为白色．故答案为：白色．根据题意找出频数增大的T恤衫的底色即可．本题考查了频数分布表，掌握频数的意义是解答本题的关键．13.【答案】1:4 【解析】【分析】此题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据三角形中位线定理证明OE//BC是解题的关键．由平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，可得O是BD中点，已知条件中有E是CD的中点，则OE是△DBC的中位线，所以OE//BC，OE=12BC，则△DEO∽△DCB，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可以求出△DEO与△BCD的面积的比．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC、BD交于点O，∴O是BD的中点，∵E是CD的中点，∴OE//BC，OE=12BC，∴△DEO∽△DCB，OEBC=12，∴S△DEOS△BCD=(OEBC)2=(12)2=14，∴△DEO与△BCD的面积的比等于1:4，故答案为1：4．  14.【答案】50 【解析】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∵∠CAB=40°，∴∠B=90°−∠CAB=50°，∴∠ADC=∠B=50°，故答案为：50．连接BC.利用三角形内角和定理求出∠B，即可解决问题．本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】3 【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，则点D到AB、AC的距离相等，所以△ACD的面积：△ABD的面积=AC：AB=3：2，所以△ABD的面积=32×2=3．故答案为：3．利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得点D到AB、AC的距离相等，于是利用三角形面积公式得到△ACD的面积：△ABD的面积=AC：AB=3：2，从而可计算出△ABD的面积．本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．16.【答案】900  2775 【解析】解：90×10=900(元)，90×5+90×5+75×(35−5−5) =450+450+1875 =2775(元)．答：若A公司在甲商家一次性购买10件该款电子产品，则购买的总费用为900元；若B公司分三次购买该款电子产品共35件，且每次至少购买5件，则购买的总费用最少为2775元．故答案为：900；2775．根据甲商家的促销方式列出算式计算可求A公司购买的总费用；根据两个商家的促销方式，可得B公司在乙商家2次购买该款电子产品各5件，1次购买该款电子产品25件的总费用最少，依此列出算式计算可求B公司购买的总费用．本题考查了销售问题的实际应用，关键是找到购买件数与价格之间的对应关系．17.【答案】解：原式=2−4× 32+2 3+1 =2−2 3+2 3+1 =3． 【解析】根据负整数指数幂运算、特殊角的三角函数值运算、算术平方根运算及零指数数幂运算分别求解后，由二次根式加减运算求解即可得到答案．本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂运算、特殊角的三角函数值运算、算术平方根运算、零指数数幂运算及二次根式加减运算等知识，熟练掌握实数混合运算各个相关法则是解决问题的关键．18.【答案】解：4(x−1)≥5x−6，去括号得：4x−4≥5x−6，移项得：4x−5x≥−6+4，合并同类项得：−x≥−2，系数化成1得：x≤2．正整数解为：1、2． 【解析】去括号、移项、合并同类项、系数化成1，即可得出答案．本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生能否正确解一元一次不等式，注意：不等式的两边都除以同一个负数，不等式的符号方向要改变．19.【答案】解：(a+b)2−2b(a−b)+2a2 =a2+2ab+b2−2ab+2b2+2a2 =3a2+3b2，∵a2+b2−3=0，∴a2+b2=3，则原式=3(a2+b2)=3×3=9． 【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．本题考查的是整式的化简求值，熟记单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式是解题的关键．20.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠CBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠BAD=∠CAE． 【解析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21.【答案】(1)证明：∵AD//BC，AB=BC=AE=12AD．∴AE//BC，AE=BC，∴四边形ABCE是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE为菱形；(2)解：∵四边形ABCE为菱形，∴AE=CE=12AD，∴∠ACD=90°，∵BC//AD，∴∠CAD=∠ACB，∴tan∠CAD=CDAC=34，∵AC=8，∴CD=6． 【解析】(1)根据平行四边形的判定和性质定理和菱形的判定和性质定理即可得到结论；(2)根据菱形的性质和解直角三角形即可得到结论．本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．22.【答案】解：(1)把(1,−1)，(2,0)分别代入y=kx+b得，k+b=−12k+b=0，解得k=1b=−2，∴一次函数的解析式为y=x−2，当x=0时，y=x−2=−2，∴A点坐标为(0,−2)；(2)∵函数y=mx−2与y=x−2图象交于(0,2)，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=mx−2的值大于函数y=x−2(k≠0)的值时需要m>1． 【解析】(1)先利用待定系数法求出函数解析式为y=x−2，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；(2)当函数y=mx−2与y轴的交点在点A(含A点)上方时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=mx−2的值大于函数y=x−2(k≠0)的值时k>1．本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．23.【答案】证明：(1)连接OC，如图， ∵AC平分∠EAH，∴∠EAC=∠HAC．∵OA=OC，∴∠HAC=∠OCA，∴∠OCA=∠EAC，∴OC//AE．∵AE⊥CE，∴OC⊥EH．∵OC为⊙O的半径，∴EH是⊙O的切线；(2)∵F为AC中点，∴AF=FC，∴OF⊥AC，∴∠D+∠ACD=90°． ∵∠ACD=∠AFD，∴∠D+∠AFD=90°．∵OF=OA，∴∠AFD=∠EAH，∴∠D+∠EAH=90°．∵AE⊥CE，∴∠EAH+∠H=90°，∴∠D=∠H． 【解析】(1)连接OC，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质得到OC//AE，OC⊥EC，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；(2)利用垂径定理得到OF⊥AC，利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同角的余角相等的性质解答即可得出结论．本题主要考查了圆的有关性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，圆的切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．24.【答案】40%  11  86 【解析】解：(1)调查人数为：14÷14%=100(人)，m=40÷100×100%=40%，n=100×11%=11，故答案为：40%，11；(2)1000×(35%+11%)=460(名)，答：该校1000名学生中每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生大约有460名；(3)所调查的人数中，体育锻炼时间大于90分钟的有11人，在80≤x<90的有35人，根据所列举的数据可知，p=86，故答案为：86．(1)根据频率=频数总数进行计算即可；(2)求出样本中，体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数所占的百分比，进而总体中体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数所占的百分比，再由频率=频数总数进行计算即可；(3)求出体育锻炼时间在前25%的学生人数，再根据所列举出的数据进行判断即可．本题考查频数分布表，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．25.【答案】解：(1)依题意得抛物线经过点(−2,0)，(2,0)，(0,4)，设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x−2)，再将(0,4)代入y=a(x+2)(x−2)中，得：a=−1，∴抛物线的表达式为：y=−(x+2)(x−2)，即：y=−x2+4，设矩形为MNPQ，其中点M，N在AB上，点P，Q在抛物线上， 根据对称性可知：矩形MNPQ关于y轴对称，即点M，N关于y轴对称，点P，Q关于y轴对称，设OM=t，则ON=t，四边形MNPQ的周长为W，∴MN=2t，点Q的横坐标为t，∴点Q的纵坐标为：−t2+4，∴MQ=NP=−t2+4，∴W=2(MN+MQ)=2(2t−t2+4)，即：W=−2(t−1)2+10，当t=1时，W为最大，最大值为10．∴矩形周长的最大值为10dm． 【解析】(1)根据抛物线经过点(−2,0)，(2,0)，(0,4)可求出表达式；(2)设矩形为MNPQ，其中点M，N在AB上，点P，Q在抛物线上，根据对称性可知：矩形MNPQ关于y轴对称，设OM=t，则ON=t，四边形MNPQ的周长为P，据此可得MQ=NP=−t2+4，然后可得出P关于t的二次函数关系式，最后求出这个二次函数的最大值即可．此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最大值、对称性等，解答此题的关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式的方法与技巧，难点是理解符合条件的矩形关于y轴对称．26.【答案】解：(1)∵点(−1,y1)在抛物线y=x2−ax上，把(−1,y1)代入y=x2−ax中得：y1=(−1)2+a=a+1；(2)由(1)得y1=a+1，∵a<−1，∴a+1<0，∴y1<0；(3)∵点(1,y2)，(a−2,y3)在该抛物线上，∴y2=1−a,y2=(a−2)2−a(a−2)=4−2a；当a<−1时，y1<00，y2>0，y3>0，不符合题意；当a=1时，y1>0，y2=0，y3>0，不符合题意；当10，y2<0，y3>0，符合题意；当a=2时，y1>0，y2<0，y3=0，符合题意；当a>2时，y1>0，y2<0，y3<0，不符合题意；综上所述，a<−1或1